1、第一章立体几何初步6垂直关系6.1垂直关系的判定课时跟踪检测一、选择题1若直线l不垂直于平面，那么平面内()A不存在与l垂直的直线B只存在一条与l垂直的直线C存在无数条直线与l垂直D以上都不对解析：可在正方体中考虑问题设平面A1B1C1D1为平面，直线B1C为直线l，且l与不垂直但在底面内，所有与A1B1平行的直线都与l垂直答案：C2如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线有如下情况：三角形的两条边；梯形的两条边；圆的两条直径；正六边形的两条边不能保证直线与平面垂直的是()ABC D解析：三角形任意两边为相交直线若与两底所在直线垂直，则不能判断线面垂直直径必相交若垂直于正六边形互相平行的边，则不
2、能保证线面垂直答案：C3在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1CB平面A1DB1C平面A1B1C1D1D平面A1DB解析：AD1A1D，AD1A1B1，又A1DA1B1A1，AD1平面A1DB1.答案：B 4如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A60 B30C45 D90解析：AB是圆的直径，BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，即BCPA，又ACPAA，BC平面PAC，BCPC.PCA为二面角PBCA的平面角又PAAC，PCA45.答案：C5已知如图，六棱锥PA
3、BCDEF的底面是正六边形，PA平面ABCDEF，则下列结论不正确的是()ACD平面PAFBDF平面PAFCCF平面PABDCF平面PAD解析：由正六边形的性质及PA平面ABCDEF，可推得A，B，C均正确，而D不正确因为四边形ACDF不是正方形，CF与AD不垂直答案：D6如图，在三棱锥PABC中，已知PCBC，PCAC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A平面EFG平面PBCB平面EFG平面ABCCBPC是直线EF与直线PC所成的角DFEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：A正确，GFPC，GECB，GFGEG，PCCBC，平面EFG平面PBC；B正确，P
4、CBC，PCAC，PCGF，GFBC，GFAC，又BCACC，GF平面ABC，平面EFG平面ABC；C正确，易知EFBP，BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，GE与AB不垂直，FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角答案：D二、填空题7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是_解析：由题意知，AC平面BB1D1D，且AC平面ACD1.平面ACD1平面BB1D1D.答案：平面ACD1平面BB1D1D8已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于_解析：如图，O为ABC的中心，SCO即为所求角由题意，设底面边长为
5、a，则侧棱长为2a|CO|aa.cosSCO.答案：9在二面角l中，A，AB平面，BC平面 于C，AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为_解析：当二面角l是锐二面角时，因为AB且l，所以ABl.因为BC，l，所以BCl，所以l平面ABC，所以lAC.设垂足为H.所以BH平面ABC，所以lBH，所以AHB为二面角l的平面角RtBCA中，AB6，BC3，所以BAC30.RtABH中，因为BAH30，所以AHB60.同理，当二面角l为钝二面角时，可得所求二面角的平面角为120.综上，所求角大小为60或120.答案：60或120三、解答题10如图，RtABC所在平面外有一点S，且SASBSC，点D
6、为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)SASC，D为AC中点，SDAC，RtABC中，ADCDBD.又SASB，SDSD，ADSBDS，SDBD.又ACBDD，AC，BD平面ABC，SD平面ABC.(2)BABC，D为AC中点，BDAC.由(1)知SD面ABC，又BD平面ABC，SDBD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，BD平面SAC.11.(2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADA
7、C.证明：(1)在平面ABD内，ABAD，EFAD，EFAB.又EF平面ABC，AB平面ABC，EF平面ABC.(2)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，AD平面ABC.又AC平面ABC，ADAC.12如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，点G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明：(1)因为DEFABC是三棱台，且AB2DE，所以BC2EF，AC2DF.因为点G，H分别是AC，B
8、C的中点，所以GHAB.因为AB平面FGH，GH平面FGH，所以AB平面FGH.因为EFBH且EFBH，所以四边形BHFE是平行四边形，所以BEHF.因为BE平面FGH，HF平面FGH，所以BE平面FGH；又因为ABBEB，所以平面ABE平面FGH，因为BD平面ABE，所以BD平面FGH.(2)因为AB2DE，所以BC2EF，因为H是BC的中点，所以HCBCEF，又HCEF，所以四边形HCFE是平行四边形，所以HECF.因为CFBC，所以HEBC.因为GHAB，ABBC.所以GHBC.因为GHHEH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.13如图，三棱柱ABCA1B1
9、C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明：EF平面A1CD；(2)证明：平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值解：(1)证明：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，且DEAC，又因为F为A1C1的中点，可得A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又由于侧棱A1A底面ABC，CD平面ABC，所以A1ACD，又A1AABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D交直线A1D于点G，连接CG.由于平面A1CD平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG平面A1CD.由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设棱长为a，可得A1D，由A1ADBGD，易得BG.在RtBGC中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.