1、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(图 1)KS5U2015 江苏高考压轴卷数学一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知复数 z 的实部为2，虚部为 1，则 z 的模等于.2.已知集合3,0,1A，集合2xyxB，则BA.3.右图 1 是一个算法流程图，若输入 x 的值为4，则输出 y 的值为.4.函数)1(log21)(2xxfx的定义域为.5.样本容量为 10 的一组数据，它们的平均数是 5，频率如条形图 2 所示，则这组数据的方差等于6.设,是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若,|,nnm 则|n
2、 m；若,mn，,mn，则；若,m nnm，则 n；若,mmn，则 n.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(ryx上有且只有两个点到直线234:yxl的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是.图 2高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！8.已 知 命 题 2:,2,Pbf xxbxc 在,1 上 为 减 函 数；命 题0:QxZ，使得021x .则在命题 PQ，PQ，PQ，PQ中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,)1bxcf xa b cRxax),(Rdcba，其图象如图3 所示，则cba.10.函数2322)(223xaxaxxf的图象经
3、过四个象限，则 a 的取值范围是11.在 ABC中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sinsinsinACBbcac，则函数22()cos()sin()22xxf xAA在3,2 2上的单调递增区间是.12.“已 知 关 于 x 的 不 等 式02cbxax的 解 集 为)2,1(，解 关 于 x 的 不 等 式02abxcx.”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于 x 的不等式0cxbxaxb的解集为)1,21()31,1(，则关于 x 的不等式0cxbxaxb的解集为.13.2014 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列
4、产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列 na满足2110nnn naa，定义使2logka 为整数的实数 k 为“青奥吉祥数”，则在区间1，2014内的所有“青奥吉祥数之和”为_14.已知 22,032,0 xxf xxx，设集合,11Ay yf xx，,11By yaxx，若对同一 x 的值，总有12yy，其中12,yA yB，则实数a 的取值范围是解：由02cbxax的解集为)2,1(，得0112cxbxa的解集为)1,21(，即关于x 的不等式02abxcx的解集为)1,21(.xy1212图 3高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！二、解答题（本大
5、题共 6 小题，共 90 分）15.在ABC中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，向 量(1 sin,1),1,sincos2CmnCC，且.nm（1）求sinC 的值；（2）若2248abab，求边 c 的长度.16.如图 4，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知28BDAD，24 5ABDC（1）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD 平面 PAD；（2）求四棱锥 PABCD的体积17.如图 5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在 GH 上的一点 B 的正北方向的 A 处建一仓库，设 AB=y km
6、，并在公路同侧建造边长为 x km 的正方形无顶中转站 CDEF（其中边 EF 在 GH 上），现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB，AC，已知 AB=AC 1，且ABC=60o（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为 1 万元/km，两条道路造价为 3 万元/km，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价 M 最低？ABCMPD图 4图 5高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！OMNF2F1yx（图 6）18.如图 6，椭圆22221xyab(0)ab过点3(1,)2P，其左、右焦点分别为12,F F，离心率12e
