1、成都龙泉第二中学高2015级高二（上）入学考试试题数 学（满分120分，时间120分钟）第卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1等比数列an中，a3a5=64，则a4=（） A8 B8 C8或8 D162函数的定义域是（） A B C D3.已知点与点关于直线对称，则直线的方程为 （ ） A B. C D4设m，n是不同的直线，、是三个不同的平面，有以下四个命题： 若m，n，则mn； 若=m，=n，mn则； 若，m，则m 若，则 其中正确命题的序号是（） A B C D5若实数a，b满足+=，则ab的最小值为
2、（） A B2 C2 D46若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（） A（x2）2+（y1）2=1 B（x2）2+（y+1）2=1 C（x+2）2+（y1）2=1 D（x3）2+（y1）2=17直线L的方程为AxBy+C=0，若直线L过原点和一、三象限，则（C） AC=0，B0 BA0，B0，C=0 CAB0，C=0 DC=0，AB08已知角（，2），则下列结论正确的是（） Asin0 Bcos0 Ctan0 Dsincos09从6个篮球、2个气排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（） A3个都是篮球 B至少有1个是气排球 C3个都是
3、气排球 D至少有1个是篮球10已知如图是函数y=2sin（x+）（|）的图象上的一段，则（） A=，= B=，=C=2，= D=2，=11如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（） A2 B+2 C +2 D +212定义为n个正数p1，p2pn的“平均倒数”若已知数列an的前n项的“平均倒数”为，又bn=，则+等于（） A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13如果f（tanx）=sin2x5sinxco
4、sx，那么f（2）= 14已知x0，y0，且2x+8yxy=0，则x+y的最小值为 15假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是 16已知f（x，y）=（xy）2+（4+）2，则f（x，y）的最大值为三、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知O（0，0），A（2，1），B（1，2）（1）求OAB的面积；（2）若点C满足直线BCAB，且ACOB，求点C的坐标18（12分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD
5、，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点（1）求证：MN平面PCD；（2）若二面角PCDB等于30，求四棱锥PABCD的体积 19（12分）已知sin=，0（1）求sin2的值；（2）若cos（）=，0，求cos的值20（12分）已知圆心为C的圆：（xa）2+（yb）2=8（a，b为正整数）过点A（0，1），且与直线y32=0相切（1）求圆C的方程；（2）若过点M（4，1）的直线l与圆C相交于E，F两点，且=0求直线l的方程21（12分）如图，已知一四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（
6、1）求四棱锥PABCD的体积；（2）证明：BDAE（3）求二面角PBDC的正切值 22（12分）已知数列an满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an1（n2，nN+）（）设bn=an+1+an（nN+），求证bn是等比数列；（）（i）求数列an的通项公式； （ii）求证：对于任意nN+都有+成立成都龙泉第二中学高2015级高二（上）入学考试试题数 学（解答版）（满分120分，时间120分钟）第卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1等比数列an中，a3a5=64，则a4=（C） A8 B8 C8或8
7、 D162函数的定义域是（D） A B C D3.已知点与点关于直线对称，则直线的方程为 （ A ） A B. C D4设m，n是不同的直线，、是三个不同的平面，有以下四个命题： 若m，n，则mn； 若=m，=n，mn则； 若，m，则m 若，则 其中正确命题的序号是（A） A B C D5若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（C） A B2 C2 D46若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（A） A（x2）2+（y1）2=1 B（x2）2+（y+1）2=1 C（x+2）2+（y1）2=1 D（x3）2+（y1）2=17直线L的方程为AxBy+
8、C=0，若直线L过原点和一、三象限，则（C） AC=0，B0 BA0，B0，C=0 CAB0，C=0 DC=0，AB08已知角（，2），则下列结论正确的是（D） Asin0 Bcos0 Ctan0 Dsincos09从6个篮球、2个气排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（D） A3个都是篮球 B至少有1个是气排球 C3个都是气排球 D至少有1个是篮球10已知如图是函数y=2sin（x+）（|）的图象上的一段，则（C） A=，= B=，=C=2，= D=2，=11如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）一只蚂
