1、第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若角的终边与单位圆的交点坐标是a,-33,则cos2+=()A.-33B.33C.-63D.63解析依题意有sin =-33,于是cos2+=-sin =33.答案B2.函数f(x)=1-2sin2x2的最小正周期为()A.2B.C.2D.4解析f(x)=1-2sin2x2=cos x,于是最小正周期为2.答案A3.已知,32,cos =-45,则tan4-等于()A.7B.17C.-17D.-7解析由已知得tan =34,则tan4-=1-tan1+tan=17.答案B4.函数y=cosx-3
2、2的定义域为()A.-6,6B.k-6,k+6(kZ)C.2k-6,2k+6(kZ)D.R解析cos x-320,得cos x32,2k-6x2k+6,kZ.答案C5.若2,且3cos 2=sin4-,则sin 2的值为()A.-118B.118C.-1718D.1718解析由3cos 2=sin4-,得3(cos2-sin2)=22(cos -sin ).2,cos -sin 0,cos +sin =26.两边平方,得1+2sin cos =118,sin 2=-1718.故选C.答案C6.函数y=2sin6-2x(x0,)为增函数的区间是()A.0,3B.12,712C.3,56D.56,
3、解析y=2sin6-2x=-2sin2x-6,原函数的增区间就是y=2sin2x-6的减区间,即2k+22x-62k+32,kZ,k+3xk+56,kZ.答案C7.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10解析因为sin6x+-1,1,所以函数y=3sin6x+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.答案C8.函数f(x)=sin2x+4+cos2x-4-1是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数
4、C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数解析f(x)=sin2x+4+cos2x+4-2-1=2sin2x+4-1=-cos2x+2=sin 2x,所以周期T=22=,且函数是奇函数.答案A9.将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间-4,4上单调递增B.在区间-4,0上单调递减C.在区间4,2上单调递增D.在区间2,上单调递减解析将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2x-10+5=sin 2x,该函数在-4+k,4+k(kZ)上单调递增,在4+k,34+k(kZ)上单调递减,结合选项可知选A.
5、答案A10.已知A,B,C是ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析由一元二次方程根与系数的关系,得tanA+tanB=53,tanAtanB=13,tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=531-13=52.在ABC中,tan C=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-520,|2,若x=6和x=76是函数f(x)=cos(x+)的两个相邻的最值点,将y=f(x)的图象向左平移6个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=g(x)是
6、奇函数B.y=g(x)的图象关于点-2,0对称C.y=g(x)的图象关于直线x=2对称D.y=g(x)的周期为解析由已知得T=276-6=2,所以=1,于是f(x)=cos(x+).又因为cos6+=1,则6+=k,而|2,所以=-6,即f(x)=cosx-6,故g(x)=cos x,显然其图象关于点-2,0对称.答案B12.已知sin 2(+)=nsin 2,则tan(+)tan(-+)=()A.n-1n+1B.nn+1C.nn-1D.n+1n-1解析为方便,记+=,则原式变为sin(+)+(-)=nsin(+)+(-),展开得sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=nsin(+
7、)cos(-)+ncos(+)sin(-),等式两边同除以cos(-)cos(+)得tan(+)+tan(-)=ntan(+)-ntan(-),于是tan(+)tan(-+)=n+1n-1.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=xcos x+c是奇函数,则f(-)=.解析由已知得f(0)=0,所以c=0,于是f(x)=xcos x,故f(-)=.答案14.函数f(x)=4sin2x+3在-3,6上的最小值等于.解析当x-3,6时,2x+3-3,23,所以当2x+3=-3时,sin2x+3取最小值-32,原函数的最小值等于-23.答案-2315.化简2ta
8、n(45-)1-tan2(45-)sincoscos2-sin2=.解析原式=tan(90-2)12sin2cos2=sin(90-2)cos(90-2)12sin2cos2=cos2sin2sin22cos2=12.答案1216.若函数f(x)=23sin x+bcos x在x=3处取得最大值,则f(x)在0,6上的最小值等于.解析依题意有f3=23sin 3+bcos 3=12+b2,即3+b2=12+b2,解得b=2,于是f(x)=23sin x+2cos x=4sinx+6,由于x0,6,所以x+66,3,故最小值等于4sin 6=2.答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时
9、应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)A,B是单位圆O上的点,点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在第二象限,记AOB=,且sin =45.(1)求点B的坐标;(2)求sin(+)+2sin2-2tan(-)的值.解(1)设点B坐标为(x,y),则y=sin =45.因为点B在第二象限,x=cos =-35,所以点B坐标为-35,45.(2)sin(+)+2sin2-2tan(-)=-sin+2cos-2tan=-45-6583=-34.18.(12分)已知函数f(x)=2sin4-xcos4-x+3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间0,2
10、上的最值及相应的x值.解(1)f(x)=sin2-2x+3sin 2x=cos 2x+3sin 2x=2sin2x+6,所以f(x)的最小正周期是.(2)因为0x2,所以02x,所以62x+676,当x=6时,f(x)max=2;当x=2时,f(x)min=-1.19.(12分)已知cos-2=-277,sin2-=12,且2,0,2.求:(1)cos+2;(2)tan(+).解(1)2,02,4-2,-42-2.sin-2=1-cos2-2=217,cos2-=1-sin22-=32.cos+2=cos-2-2-=cos-2cos2-+sin-2sin2-=-27732+21712=-211
11、4.(2)4+234,sin+2=1-cos2+2=5714.tan+2=sin+2cos+2=-533.tan(+)=2tan+21-tan2+2=5311.20.(12分)已知函数f(x)=sin2x+4+1.(1)用“五点法”作出f(x)在x-8,78上的简图;(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间;(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.解(1)对于函数f(x)=sin2x+4+1,在x-8,78上,2x+40,2,列表:2x+402322x-88385878f(x)12101作图:(2)令2x+4=k+2,求得x=k2+8,可得函数的图象的对称中心为k2+8,0,kZ
12、.令2k-22x+42k+2,求得k-38xk+8,可得函数的增区间为k-38,k+8,kZ.(3)令2x+4=2k+2,求得x=k+8,所以函数f(x)的最大值为2,此时,x=k+8,kZ.21.(12分)如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设点B与地面距离是h.(1)求h与间的函数关系式;(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.解(1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角
13、为-2,故点B坐标为4.8cos-2,4.8sin-2.h=5.6+4.8sin-2.(2)点A在圆上转动的角速度是30,故t s转过的弧度数为t30.h=5.6+4.8sin30t-2,t0,+).到达最高点时,h=10.4 m.由sin30t-2=1,得30t-2=2,t=30 s.缆车到达最高点时,用的时间最少为30 s.22.(12分)已知函数f(x)=4sinx-3cos x+3.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在0,2上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.解(1)f(x)=4sinx-3cos x+3=412sinx-32cosxcos x+3=2sin xcos x-23cos2x+3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3.函数f(x)的周期为T=.由2k-22x-32k+2,得k-12xk+512(kZ).f(x)的递增区间为k-12,k+512(kZ).(2)方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin2x-3在0,2上的图象,由图象可知,当且仅当m3,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,且x1+x2=2512=56,故tan(x1+x2)=tan 56=-tan 6=-33.