1、松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2021.4考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，否则一律得零分1. 已知集合 则 2. 若复数满足（为虚数单位 则 3. 已知向量，若，则实数 4.
2、 在的二项展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）5. 如图所示，在平行六面体中，若，则 6. 若函数的反函数的图像经过点，则 7. 已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 8. 因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前 往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为 9. 已知函数的图像关于点对称，且 则实数的值为 10. 如图，已知是边长为 1 的正六边形的一条边，点在正六边形内 (含边界), 则 的取值范围是 11. 已知曲线: , 若对于曲线上的任意一点 都有 则 的最小值为 12. 在数
3、列中， 记为数列的前项和，则 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13. 经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）A. B. C. D. 14. 设表示两个不同的平面，表示一条直线，且 则是的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 已知实数、满足,有结论:存在，使得取到最小值；存在，使得取到最小值. 正确的判断是（ )A. 成立，成立 B. 不成立，不成立C. 成立，不成立 D. 不成立，成立16.已知函数若存在相异的实数 使得
4、成立，则实数的取值范围为（ )A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分如图,是圆雉的顶点, 是底面圆的圆心,是底面圆的两条直径，且, 为的中点.（1）求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示);（2）求点到平面的距离.18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数为常数，.（1）讨论函数的奇偶性;（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围。19（本题满分14分）本题共有2个小题
5、，第1小题满分6分，第2小题满分8分为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花. 已知扇形的半径为100米，圆心角为,点在扇形的弧上，点在OB上，且（1）当是的中点时，求的长; (精确到米)（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方 米. 要使郁金香种植区的面积尽可能的大，求面积的最大值，并求此时扇形区域种植花卉的总成本. (精确到元)20(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的两点.（
6、1）若直线的方程为，求线段的长；（2）经过点，点关于轴的对称点为，求证:三点共线;（3）若直线经过点，拋物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.21(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于至少有三项的实数列，若对任意的，都存在（其中，使得成立，则称数列具有性质.（1）分别判断数列和数列是否具有性质，请说明理由；（2）已知数列是公差为的等差数列，若 且数列和 都具有性质，求公差的最小值；（3）已知数列（其中，试探求数列具有性质 的充要条件.松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（
7、满分150分，完卷时间120分钟） 2021.4考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，否则一律得零分1. 已知集合 则 【解析】，所以.2. 若复数满足（为虚数单位 则 【解析】因为，所以.3. 已知向量，若，则实数 【解析】因为，所以，所以
8、.4. 在的二项展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）【解析】的系数为.5. 如图所示，在平行六面体中，若，则 【解析】， 所以，所以.6. 若函数的反函数的图像经过点，则 【解析】由题意得的图像经过点，所以，所以.7. 已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 【解析】由题意，设正方体的棱长和圆柱的母线均为，圆柱的底面半径为， 因为正方体的和圆柱的侧面积相等，所以，所以， 则正方体和圆柱的体积之比为.8. 因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前 往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为
9、【解析】直接法：所求概率为； 间接法：所求概率为.9. 已知函数的图像关于点对称，且 则实数的值为 【解析】因为的对称中心为，又的图像关于点对称，所以，所以，因为，所以.10. 如图，已知是边长为 1 的正六边形的一条边，点在正六边形内 (含边界), 则 的取值范围是 【解析】取中点，由极化恒等式得， 因为点在正六边形内（含边界），易得， 所以的取值范围是.11. 已知曲线: , 若对于曲线上的任意一点 都有 则 的最小值为 【解析】曲线是第一象限的双曲线的一部分， 因为对于曲线上的任意一点，都有， 所以曲线在两条直线和之间， 数形结合，当直线和一条经过点，另一条与双曲线相切时，最小，不妨设直
10、线经过点，此时，设直线与双曲线相切，此时，故的最小值为.12. 在数列中， 记为数列的前项和，则 【解析】因为，所以， 所以， 所以， 所以 ，又，所以.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13. 经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【解析】方向向量为，则法向量为，又经过点， 故所求直线方程为，选A.14. 设表示两个不同的平面，表示一条直线，且 则是的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【解析】不一定能推
11、出，要两条相交直线都和平行， 反之，一定能推出，故为必要非充分条件，选B.15. 已知实数、满足,有结论:存在，使得取到最小值；存在，使得取到最小值. 正确的判断是（ )A. 成立，成立 B. 不成立，不成立C. 成立，不成立 D. 不成立，成立【解析】因为，所以，所以， 即，所以，当且仅当时取等号， 故正确； 因为，所以，所以，又，显然无最小值，有最大值，故错误；故选C.16.已知函数若存在相异的实数 使得 成立，则实数的取值范围为（ )A. B. C. D. 【解析】若，当时，单调递减，不合题意，所以， 所以， 当时，单调递减，； 当时，若，由对勾函数的单调性得单调递减， ，不合题意； 若
12、，由基本不等式得， 由题意得，即，恒成立，故，即，故选B.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分如图,是圆雉的顶点, 是底面圆的圆心,是底面圆的两条直径, 且, 为的中点.（1）求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示);（2）求点到平面的距离.【解析】（1）（2）18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数为常数，.（1）讨论函数的奇偶性;（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围。【解析】（1
13、）由已知得，所以当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，且，所以为非奇非偶函数.（2）由（1）知，时为偶函数，所以方程即 在上有实数根，令 ，则 即 即 ，即 当且仅当时等号成立，所以 令，即只需与有交点即可当时，在上递增 19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花. 已知扇形的半径为100米，圆心角为,点在扇形的弧上，点在OB上，且（1）当是的中点时，求的长; (精确到米)（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米
14、、20元/平方 米. 要使郁金香种植区的面积尽可能的大，求面积的最大值，并求此时扇形区域种植花卉的总成本. (精确到元)【解析】（1）米（2），总成本元20(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的两点.（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）经过点，点关于轴的对称点为，求证:三点共线;（3）若直线经过点，拋物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由已知得，若直线的方程为，过焦点联立化简得， 所以线段的长 （2）略（3）假设存在点 使以弦为直径的
15、圆恒过点，设过点直线的直线的方程为 联立方程得，设 则；因为点总是在以弦为直径的圆上；所以 所以；由所以即当或，等式显然成立当或时，则有即, 则,即所以当时, 无论取何值等式都成立，将代入得，所以存在点使以弦为直径的圆但过点.21(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于至少有三项的实数列，若对任意的，都存在（其中，使得成立，则称数列具有性质.（1）分别判断数列和数列是否具有性质，请说明理由； （2）已知数列是公差为的等差数列，若 且数列和 都具有性质，求公差的最小值；（3）已知数列（其中，试探求数列具有性质 的充要条件.【解析】（1）不具有，具有；（2）；（3）