7、，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N（1）求椭圆的方程；（2）求 MN 的最小值；（3）以 MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论19.已知函数).1,0(ln)(2aaaxxaxfx（1）求曲线()yf x在点)0(,0(f处的切线方程；（2）求函数)(xf的单调增区间；（3）若存在1,1,21xx，使得eexfxf(1)()(21是自然对数的底数)，求实数 a 的取值范围高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！20.已知数列an中，a2=a(a 为非零常数)，其前 n 项和 Sn满足 Sn=n(ana1)2(nN*)（1）求数列an的通项
8、公式；（2）若 a=2，且21114mnaS，求 m、n 的值；（3）是否存在实数 a、b，使得对任意正整数 p，数列an中满足nabp的最大项恰为第23p项？若存在，分别求出 a 与 b 的取值范围；若不存在，请说明理由数学（附加题）21A选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB，C 为切点求证：AP BCAC CP21B已知矩阵2 13,1 25M ，计算2M 21C已知圆C 的极坐标方程是4sin，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是32(12xttytm 是参
9、数）若直线l 与圆C 相切，求正数 m 的值BACPO（第 21-A 题）高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！MPDCBA（第 22 题）21D（本小题满分 10 分，不等式选讲）已知不等式22|1|a bcx 对于满足条件1222cba的任意实数cba,恒成立,求实数 x 的取值范围【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）22.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，60ABC，6PA，M 为 PC 的
10、中点（1）求异面直线 PB 与 MD 所成的角的大小；（2）求平面 PCD 与平面 PAD 所成的二面角的正弦值23（本小题满分 10 分）袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程 n 次后，袋中白球的个数记为 Xn（1）求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2)；（2）求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！KS5U2015 江苏高考压轴卷数学答案一、填空题
11、1.52.0,13.24.),2()2,1(5.7.26.7.8.149.410.),1(4481,11.0,12.)1,31()21,1(13.204714.1,0提示：1.iz2，则iz2，则5)1()2(22z.2.2022xxxxxyxB，又3,0,1A，所以0,1BA.3.当4x时，34，则7x；当7x时，37，4x；当4x时，34，1x；当1x时，31 不成立，则输出221 y.4.要使原式有意义，则1101xx，即1x且2x.5.2 出现44.010次，5 出现22.010次，8 出现44.010次，所以2.7)55(4)55(2)52(41012222s.6.逐个判断。由线面平
12、行的性质定理知正确；由面面平行的判定定理知直线,m n 相交时才成立，所以错误；由面面垂直的性质定理知正确；中，可以是 n，所以错误，即正确命题是.7.如图 7，要使圆222)5()3(ryx上有且只有两个点到直线234:yxl的距离等于 1，只须转化为圆与直线 n 相交，且与直线 m 相离，即CQrCP，又圆心到直线l 的距离为 5，则64 r.xymnlCPQO图 7高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！8.因为,2b ，函数 f x 的对称轴12bx ，且开口向上，所以命题 P 正确；又由021x 解得00 x，0 xZ，比如01x ，所以命题Q 也正确，所以,PQ
13、都是假命题，只有 PQ是真命题，故由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是 14.9.由图可知，()f x 为奇函数，则0ac，又(1)2f，解得4b，所以4abc.10.)(23(23)(22axaxaaxxxf，0)(xf得32ax，ax.当0a时，)(xf在),(a和,32 a上是增函数，在aa32,上是减函数.因为023)0(f，所以)(xf必过一、二、三象限，故只要)(xf极小值小于 0 即可.032af的解为4481a，同理，当0a时，0)(af得1a.综上，a 的取值范围是),1(4481,.11.由 sinsinsinACBbcac，利用正弦定理可得 acbbcac，所以
14、222=+abcbc，由余 弦 定 理 得1cos=2A，又 A 为 ABC 的 内 角，所 以3A，所 以22221+cos+1 cos133()cos()sin()=cos2323222xxxxf xx，令22kxkkZ，与3,2 2取交集得所求递增区间是0,.12.由0cxbxaxb的解集为)1,21()31,1(，得0cxbxaxb的解集为)1,31()21,1(，即0cxbxaxb的解集为)1,31()21,1(.13.因为 2111110nnnnn naanana，又0na，所以1nan，当221loglog km mZk 时，21,2014mkmZ，0,1,2,10m ，所以在区
