1、考点6.平面向量向量及其运算平面向量与三角、数列平面向量与平面解析几何解斜三角形向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合平面向量为背景的综合题经典易错题会诊命题角度1向量及其运算1 (典型例题)如图6-1，在 RtABC中，已知BC=a，若长为 2a的线段PQ以点A为中点，问与 的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值 考场错解此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续 专家把脉 此题是湖北省20典型例题)已知，|a|=，|b|=3，a与b的夹角为45，当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，求实数A的范围 考场错解 由已知ab=|a|b|cos45=3，a+b与a+b的夹角为锐角，(a+b
2、)(a+b)0即|a|2+|b|2+(2+1)ab=0，2+9+ 3(2+1)0，解得实数的范围是专家把脉 解题时忽视了a+b与a+b的夹角为0的情况，也就是(a+b)(a+b)0既包括了 a+b与a+b的夹角为锐角，也包括了a+b与a+b的夹角为0，而a+b与a+b的夹角为0不合题意对症下药 由已知ab=|a|b|，|b|cos45=3又a+b与a+b的夹角为锐角，(a+b)(a+ b)0，且a+b(a+b)(其中 k,0)由(a+b) (a+b)0，得|a|2+|b|2+(2+1)ab0即32+11 +30，解得由a+b (a+b)，得1,，即1，综上所述实数的取值范围是(-，,1)(1，
3、+) 3(典型例题)已知O为ABC所在平面内一点且满足，则AOB与AOC的面积之比为 ( ) A1 B. D2 考场错解 O在BC边上，且 ,又AOB与AOC高相等，AOB与AOC的面积之比为2，选D 专家把脉 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O为ABC的重心的情况下，才有，而本题无此已知条件 对症下药 (1)如图6-3，在AB上取一点D，使又由已知O为CD的中点，不妨设SAOC =S，则SAOD=S(两者等底同高)AOB的面积与AOC的面积之比为3：2，选B(2)不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习
4、时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练 1 ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 (1)求1 答案：由已知得2，所以 (2)求ABC的面积 答案：设AOB=，AOC=，BOC=，由=，得cos=，sin=，SAOB= |sin=11 同理可求得cos=-，sin=，SAOC= cos=-
5、，sinr=，SBOC= 由于为锐角，,为钝角，所以不可能在AOB内部，故AOB、AOC、BOC互不重叠SABC=SAOB+ SAOC+SBOC=2 已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足ac=0，且|a|=|c|，bc0 (1)求向量c；答案：设 =(m，n)，由ac=0，得m+n=0再由，|a|=|c|，得m2+n2=2，联立，解得m=1，n= -1或m=-l，n=1，又b，c=(1，0)(m，n)=m0 m=1，n=-1，c=(1，-1) (2)若映射f:(x，y)+(x，y)=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得l上任一点在映射f的作用下的点仍在直线l上
6、，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则f:(x，y)(x+y，x-y)假设存在直线l满足题意当l的斜率不存在时，没有符合条件的直线l;当l的斜率存在时，设l：y=kx+m，在l上任取一点p(x0,y0)，则p在映射f作用下的点Q(x0+y0，x0-y0)，Q也应在l上，即x0-y0=k(x0+y0)+m又(x0，y0)在l上y0=kx0+m，整理得(1-2k-k2)x0-(k+2)m=0，此式对于任意x0恒成立1-2k-k2=0，(-k+2)m=0 解得k=-1，m=0，综上所述，存在直线l：y=(-1)x符合题
