1、上海市格致中学 2019-2020 学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题 1.设1 224izi（i 为虚数单位），则 z _.【答案】2 【解析】【分析】利用复数的除法法则可得 z，可求得 z，进而利用复数的模长公式可求得 z 的值.【详 解】1 224iziQ，241 224686812121 2555iiiiziiii ，6855zi ，因此，2268255z.故答案为：2.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法与共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.2.双曲线22312xy的两渐近线的夹角大小为_.【答案】3；【解析】【分析】根据双曲线的方程，求得
2、其见解析的方程，利用直线的夹角公式，即可求解.【详解】由双曲线22312xy，可化为221412xy，可得双曲线的两条渐近线的方程为3yx，设双曲线的两条渐近线夹角为 且0,2，则3(3)tan313(3)，所以3，即两条渐近线的倾斜角分别为 3.故答案为 3.【点睛】本题主要考查了以双曲线为载体，求解两直线的夹角，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理可用直线的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.以抛物线24yx的焦点 F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为_【答案】2214xy【解析】【分析】首先求得抛物线的焦点坐标，也即圆心的坐标，根据焦点到抛物线的
3、距离求得半径，由此写出圆的标准方程.【详解】因为抛物线24yx的焦点为圆心即(1 0)，与抛物线的准线相切的圆的半径为：2 所求圆的方程为：2214xy 故答案为：2214xy【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的标准方程，属于基础题.4.若直线 1:2310lxy 的方向向量是直线 2:20laxya的法向量，则实数a 的值等于_.【答案】32【解析】【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得 12ll，再由直线垂直的性质即可得解.【详解】直线 1l 的方向向量是直线 2l 的法向量，12ll，230a，解得32a.故答案为：32.【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的
4、应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题.5.双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m _【答案】14【解析】【分析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可.【详解】由双曲线方程可得0m，焦点坐标在 y 轴上，故可得虚轴长为12m，实轴长为 2，又因为虚轴长是实轴长的 2 倍，故可得124m，解得14m .故答案为：14.【点睛】本题考查由,a b 之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题.6.在长方体1111ABCDABC D中，若1ABBC，12AA，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为_.【答案】4 【解析】【分析】画出长方体1111ABCDABC D,再将异面直线
5、1BD 与1CC 利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可.【详解】画出长方体1111ABCDABC D可得异面直线1BD 与1CC 所成角为1BD 与1DD 之间的夹角,连接 BD.则因为1ABBC,则2BD,又12AA,故12BDDD,又1BDDD,故1BDD 为等腰直角三角形,故14DD B,即异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为 4 故答案为 4 【点睛】本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型.7.如图，在过正方体1111ABCDA B C D的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为_
6、【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与1AC 异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与1AC 异面的直线有：11AB，11A D，1BB，1DD,BC，CD；1A D,1B C,1AB，1CD，BD，11B D，共 12 条.故答案为 12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.8.如图，已知椭圆C 的中心为原点O，(2 5,0)F 为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足|OPOF且|4PF，则椭圆C 的标准方程为_.【答案】2213616xy 【解析】【分析】由已知可得 2 5c，而由|2 5OPOF，|4PF，可求出点 P 的坐标，再将点 P
7、 的坐标代入椭圆方程中，再结合222abc，可求出22ab，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，因为(2 5,0)F 为椭圆C 的左焦点，所以2 5c，因为|OPOF，所以|2 5OPOF，设点 P 的坐标为(,)P m n，则22114(2 5)222OFn，解得85n，则2286(2 5)55m，所以点 P 的坐标为68,55，因为 P 为椭圆C 上一点，所以223664155ab 因为22220abc，所以解得2236,16ab，所以椭圆的标准方程为2213616xy，故答案为：2213616xy 【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能
8、力，属于中档题.9.某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者，则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为_【答案】2735【解析】【分析】先求出从这 8 人中随机选出 4 人的选法总数，再求出选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.【详解】从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者有4870C 种不同的选法.选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组分为下列情况：(1)恰好有 2 人来自同一小组,有1211432248C C C C 种（2）4 个人来自 2 个不同的小组（每个小组 2 个人
9、）有246C 所以选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组有48654种选法.则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为54277035P 故选项为：2735.【点睛】本题考查组合问题，求古典概率问题，属于中档题.10.作一个平面截正方体1111ABCDABC D得到一个多边形(包括三角形)截面，那么截面形状可能是_.(填上所有你认为正确的选项的序号)正三角形；正方形；菱形；非正方形的矩形；正五边形；正六边形【答案】【解析】【分析】由题意结合正方体的几何特征，依次画出图形即可得解.【详解】对于，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正三角形，如图：故正确；对于、，作一个平面截正方体
10、得到的截面形状可能是正方形，如图：当 E、F、G、H 分别为所在棱的中点时，符合要求，故、正确；对于，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是非正方形的矩形，如图：故正确；对于，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是五边形，但不可能是正五边形，故错误；对于，作一个平面截正方体得到的截面形状可能是正六边形，如图：若 E、F、G、H、K、M 分别为所在各棱的中点时，符合要求，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用及截面形状的求解，考查了空间思维能力，属于基础题.11.已知复数 z 满足|1z ，则|i|i|zz的最大值是_.【答案】2 2 【解析】【分析】设cossin(,0)2