15、间1，2014内的所有奥运吉祥数之和为11012101 222+22=20471 2.14.由 题 意 可 得 f xax对 任 意1,1x 恒 成 立，当1,1x 时，1-112xyOA(-1,1)图 8高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！22,10223,03232,13xxf xxxxx ，作出函数图象如图 8，显然当0a时，不满足题意；当0a 时，只要直线 yax在1,0 x 上与线段OA 重合或者在线段OA 下方时，满足题意，所以 10a.二、解答题15.解析：（1）.nm，0m n，则1 sinsincos02CCC，（2 分）即21 sin2sincos1
16、 2sin2222CCCC（），（4 分）又0,22C，sin0,12C，故（）可化简为1cossin222CC，（5 分）两边平方得11 sin4C，3sin4C.（2）又2248abab得22220ab，a=2,b=2，（9 分）由（1）知1cossin0222CC，,24 2C，,2C，7cos4C ，（12分）在ABC 中，由余弦定理可得22272cos442 2 24cababC .82 7，故71c .16.（1）证明：在ABD中，由于4AD，8BD，4 5AB，所以222ADBDAB故 ADBD又平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCDAD，BD 平面 ABCD
17、，所以 BD 平面 PAD，又 BD 平面 MBD，故平面 MBD 平面 PAD（2）过 P 作 POAD交 AD 于O，由于平面 PAD 平面 ABCD，所以 PO 平面 ABCD 因此 PO 为四棱锥 PABCD的高，ABCMPDO高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！又PAD是边长为 4 的等边三角形因此342 32PO 在底面四边形 ABCD 中，ABDC，2ABDC，所以四边形 ABCD 是梯形，在 RtADB中，斜边 AB 边上的高为 4 88 554 5，此即为梯形 ABCD 的高，所以四边形 ABCD 的面积为2 54 58 52425S故124 2 31
18、6 33P ABCDV 17.解：（1）因为1,ACAByAB，所以1 yAC.在直角三角形 BCF 中，因为60,ABCxCF，所以xBCCBF2,30.由于yyx12，得21x.在ABC 中，因为60cos2222BCABBCABAC，222(1)42yyxxy则2412(1)xyx由0y，及21x，得1x即 y 关于 x 的函数解析式为2412(1)xyx（1x）（2）21233(21)4341xMyxxx令tx1，则212(1)3934(1)162549tMtttt，在34t，即74x，152y 时，总造价 M 最低答：74x 时，该公司建中转站围墙和道路总造价 M 最低18.（1）1
19、2cea，且过点3(1,)2P，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！22222191,42,abacabc解得2,3,ab 椭圆方程为22143xy.（2）设点12(4,),(4,)MyNy,则1122(5,),(3,),F MyF Ny1212150F M F Ny y，1215y y 又211111151515MNyyyyyy+2，MN的最小值为 2 15（3）圆心C 的坐标为12(4,)2yy，半径212yyr.圆C 的方程为2221221()(4)()24yyyyxy，整理得2212128()160 xyxyyyy y.1215y y ，22128()10 xy
20、xyyy，令0y，得2810 xx，415x.圆C 过定点(415,0).19.（1）因为函数2()ln(0,1)xf xaxxa aa+，所以()ln2lnxfxaaxa+，(0)0f，又因为(0)1f，所以函数()f x 在点(0,(0)f处的切线方程为1y （2）由（1），()ln2ln2(1)lnxxfxaaxaxaa+因为当0,1aa 时，总有()fx在 R 上是增函数，又(0)0f，所以不等式()0fx的解集为(0,)+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)+（3）因为存在12,1,1x x ，使得12()()e1f xf x成立，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所
21、有，侵权必究！而当 1,1x 时，12maxmin()()()()f xf xf xf x，所以只要maxmin()()e1f xf x即可又因为 x，()fx，()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)0(0,)+()fx0+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在 1,0上是减函数，在0,1 上是增函数，所以当 1,1x 时，f x 的最小值 min01f xf，f x 的最大值 maxf x为1f 和 1f中的最大值因为11(1)(1)(1ln)(1ln)2lnffaaaaaaa+，令1()2ln(0)g aaa aa，因为22121()1(1)0g aaaa+，所以1()2ln
22、g aaaa在0,a 上是增函数而(1)0g，故当1a 时，0g a，即(1)(1)ff；当 01a 时，0g a，即(1)(1)ff所以，当1a 时，(1)(0)e1ff，即lne1aa，函数lnyaa在(1,)a 上是增函数，解得ea；当 01a 时，(1)(0)e1ff，即 1lne1aa，函数1lnyaa在(0,1)a上是减函数，解得10ea综上可知，所求 a 的取值范围为1(0,e,)ea+20.解：（1）由已知，得 a1=S1=1(a1a1)2=0，Sn=nan2，则有 Sn+1=(n+1)an+12，2(Sn+1Sn)=(n+1)an+1nan，即(n1)an+1=nan，nan