7、意 3 已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设=a，且存在实数m，使ma-3b+c成立求点A分 所成的比和m的值答案：解：设点A分所成比为，则=，所以-=(-)即a-b=(c-d)，则(1+)a-b-c=0 (1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+)a-b-3b+ma=0，即(1+m)a-(1+3)b=0 不共线，a、b不共线 1+m=0，1+3=0，解得=-，m=2 A分所成的比为-，m=21.（典型例题）设函数f(x)=ab,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|0，sin2=cos，由于cos0，
8、得sina= ，则cos=2设向量a=(cos23，cos67)b=(cos68，cos22)，c =a+tb(tR)，求|c|的最小值 答案：解：|a|=1， |b|=1 ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos(23-68)= |c|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+t. |c|的最小值为，此时t=-3 已知向量a=(2，2)，向量b与a的夹角为，且ab=-2 (1)求向量b;答案：设b=(x，y)，ab=-2，2x+2y=-2，即x+y=-1，(1)，又a与b的夹角为，|b|=1，x2+y2=1 (
9、2)，联立(1)、(2)得x=-1，y=0或x=0，y=-1， b=(-1，0)或b=(0，-1) (2)若t=(1，0)且bt，c=(cosA，2cos2)，其中A、C是ABC的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围答案：由题意得B=，A+C=，bt，t=(1，0)，b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos2c=1+(cos2A+cos2C)1+cos2A+cos2(-A)=1+cos(2A+)，0A，2A+，-1cos(2A+)bO) 由已知得c=m， 故所求的椭圆方程是 (2)设Q(xQ，yQ)，直线l的方程为y=k(x
10、+m)，则点M(0，km)，M、Q、F三点共线， 当时，由于F(-m，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得又Q在椭圆同理当故直线l的斜率是0， 2(典型例题)如图64，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=ACBD，M为CD的中点 (1)求点M的轨迹方程； (2)过M作AB的垂线，垂足为N，若存在常数o，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程 考场错解 第(2)问：设P(x，y)，M(xo，yo)，则N(0，yo) x-xo=-ox,y-yo=o(yo-y)，o=-1 专家把脉 对分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M、N、P三点共线，它们的
11、纵坐标是相等的，导致后面求出o=-1是错误的 对症下药 (1)解法1：设M(x，y)，则C(x，-1+即(x，y-1)(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x0，M的轨迹方程是:x2+y2=1(x0)解法2：设AC与BD交于E，连结EM、EO，AC+BD，CED=AEB=90，又M、O分别为CD， AB的中点，又E为分别以AB、CD为直径的圆的切点，O、C、M三点共线， |OM|=|OE|+|AB|=1，M在以原点为圆心1为半径的圆上，轨迹方程为x2+y2=1(x0)(2)设P(x，y)，则由已知可设M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP=oPN得(x-xo，0)=o(-x，0)，xo=(
12、1+o)x，又 M在x2+y2=1(x0)上，P的轨迹方程为(1+o)2x2+ y2=1(x0)，又P到A、B的距离之和为定值，P的轨迹为经A，BP为焦点的椭圆，o)2=9，P轨迹E的方程为9x2+y2=1(xO) 3(典型例题)如图65，ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在AD上，记为B；折痕l与AB交于点E，使M满足关系式 (1)建立适当坐标系，求点M的轨迹方程； (2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的 曲线组成的，F是AB边上的一点，过点F的直线交曲线于P、Q两点，且 ，求实数的取值范围 考场错解 第(1)问
