1、4.4.3不同函数增长的差异知识点一几类函数模型的增长差异1下列函数中，增长速度最快的是()Ay2019x Byx2019Cylog2019x Dy2019x答案A解析比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.2当2x2xlog2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取x3，经检验易知选B.3以固定的速度向如下图所示的瓶子中注水，则水深h与时间t的函数关系是()答案B解析水深h的增长速度越来越快4下列四种说法中，正确的是()A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B对任意的x0，xalogaxC对任意的x0，axlogaxD不一定存在x0，
2、当xx0时，总有axxalogax答案D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较对于B，C，当0a1时，显然不成立对于D，当a1时，一定存在x0，使得当xx0时，总有axxalogax，但若去掉限制条件“a1”，则结论不成立故选D.5四个变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如下表：则关于x呈指数型函数变化的变量是_答案y2解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量
3、y2关于x呈指数型函数变化6图象f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)解由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)x，曲线C3对应的函数是g(x)ln x1.由图象可得：当xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当exf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x)7函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A
4、(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12，9x210，x16x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2020)g(2020)又g(2020)g(6)，f(2020)g(2020)g(6)f(6)知识点二函数模型的选择问题8某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()Ayaxb Byax2bxcCyaexb Dyaln xb答案B解析由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是yax2bxc.9有一组实验数据如下表所示：x123
5、45y413284976下列所给函数模型较适合的是()Aylogax(a1) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)答案C解析通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.10据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系式近似是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x答案C解析对于A，当x3时，y0.6，与0.76相差0.16；对于B，当x3时，y1.5，与0.76相差0.74；对于C，
6、当x3时，y0.8，与0.76相差0.04；对于D，当x3时，y0.2log1630.6，与0.76相差0.16，故选C.11某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t，130 t为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax2bxc(a，b，c均为待定系数，xN*)或函数yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，xN*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解根据题意可列方程组解得所以yf(x)5x
7、235x70.同理yg(x)800.5x140. 再将x4分别代入式与式，得f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t)与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg(x)pqxr作为模拟函数较好12某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长记2013年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.(
8、1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2013年和2015年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2019年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量解(1)符合条件的是f(x)axb，若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与已知相差太大，不符合若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与已知不符合若模型为f(x)axb，由已知得解得所以f(x)x，xN.(2)2019年预计年产量为f(7)713，2019年实际年产量为13(130%)9.
9、1，故2019年的年产量为9.1万件易错点对几类函数模型的增长差异理解不透致误下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()Ayex By100ln xCyx10 Dy1002x易错分析错误的根本原因在于影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而非其系数，本题误认为100，得出1002x比ex增大速度快的错误结论，错选D.答案A正解通过函数yax(a1)，ylogax(a1)，ykx(k0)的图象观察可得yax的增长速度大于ykx的增长速度，ykx的增长速度大于ylogax的增长速度，A，D最快又yex中底数e2.yex的增长速度大于y1002x，选A.一、单项选择题1下列函数中，随着x的增
10、长，增长速度最快的是()Ay50 By1000xCy50x2 Dyex答案D解析通过观察图象可知，yex随着x的增长，y的增长速度最快2某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象3如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x45678910y15171921232527A一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型答案A解析随着自变量每增加1函数
11、值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型故选A.4据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，按此规律，2020年的湖水量为m，从2020年起经过x年后湖水量y与x的函数关系是()Ay0.9m BymCy0.950xm Dy(10.150x)m答案A解析由已知50年减少10%，则x年后湖水量为原来的0.9，所以湖水量为y0.9m，故选A.5. 向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()答案B解析取OH的中点(如右图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半，易知B符合题意6某公司为了适应市场需求，对产
12、品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型答案D解析一次函数模型增长均匀，不符合题意；二次函数模型在对称轴的两侧有增也有降，不符合题意；指数函数模型是“爆炸式”增长，不符合题意故只有对数函数模型最符合题意，先快速增长，后来增长越来越慢7下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是()Ay101.05x By20x1.5Cy30lg (x1) Dy50答案A解析结合三类函数的增长差异可知A的预期收益最