23、+2=(n+1)an+1，两式相加，得 2an+1=an+2+an，nN*，即 an+1an+1=an+1an，nN*，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！故数列an是等差数列又 a1=0，a2=a，an=(n1)a（2）若 a=2，则 an=2(n1)，Sn=n(n1)由21114mnaS，得 n2n+11=(m1)2，即 4(m1)2(2n1)2=43，(2m+2n3)(2m2n1)=4343 是质数，2m+2n32m2n1，2m+2n30，2211,22343,mnmn 解得 m=12，n=11（3）由 an+bp，得 a(n1)+bp若 a0，则 npba+1不
24、等式 an+bp 成立的最大正整数解为 3p2，3p2pba+13p1，即 2ab(3a1)p3ab 对任意正整数 p 都成立3a1=0，解得 a=13，此时，23b01b，解得23b1故存在实数 a、b 满足条件，a 与 b 的取值范围是 a=13，23b121.A证明：因为 PC 为圆 O 的切线，所以PCACBP，又CPACPB，故 CAP BCP，所以 ACAPBCPC，即 AP BCAC CP21.B高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解法一：矩阵 M 的特征多项式为221()4312f ，令()0f ，解得1,3，对应的一个特征向量分别为1211,11 ，令
25、12mn，得1,4mn，22221212(4)()4()MMMM 2211351 14 31137 解法二：因为22 12 11 21 2M ，所以2335537M 21.C解：由4sin，得24 sin，所以2240 xyy，即圆C 方程为22(2)4xy.又 由3212xtytm，消 t 得330 xym，因 为 直 线 l 与 圆 C 相 切，所 以|2 33|22m得4 323m，又0m，所以4 323m 21.D解：因为2222(2)(1 1 2)()4a bcabc ，所以22a bc，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！又22|-1|a bcx 对任意实数
26、cba,恒成立,故2max|1|(2)2xabc，解得33xx或22.解：（1）设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为顶点，向量 OC，OD为 x，y 轴，平行于 AP 且方向向上的向量为 z 轴建立直角坐标系则(1,0,0)A，(1,0,0)C，(0,3,0)B，(0,3,0)D，(1,0,6)P，所以6(0,0,)2M，6(0,3,)2MD，(1,3,6)PB，33cos,0331362MD PAMD PAMD PA 所以异面直线 PB 与 MD 所成的角为 90（2）设平面 PCD 的法向量为1111(,)x y zn，平面 PAD 的法向量为2222(,)xyzn，因为(1,3,0
27、)CD ，(1,3,6)PD，(0,0,6)PA，由111111130,360,CDxyPDxyz nn令11y ，得1(3,1,2)n，由22222260,30,PAzPDxyz nn令21y ，得2(3,1,0)n，所以1212123 16cos,662nnn nn n，所以1230sin,6n n23.解：（1）由题意可知 X23，4，5当 X23 时，即二次摸球均摸到白球，其概率是 P(X23)11331188CCCC 964；当 X24 时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是 P(X24)1111355411118888C CC CC CC C 3564；当 X25 时，即二次
28、摸球均摸到黑球，其概率是 P(X25)11541188C CC C 516 3 分所以随机变量 X2 的概率分布如下表：X2345P9643564516高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（一个概率得一分不列表不扣分）数学期望 E(X2)935526734564641664（2）设 P(Xn3+k)pk，k0，1，2，3，4，5则 p0+p1+p2+p3+p4+p51，E(Xn)3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+13)038 p，P(Xn+14)58 p0+48 p1，P(Xn+15)48 p1+58 p2，P(Xn+16)38 p2+68 p3，P(Xn+17)28 p3+78 p4，P(Xn+18)18 p4+88 p5，所以，E(Xn+1)3 38 p0+4(58 p0+48 p1)+5(48 p1+58 p2)+6(38 p2+68 p3)+7(28 p3+78 p4)+8(18 p4+88 p5)298 p0+368 p1+438 p2+508 p3+578 p4+648 p5 78(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+p0+p1+p2+p3+p4+p5 78 E(Xn)+1由此可知，E(Xn+1)8 78(E(Xn)8)又 E(X1)8358，所以 E(Xn)135 78()88n