13、：以AB的中点为坐标原点，以 AB所在的直线为y轴建立直角坐标系，则A(0，1)，B(0，1)，设E(0，t)，B(xo，1)，则由 y=-t，M的轨迹方程为x=x0，y=-t 专家把脉 对轨迹方程的理解不深刻，x=xo，y=-t不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中|=|是一个很重要的已知条件 对症下药 (1)解法1以AB所在的直线为y轴，AB的中点为坐标原点，建立如图6-6所示的直角坐标系，别 A(0，1)，B(0，-1)，设E(0，t)，则由已知有0t1，由及B在AD上，可解得B(2，1)由 +得(x，y-t)=(0，-1-t)+(2，1-t)，即x=2y=-t，消去t
14、得x2=-4y(0x2) 解法2以EB、EB分邻边作平行四边形由于知四边形EBMB，为菱形，且，动点M到定直线AD的距离等于M到定点B的距离，M的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线的一部分轨迹方程为x2=-4y(0x2)(2)由(1)结合已知条件知C的方程是x2=-4y (-2x2)，由知F(0，)，设过F的直线的斜率为k，则方程为y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 得x1=-x2，联立直线方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2x2知上述方程在-2，2内有两个解，由；次函数的图像知 ，由x=-x2可得由韦达定理得8k2=. 4(典型例题1)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点
15、在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点9的直线交椭圆于A、B两点， 与a=(3，-1)共线 (1)求椭圆的离心率； (2)设M为椭圆上任意一点，且，证明2+2为定值 考场错解 (1)设椭圆方程为，F(c，0)联立y=x-c与得(a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=由(x1+x2，y1+y2)， a=(3，-1)， 与a共线，得x1+x2=3，y1+y2=-1，又y1+y2=x1+x2-2c，c=2，得a2=3b2，又a2-b2 =c2=4，b2=2，a2=6，e= 专家把脉与(3，-1)共线，不是相等，错解中，认为 (3，-1)
16、，这是错误的，共线是比例相等 对症下药 (1)(前同错解)，与a共线，得3(y1+y2)+(x1+x2)=0，3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=O x1+x2=c，代入(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆可化为 x2+32=3b2设(x，y)，由已知得(x，y)=(x1，y1)+(x2，y2)， M(x，y)在椭圆上， (x1+x2)23(y1+y2)2=3b2 即2()+2(x1x2+2y1y2)= 3b2 由(1)知x2+x2= x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= =0 又又，代入得 2+2=1故2+2为定值
17、，定值为1专家会诊平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量式转化为坐标满足的关系式，再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视考场思维调练 1 已知ABC中，A(0，1)，B(2，4)，C(6，1)，P为平面上任一点，点M、N满足，给出下列相关命题：； (2)直线MN的方程是3x+10y-28=0；(3)直线MN必过ABC外心；(4)起点为A的向量(+AC)(R+)所在射线必过N，上面四个选项中正确的
18、是_.(将正确的选项序号全填上) 答案：解析：(2)(4)由已知M为AB的中点，所以M(1，)，N为ABC的重心，N(，2)MN在AB的中线上；MN的方程为3x+10y-28=0；MN过ABC的重心，又ABC不是等腰三角形MN不可能过ABC的外心； ()(R+)所在射线为BC的中线所在的射线， 必过N上(2)、(4)正确2已知A为x轴上一点，B为直线x=1上的点，且满足：. (1)若证A的横坐标为x，B的纵坐标为y，试求点P(x，y)的轨迹C的方程；答案：解：由题意，A(x,0)，B(1，y)，则=(x，0)，=(1，y)代入=0中，得： (2)设D(0，-1)，上述轨迹上是否存在M、N两点，