9、蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（A） A2 B+2 C +2 D +212定义为n个正数p1，p2pn的“平均倒数”若已知数列an的前n项的“平均倒数”为，又bn=，则+等于（B） A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13如果f（tanx）=sin2x5sinxcosx，那么f（2）=【解答】解：f（tanx）=sin2x5sinxcosx=，令tanx=2，得f（2）=故答案为：14已知x0，y0，且2x+8yxy=0，则x+y的最小值为18【解答】解：已知x0，y0，且2x+8yxy=02x+8y=xy即： +=1
10、利用基本不等式：则x+y=（x+y）（+）=+108+10=18，当且仅当x=2y时成立则x+y的最小值为18故答案为1815假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题
11、意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）=，故答案为：16已知f（x，y）=（xy）2+（4+）2，则f（x，y）的最大值为【解答】解：f（x，y）=（xy）2+（4+）2，表示两点A（x，4+）和B（y，）的距离的平方由A在上半圆x2+（y4）2=1运动，B在下半椭圆+n2=1上运动，由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值设半椭圆上P（m，n）（1n0），即有|CP|=，当n=时，|CP|取得最大值3，则有f（x，y）的最大值为（3+1）2=28+6故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程
12、或演算步骤）17（10分）已知O（0，0），A（2，1），B（1，2）（1）求OAB的面积；（2）若点C满足直线BCAB，且ACOB，求点C的坐标【解答】解：（1）由题意得，|OA|=|OB|=，=（2，1），=（1，2），=0，OAOB，则OAB的面积S=；（2）设点C的坐标为（x，y），则=（x1，y2），=（x2，y+1），且=（1，3），直线BCAB，且ACOB，=0，则，解得，点C的坐标为（4，3）18（12分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点（1）求证：MN平面PCD；（2）若二面角PCDB
13、等于30，求四棱锥PABCD的体积 【解答】（1）证明：取PD中点E，连结NE，CEN为PA中点，NEAD，NE=AD，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，MCAD，MC=ADNEMC，NE=MC，即MNEC为平行四边形，MNCEEC平面PCD，且MN平面PCD，MN平面PCD（2）解：AB=1，AC=，AD=2，AB2+AC2=AD2，ACCD，PA平面ABCD，PCCD，PCA是二面角PCDB的平面角，即PCA=30，PA=tan30=1，四棱锥PABCD的体积=19（12分）已知sin=，0（1）求sin2的值；（2）若cos（）=，0，求cos的值【解答】解：（1）sin=，0，
14、cos=，sin2=2sincos=2=（2）若cos（）=，0，sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=+（）=20（12分）已知圆心为C的圆：（xa）2+（yb）2=8（a，b为正整数）过点A（0，1），且与直线y32=0相切（1）求圆C的方程；（2）若过点M（4，1）的直线l与圆C相交于E，F两点，且=0求直线l的方程【解答】解：（1）圆C为（xa）2+（yb）2=8（a，b）为正整数，圆C的半径为，圆心为（a，b）圆C过点A（0，1）且与直线相切，圆C的方程为（x2）2+（y3）2=8，（2）直线l与圆C相交于E，F两点，且CECF，即CEF为等腰直角三角
15、形圆C的半径为，圆心C到直线l的距离为2，当直线l的斜率不存在时，即直线l为x=4，很显然满足题意要求，当直线l的斜率存在时，设直线l为：y=k（x4）1，即即直线l为由上综合可知，直线l为x=4或21（12分）如图，已知一四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC底面ABCD，且PC=2，E是侧棱PC上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）证明：BDAE（3）求二面角PBDC的正切值 【解答】（1）解：四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC底面ABCD，PC=2，四棱锥PABCD的体积：V=（2）证明：连结AC，ABCD是正方形，BDAC，PC底面ABCD，且B
16、D平面ABCD，BDPC，不论点E在何位置，都有AE平面PAC，BDAE（3）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，0），设平面PBD的法向量，则，取x=2，得，由题意知，设二面角PBDC的平面角为，则cos=cos=，tan=2二面角PBDC的正切值为222（12分）已知数列an满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an1（n2，nN+）（）设bn=an+1+an（nN+），求证bn是等比数列；（）（i）求数列an的通项公式； （ii）求证：对于任意nN+都有+成立【解答】证明：（）已知数列an满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an1（n2，nN+）则：an+1+an=3（an+an1）即：，所以：，数列bn是等比数列（）（i）由于数列bn是等比数列则：，整理得：所以：则：是以（）为首项，1为公比的等比数列所以：求得：（ii）由于：，所以：，则：（1）当n为奇数时，当n为偶数时，所以： =+，所以：nk时，对任意的k都有恒成立
