1、第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,既是真命题也是特称命题的是()A.有一个,使tan(90-)=1tanB.存在实数x0,使sin x0=2C.对一切,sin(180-)=sin D.sin 15=sin 60cos 45-cos 60sin 45解析:B中命题为假命题,C中命题为全称命题,A中命题符合题目要求.答案:A2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“
2、若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析:因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,所以逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.答案:B3.如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题,那么()A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同B.命题p与命题“非q”的真值相同C.命题q与命题“非p”的真值相同D.命题“(非p)且(非q)”是真命题答案:D4.设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意xA,2xB,则()A.非p:任意xA,2xBB.非p:任意xA,2xBC.非p:存在xA,2xBD.非p:存在xA,2xB答案:D
3、5.命题p:a2+b20且a1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:结合函数单调性的定义求解.由题意,知函数f(x)=ax在R上是减函数等价于0a0且a1)在R上是增函数等价于0a1或1a0”的否定是“存在x,使x2-2x+30答案:D10.下列选项中,叙述错误的是()A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为假命题B.“x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件C.若“p或q”为假命题,则“(非p)且(非q)”也为假命题D.若命题p:任意xR
4、,x2+x+10,则非p:存在xR,x2+x+1=0解析:对于A,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”是假命题,因此该命题的逆否命题也是假命题;对于B,由x2,得x2-3x+2=(x-1)(x-2)0,反过来,由x2-3x+20不能得知x2,因此“x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件.对于C,若“p或q”为假命题,则p,q均为假命题,所以“(非p)且(非q)”为真命题.对于D,命题p:任意xR,x2+x+10,则非p:存在xR,x2+x+1=0.综上所述,选C.答案:C11.关于x的一元二次方程ax2+4x+3=0(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a0C.a1解析
5、:关于x的一元二次方程ax2+4x+3=0(a0)有一个正根和一个负根a0,=16-12a0,3a0,解得a0.故a0,B=(x,y)|x+y-n0,则点P(2,3)A(UB)的充要条件是()A.m-1,n5B.m-1,n-1,n5D.m5解析:A(UB)满足2x-y+m0,x+y-n0,P(2,3)A(UB),则22-3+m0,2+3-n0,m-1,n5.答案:A二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.命题“存在x(0,+),使xx”的否定为_命题(填“真”或“假”).解析:原命题的否定为“任意x(0,+),都有xx”,是假命题.答案:假14.若“x
6、x|2x5或xx|x4”是假命题,则x的取值范围是.解析:若“xx|2x5或xx|x4”是假命题,则x5或x2,1x4,解得1x1-x,q:xa,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.解析:p:x1,q:xa,若p是q的充分不必要条件,则a1.答案:(-,1)16.已知f(x)=x2,g(x)=12x-m,若对任意x1-1,3,存在x20,2,f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是.解析:由已知,得fmin(x)gmin(x),即014-m,所以m14.答案:m14三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)写出下列命题的“非p”
7、命题,并判断“非p”命题的真假.(1)p:任意x,x2+4x+40.(2)p:存在x,x2-4=0.解:(1)非p:存在x,x2+4x+40,若对任意xR,p是真命题,求实数a的取值范围.解:由题意,得对任意xR,ax2+2x+10恒成立.(1)当a=0时,ax2+2x+1=2x+10,显然不恒成立,不合题意.(2)当a0时,要使ax2+2x+10恒成立,则a0,4-4a1.综上可知,所求实数a的取值范围是(1,+).20.(12分)已知mR,设p:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|x1-x2|对任意实数a1,2恒成立;q:函数f(x)=3x2+2mx+m+43有两个
8、不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.解:由题意,得x1+x2=a,x1x2=-2,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8.当a1,2时,a2+8的最小值为3.要使|m-5|x1-x2|对任意实数a1,2恒成立,只需|m-5|3,即2m8.由已知条件,得3x2+2mx+m+43=0的判别式=4m2-12m+43=4m2-12m-160,解得m4.综上所述,要使“p且q”为真命题,只需p和q都为真命题,即2m8,m4.故实数m的取值范围是(4,8.21.(12分)设p:实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0.若非p是非q的必要不充分条件,求a的取值范围.解
9、:设A=x|x2-4ax+3a20(a0)=x|3axa(a0=x|x2-x-60x|x2+2x-80=x|-2x3x|x2=x|x-4或x-2.非p是非q的必要不充分条件,非q非p,且非p非q.又非q对应的集合为x|-4x-2,非p对应的集合为x|x3a或xa(a0),x|-4x-2x|x3a或xa(a0),3a-2,a0或a-4,a0,即-23a0,函数f(x)=ax-bx2.(1)当b0时,若对任意xR,都有f(x)1,求证:a2b;(2)当b1时,求证:对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b-1a2b.证明:(1)由题意知,对任意xR,都有f(x)1.f(x)=-bx-a2b2+a24b,fa2b=a24b1.a0,b0,a2b.(2)必要性:对任意x0,1,|f(x)|1f(x)-1,f(1)-1,即a-b-1.ab-1.对任意x0,1,|f(x)|1f(x)1.b1,01b1,ab-1,对任意x0,1,可以推出ax-bx2b(x-x2)-x-x-1,即ax-bx2-1.b1,a2b,对任意x0,1,可以推出ax-bx22bx-bx2=-(bx-1)2+11,即ax-bx21,-1f(x)1,即|f(x)|1.综上所述,当b1时,对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b-1a2b.10