19、满足|=|且直线MN不平行于y轴，若存在，求出MN所在直线在y轴上截距的取值范围，若不存在，说明理 答案：假设存在M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题设MN不与x轴垂直，不妨设MN的方程为y=kx+m，联立 ,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0，显然1-3k20， =12(m2+1-3k2)0，又x1+x2=，x1x2 =设MN的中点P(x0，y0)，则有x0=,y0=，线段MN的垂直平分线方程为y-由题意D(0，-1)在该直线上，代入得4m=3k2-1，m、k满足消去k2，得m4或-m0存在这样的M、N，并且MN所在直线在y轴上截距的取值范围是(4，+)(-，0)3 已知点F
20、(1，0)，直线l:x=2，设动点P到直线l的距离为d，已知|PF|=(1)求动点户的轨迹方程； 2 答案：设P(x，y)，=1，P的轨迹为以(1，0)为焦点，以l：x=2为对应准线的椭圆且 =-c=1，解得a=，c=1，b=1又d,|2-x|，解得x，P的轨迹方程为+y2=1(x)(2)若的夹角； 答案：=(1-x，-y)，=(1，0)，=(x，y)=(1-x,)1+(-y)0=1-x=，x=，代入的夹角为arccos(3)如图，若点C满足=2，点M满足=3PF，且线段MG的垂直平分线经过P，求PGF的面积答案：由已知|；2|，G为左焦点又 又|=2，|2+|2=|2， PGF为Rt，S=命
21、题角度4解斜三角形 1(典型例题)在ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tanA的值和ABC的面积 考场错解 sinA+cosA=两边平方得 2sinAcosA=又02A3602A= 210或2A=330得A=105或A=165，当A=105时， tanA=tan(45+60)=sinA=sin(45+60)= 当A=165时，tanA=tan(45+ 120)=-2+，sinA=sin(45+120)= ，ABC的面积为专家把脉 没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若A=165，sinA=此时sinA+cosA=，显然与sinA+cosA= 的已知条件矛盾 对症下药 解法1s
22、inA+cosA=180，A-45=60，得A=105 tanA=tan(45+60)=-2-，sinA=sin(45+60)= ,SABC= 解法2 sinA+cosA=又0A0,cosA0, (sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=sinA-csoA=,解得sinA=,cosA=sinA=.2.(典型例题)设P是正方形ABCD内部的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别为1、2、3，则正方形的边长是 .考场错解 设边长为xABP=则CBP=90-，在ABP中ABP=cosCBP=sin, =1,解得x2=5+2或5-2.正方形的边长为.专家把脉没有考虑x的范围，由于三角形的两边之差
23、应小于第三边，两边之和应大于第三边，1x3.对症下药 （前同错解）1xc, 角C不是最大解，150C180不可能.对症下药依题意c=1,a=2,由正弦定理知,C的取值范围是00，cosA0即m22，由及(1)可得 y=y1+y2=x=x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=- P的坐标为，消去m得 x2+2y2+4x=0(-2x0)P的轨迹方程为x2+2y2+4x=0(-20b0)，交于PQ两点，直线l与y轴交于点K，且，求直线与双曲线的方程 解题思路 将向量关系式转化为坐标关系式，建立方程组求解 解答 的离心率为，b2=2a2，即双曲线的方程为， 设l的方程为了y=x+m，P(x1，y1
24、)，Q(x2，y2)， 由=-3得，x1x2+yly2=-3， 由得x1=-3x2， 联立得 x2-2mx-m2-2a2=0 x1+x2=2m，x1x2=-m2-2a2， y1y2=(x1+m)(x2+m)=2m2-2a2， 结合x1=-3x2，得x2=-m，x1=3m， xlx2=-3m2=-m2-2a2得m2=a2 解得yly2=0，x1x2=-3a2=-3， a2=1，m2=1，m=1 直线l的方程是y=xl，双曲线的方程是=1预测角度2平面向量为背景的综台题 1设过点M(a,b)能作抛物线y=x2的两条切线MA、MB，切点为A、B (1)求； (2)若=0，求M的轨迹方程； (3)若L
25、AMB为锐角，求点M所在的区域 解题思路 设切点坐标，利用导数求出切线的斜率，将转化为坐标运算，结合韦达定理求解 解答 (1)设抛物线上一点P(t，t2)，y=x2，y= 2x，切点为P的切线方程是：y-t2=2t(x-t)，它经过点M (a，b)，b-t2=2t(a-t)，即t2-2at+b=0，设其两根为 t1、t2，则t1+t2=2a，t1t2=b 设A(t1，t)，B(t2,t)，则=(t1-a,t-b)，= (t2-a,t-b)， =(t1-a)(t2-a)+(t-b)(t-b) 利用t1+t2=2a，t1t2=b，消去t1，t2得 =(b-a2)(4b+1) (2)设M(x，y)，
