1、3.4不等式的实际应用1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)基础初探教材整理不等式的实际应用阅读教材P81P83，完成下列问题.1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题.1.有如图34
2、1所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为_，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示出来为_.图341【解析】图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1，则S1，图(2)面积为S2，则S2ab，a2b2ab.【答案】图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积a2b2ab2.一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程超过2 200 km，写成不等式为_；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式
3、表示为_.【解析】原来每天行驶x km，现在每天行驶(x19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x19)2 200.若每天行驶(x12) km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为9.【答案】8(x19)2 2009小组合作型比较法在实际问题中的应用(1)某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案：方案(1)先降价a%，再降价b%；方案(2)先降价b%，再降价a%；方案(3)先降价%，再降价%；方案(4)一次性降价(ab)%.其中a0，b0，ab，上述四种方案中，降价幅度最小的是()A.方案(1
4、)B.方案(2)C.方案(3)D.方案(4)(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是_老板.【精彩点拨】首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.【自主解答】设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为：(1)(1a%)(1b%)；(2)(1b%)(1a%)；(3)2；(4)1(ab)%.由于(1a%)(1b%)(1b%)(1a%)22，且(1a%)(1b%)1(ab)%，所以方案(3)降价后价格最高.(2)设两次大米的价格分别为a元/千
5、克，b元/千克(a、b0，ab)，则甲两次购买大米的平均价格是元/千克；乙两次购买大米的平均价格是元/千克.0，.乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.【答案】(1)C(2)乙比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.再练一题1.如图342(2)，一圆柱的底面半径为5 dm，高为5 dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？路线1：侧面展开图中的线段AC.如图(1)所示：路线2：高线AB底面直径BC.如图(2)所示：(1)(2)图342【解】设路
6、线1的长度为l1，则lAC2AB2BC252(5)225252.设路线2的长度为l2，则l(ABBC)2(510)2225.ll2525222525220025(28)0，ll，l1l2.所以选择路线2较短.一元二次不等式的实际应用某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购 a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【精彩点拨】认真阅读题意，理
7、解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.【自主解答】(1)降低税率后为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%).依题意：y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10).(2)原计划税收为200a10%20a(万元).依题意得：a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得，x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范围是(0,2.不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.再练一题2.某市新建一
8、处公园，要对园内一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围. 【导学号：18082048】【解】设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(8002x) m，宽为(6002x) m.根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为(0,100 m.探究共研型均值不等式的实际应用探究1某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的
9、后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.若设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，那么x，y间有何关系？你能建立仓库底面积S与x、y间的关系吗？【提示】x与y间关系为40x245y20xy3 200，S与x、y间的关系为Sxy.探究2在探究1中若要求S的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S的最大值？【提示】在Sxy中含两个变量x，y，而x，y满足40x90y20xy3 200，利用该关系不能将S表示为关于x或只关于y的函数，故不能用求函数求最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解.解：设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y
10、m，则有Sxy.由题意得40x245y20xy3 200.由均值不等式，得3 200220xy12020xy12020S，S6160，即(16)(10)0.160，100，S100.S的最大允许值是100 m2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【精彩点拨】平均每天所支付的总费用，根据题意列出
11、函数式，利用均值不等式求解.【自主解答】(1)设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)6139x(x1)，设平均每天所支付的总费用为Y1元，则Y11 80069x10 8092 10 80910 989，当且仅当9x，即x10时取等号.该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.(2)设该厂利用此优惠条件后，每x天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每35天购买一次面粉，即x35.设平均每天支付的总费用为Y2元，则Y21 80069x9 729(x35)，记f(x)x，x35，)，设x1，x23
12、5，)，取x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)，35x1100，x1x20，0，f(x1)f(x2)0，48x21 440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为5601 4402 000(元). 答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.1.若集合Ax|12x13，B，则AB()A.x|1x0B.x|0x1C.x|0x2D.x|0x1【解析】Ax|1x1，Bx|0x2，ABx|0x1.【答案】B2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的
13、是()A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m【解析】设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.【答案】C3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是_台.【解析】y25x0.1x25x3 0000，所以x250x30 0000，得x200(舍去)或x150，又因为0x240，xN，所以150x240，xN.【答案】1504.用一根长为100
14、m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为_. 【导学号：18082049】【解析】设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50x) m，且0x600，即x250x6000，解得20x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形.【答案】(20,30)5.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内.【解】(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1).整理得，y6 000x22 000x20 000(0x1).(2)要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有：即0x，所以投入成本增加的比例应在范围内.