13、大8下面对函数f(x)logx，g(x)x与h(x)x在区间(0，)上的衰减情况说法正确的是()Af(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢Bf(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快Cf(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢Df(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快答案C解析观察函数f(x)logx，g(x)x与h(x)x在区间(0，)上的大致图象(如图)，可知函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，)上递减较慢，且
14、越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，)上递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，)上递减较慢，且越来越慢，故选C.二、多项选择题9. 在某种金属材料的耐高温实验中，温度y()随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的是()A前5 min温度增加越来越快B前5 min温度增加越来越慢C5 min后温度保持匀速增加D5 min后温度保持不变答案BC解析根据图象信息可得，前5 min温度y随x的增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x变化的曲线是直线，即温度匀速增加10生活经
15、验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，下列各项中图象与容器相匹配的是()Aa对应 Bb对应Cc对应 Dd对应答案AD解析a容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与对应；b容器为球形，水高度变化为快慢快，应与对应；c，d容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但c容器细，d容器粗，故水高度的变化为c容器快，与对应，d容器慢，与对应故选AD.11假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则()A投资3天以内(含3天)，采用方案一B投资4天，不采用方
16、案三C投资6天，采用方案一D投资12天，采用方案二答案ABC解析由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为404160(元)，方案二的回报约为10203040100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为406240(元)，方案二的回报约为102030405060210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误故选ABC.12甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x
17、)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)下列结论中正确的是()A当x1时，甲走在最前面B丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面C当0x1时，丁走在最后面D如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲答案BCD解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易如，B，C，D正确三、填空题13函数yx2与函数yxln x在区间(0，)上增长较快的一个是_答案yx2解析当x变大时，x比ln x增长要快，x2要比xln x增长的要快14现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用_作为函
18、数模型答案甲解析把x1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好15函数y2xx2的图象大致是_(填序号)答案解析在同一平面直角坐标系中作出y2x，yx2的图象(图略)易知在区间(0，)上，当x(0,2)时，2xx2，即此时y0；当x(2,4)时，2xx2，即yx2，即y0.当x1时，f(1)2110，据此可知只有选项中的图象符合条件16某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间 t60100180种植成本 Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市
19、时间t的变化关系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.你选取的函数是_，西红柿种植成本最低时的上市天数是_答案Qat2btc120解析由提供的数据可知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数Qatb，Qabt，Qalogbt，在a0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数Qat2btc进行描述，将表格所提供的三组数据(60,116)，(100,84)，(180,116)分别代入Q可得解得a，b，c224，Q t2t224，该函数图象的对称轴为直线t120，开口向上，在对称轴处即t120时函数取得最小值故选取的函数是
20、Qat2btc，西红柿种植成本最低时的上市天数为120.四、解答题17我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：时间t24高度h102517(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1ktb，y2at2btc，y3abt，确定此函数解析式，并简单说明理由；(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度解(1)由表中数据分析可知，烟花距地面
21、的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，而在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数设h(t)at2btc，有h(t)4t220t1(t0)(2)h(t)4t220t14(t25t)14226，当烟花冲出后2.5 s 时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米18某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得101000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的
22、条件；(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：f(x) 2；f(x)4lg x2.试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求解(1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：当x10,1000时，f(x)是增函数；f(x)1恒成立；f(x)恒成立(2)对于函数模型f(x)2：当x10,1000时，f(x)是增函数，且f(x)f(10)1，即f(x)1恒成立，而若使函数f(x)2在10,1000上恒成立，则29x300在10,1000上恒成立又当x10时，29x2910290300，所以f(x)在10,1000上不恒成立故该函数模型不符合公司的要求对于函数模型f(x)4lg x2：当x10,1000时，f(x)是增函数，且f(x)f(10)4lg 10221，所以f(x)1在10,1000上恒成立在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)4lg x2和y的图象，如图所示由图象可知当x10,1000时，4lg x2恒成立故该函数模型符合公司的要求
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