1、第2讲不等式问题一、填空题1(2022苏北四市调研)存在实数x，使得x24bx3b0成立，则b的取值范围是_解析由题意可得(4b)243b0，即为4b23b0，解得b0或b.答案(，0)2(2022苏州调研)已知f(x)则不等式f(x2x1)12的解集是_解析依题意得，函数f(x)是R上的增函数，且f(3)12，因此不等式f(x2x1)12等价于x2x13，即x2x20，由此解得1x2.因此，不等式f(x2x1)12的解集是(1，2)答案(1，2)3(2022苏、锡、常、镇模拟)若点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，则mn的最大值是_解析因为点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，所以m，
2、nR，且1，所以，所以，即mn3，所以mn的最大值为3.答案34(2022广东卷改编)若变量x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由z3x2y得yx，依题意当目标函数直线l：yx经过A时，z取得最小值，即zmin312.答案5已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析x0，y0，x2y2(当且仅当x2y时取等号)又由x2(xy)可得，而2，当且仅当x2y时，2.的最小值为2.答案26(2022南京、盐城模拟)若0(m0)对一切x4恒成立，则实数m的取值范围是_解析依题意，对任意的x4，)，有f(x)(mx1)(m2x1)0恒成立，结合
3、图象分析可知由此解得m，即实数m的取值范围是.答案7(2022浙江卷)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_解析f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时，取等号；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，f(x)的最小值为23.答案0238(2022苏、锡、常、镇调研)已知x，yR，满足2y4x，x1，则的最大值为_解析画出不等式组对应的平面区域，它是以点(1，2)，(1，3)，(2，2)为顶点的三角形区域，令t(经过点(2，2)时取得最小值，经过点(1，3)时取得最大值)，则t，又10，t，所以函数yt在t上单调递减，所以当t
4、时，取得最大值为.答案二、解答题9已知函数f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x3，或x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.10(2022苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为1
5、0米设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧度)(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解(1)设扇环的圆心角为，则30(10x)2(10x)，所以.(2)花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x10)装饰总费用为9(10x)8(10x)17010x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y，令t17x，则y，当且仅当t18时取等号，此时x1，.答：当x1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大11(202
6、2南师附中模拟)已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，对任意的xR，恒有f(x)f(x)(1)证明：当x0时，f(x)(xc)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)f(b)M(c2b2)恒成立，求M的最小值(1)证明易知f(x)2xb.由题设，对任意的xR，2xbx2bxc，即x2(b2)xcb0恒成立，所以(b2)24(cb)0，从而c1.于是c1，且c2|b|，因此2cbc(cb)0.故当x0时，有(xc)2f(x)(2cb)xc(c1)0.即当x0时，f(x)(xc)2.(2)解由(1)知c|b|.当c|b|时，有M.令t，则1t1，2.而函数g(t)2(1t1)的值域是.因此，当c|b|时，M的取值集合为.当c|b|时，由(1)知b2，c2.此时f(c)f(b)8或0，c2b20，从而f(c)f(b)M(c2b2)恒成立综上所述，M的最小值为.5
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