26、则由=0,=(b- a2)(4b+1)得 (y-x2)(4y+1)=0，又M在抛物线外部， y0，结合(1)中结果有(y-x2)(4y+1)0，而yx2，4y+10，即点M所在区域为y=-的下方 2已知=(1，1)，=(1，5)，=(5，1) 若=x，y=(x，yR) (1)求y=f(x)的解析式； (2)把f(x)的图像按向量a=(-3，4)平移得到曲线C1，然后再作曲线C，关于直线y=x，的对称曲线C2，设点列P1，P2，Pn在曲线C2的x轴上方的部分上，点列Ql，Q2Qn是x轴上的点列，且OQ1P1，Q1Q2P2,Qn-1QnPn都是等边三角形，设它们的边长分别为a1，a2，an，求Sn
27、=a1+a2+an的表达式 解题思路 将都用x表示，再利用数量积的坐标运算，可求解(1)，第(2)问关键是找an的递推关系式，进而求an的通项，求Sn 解答 (1) y= f(x)=x2-6x+5 (2)将y=f(x)的图像按a=(-3，4)平移得到曲线C1， C1:y=x2，而C1关于y=x对称曲线是C2：y2=x，在x轴上方的方程为y=， 由已知Qn-1(Sn-1，0)，Pn(Sn-1+ )， 又Pn在y=上 =Sn-1+an， 两式相减得： (a-a)=(an+an+1)， 又an+1an an+1-an=，又可求得a1=，考点高分解题综合训练 1 已知O、A、M、B为平面上四点，且+(
28、1-)，A(1，2)，则 ( ) A.点M在线段AB上 B点B在线段AM上 B.点A在线段BM上 DO、A、M、B四点共线 答案： B 解析：由=+(1-)，得=(-)， = ，又(1，2)， 点B在线 段AM上， 选B2已知ABC中，=a，=b,ab0，SABC=，|a|=3，|b|1=5，则a与b的夹角为 ( ) A30 B-150C150 D30或150 答案： C 解析：SABC=|a|b|sinC=， 又|a|=3，|b|=；5 sinC=，又ab=|a|，|b|cosC0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，户为双曲线的左支上的点，点M在右准线上，且满足. (1)求此双曲线的离心率e
29、；答案：由得四边形F1OMP为平行四边形， =为菱形，| =C，由双 曲线的定义有+2a，=2a+c又=c， =e，解得e=2， (2)若此双曲线过N(2,)，求双曲线的方程；答案：可设双曲线方程为=1，又过N(2，)， a2=3,双曲线的方程为=1(3)在(2)的条件下，B1、B2分别是双曲线的虚轴端点(B1在y轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且 时，直线AB的方程 答案：由已知B2在AB上，可设AB的方程为y=kx-3，又，B1B的方程为y=-x+3解得B ()，又B在=1上， 9()2-3()2-27=0， 解得k=1，AB的方程为y=(1)x-312 已知等轴双曲线C：x2-y2=a
30、2(a0)上一定点P(x0，y0)及曲线C上两动点A、B满足(-)(-)=0(其中O为原点) (1)求证：()()=0；答案：设A(x1，y1)、B(x2，y2)， A、B、P在双曲线上， (x1-x0)(x1+x0)=(y1-y0)(y1+y0) (1)，(x2-x0)(x2+x0)=(y2-y0)(y2+y0) (2)，(1)(2)得(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=(y， -y0)(y2-y0)(y1+y0)(y2+y0)，(3)，又(- )(-)=0，(x1-x0)(x2-x0)= -(y1-y0)(y2-y0) (4)，将(4)代人(3)中得(x1+x0) (
31、x2+x0)+(y1+y0)(y2+y0)=0 (+)(+)=0；(2)求|AB|的最小值 答案：由(1)得=0，取AP、BP的中点M、N，连接OM、ON，=0，O、M、P、N四点共圆，且|AB|=2|MN|，利用圆的知识有MN为直径，|MN|OP|AB|2|OP|=213 已知 (1)求|-|；答案：由已知可得|=|= 且CDAD， cosBAC，根据余弦定理得：.(2)设BAC=，且cos(+x)=，-x-x-答案：由cos=，(0，)得=，cos(+x，)=cos(+x)=，则sin(+x)=，而一x，如果0+x，则sin(+x)sin故sin(+x)=-sinx=sin()=-14 如图6-8，已知ABC的三边分别为a,b,c,A为圆心，直径PQ=2r问P、Q在什么位置时， 有最大值？答案：解：设BAC=，PA的延长线与BC的延长线交于D，PDB=Q，则bccos-r2+racos，a，b，c，r均为定值，只需cos=1，即PQBC时， 、最大