11、zi，则化简可得2 sincos2 sincos2222zizi；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果【详解】设cossin(,0)2zi 则2222cossin1()cossin)1(zizi 222 1 sin2 1 sin2 sincos2 sincos2222 2 sincos2 sincos2222 02，02 当0,24 时，20sincos1222，所以2 2 cos 2zizi，zizi 的最大值是2 2；当3,244时，22cossin12222，所以2 2 sin 2zizi，zizi 的最大值是2 2 ；当3,24 时，221cos,0sin2222
12、，所以 sincos22，2 2 cos 2zizi ，2 2zizi 综上，zizi 的最大值是2 2 故答案为：2 2 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题 12.在平面直角坐标系中，动点 P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点 P 的轨迹为曲线 W，给出下列四个结论：曲线 W 关于原点对称；曲线 W 关于直线 yx 对称；曲线 W 与 x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；曲线 W 上的点到原点距离的最小值为22 其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意
13、22(1)(1)xyxy，化简得1xyxy，用(,)xy代方程中的(,)x y 所得方程与原方程不相同，因此错；把原方程中,x y 互换，方程不变，因此 曲 线 关 于 直 线 yx对 称，正 确；当0,0 xy时，方 程 为1xyxy，即211yx，记(1,0),(0,1)AB，曲线211yx(0,0)xy在 OAB内部，而12OABS，因此正确；当0 xy 时，曲线方程为211yx，当0 xy 时，方程为1(0)xy或1(0)yx，由于曲线关于直线 yx对称，由211yxyx，解得2121xy或2121xy ，曲线W 上点到原点的最短距离为22(21)(21)22，正确，故填.考点：曲线的
14、方程与方程的曲线【名师点晴】本题考查曲线的方程与方程的曲线解析几何的本质就是用代数方法研究几何的性质，为了研究曲线的性质，我们就要求出曲线的方程，求曲线方程的基本步骤:（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点 M 的坐标;（2）写出适合条件 p 的点 M 的集合 P=M|p（M）;（3）用坐标表示条件 p（M），列出方程 f（x，y）=0;（4）化方程 f（x，y）=0 为最简形式;（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.二.选择题 13.某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人，其中高一 500 人，高三比高二少 50 人，为了解该校学生健康状况，现采
15、用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 120 人，则该样本中的高二学生人数为()A.80 B.96 C.108 D.110【答案】C【解析】【分析】设高二总人数为 x 人，由总人数及抽样比列方程组求解即可【详解】设高二总人数为 x 人，抽取的样本中有高二学生 y 人 则高三总人数为50 x 个，由题可得：500501350120500 xxyx，解得：108y.故选 C【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题 14.下列命题正确的是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个
16、平面 C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D【解析】【分析】由直线与直线位置关系，可判断出 A 错；由线面垂直的判定定理，判断 B 错；由直线与平面位置关系判断 C 错；从而选 D【详解】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故 A错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故 B错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故 C 错误；果一个平面内的两
17、条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故 D 正确；【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题 15.“20z”是“z 是非零实数”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】设,zabi a bR，由题意结合复数的运算及性质可得0a 或0b，分类讨论即可得0a、0b；当 z 是非零实数，则20z；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设,zabi a bR，则2222zababi，若20z，则0a 或0b，当0a 时，220zb 不存在，当0b 时，220za即0a，所以若2
18、0z，则 z 是非零实数；若 z 是非零实数，则20z；所以“20z”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.16.设12,F F 是椭圆22194xy 的两焦点，A 与 B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122sOPF P F P.在动点 P 在第一象限内从 A 沿椭圆向左上方运动到 B 的过程中，s 的大小变化情况为（）A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.先变大后变小 D.先变小后变大【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y，然后由向量数量积的坐标表示求出
19、s 为 x 的函数后，根据函数性质可得结论【详解】设(,)P x y，由椭圆方程知12(5,0),(5,0)FF，2221222()(5,)(5,)sOPFP F Pxyxyxy2222222()(5)5xyxyxy 22254 15999xxx，随 x 的减小而变小，故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础 三.解答题 17.已知32()nxx的二项展开式中，所有二项式系数之和为 1024.（1）求n 的值，并求展开式所有项的系数之和；（2）写出展开式中所有 x整数次幂的项.【答案】（1）10，1；（2）3360，51024x.【解析】【分析】
20、（1）由题意结合二项式系数的性质可得21024n，即可求得n；令1x，即可得展开式所有项的系数之和；（2）由题意结合二项式定理可得1032xx展开式的通项公式，分别令4r、10r，即可得解.【详解】（1）因为32nxx的二项展开式中，所有二项式系数之和为 1024，所以21024n，解得10n；令1x，则展开式所有项的系数之和为1032111；（2）由题意可得1032xx展开式的通项公式为：1020 51033261101010222rrrrrrrrrrrTCxCxCxx ，当4r 时，20 544061010223360rrrCxCx ，当10r 时，20 51010556101022102
21、4rrrCxCxx ，所以展开式中 x 的整数次幂的项为 3360，51024x.【点睛】本题考查了二项式系数的性质及二项式定理的应用，考查了运算求解能力，熟练掌握二项式定理、合理赋值是解题关键，属于中档题.18.已知关于 x 的方程210 xtx 的两个根是1x 2x.（1）若12xi(i 为虚数单位)，求2x 与t 的值；（2）若t 是实数，且12|2xx，求t 的值.【答案】（1）22i5x，12455ti；（2）2，6.【解析】【分析】（1）利用韦达定理，分别求得2x 与t 的值；（2）若t实数，利用求根公式，根据两个根是共轭复数，且可以为实根，可以为虚根，结合题中条件，列出等量关系式
22、，从而求得结果.【详解】（1）根据121x x，得22111222215iixxi，利用12xxt ，所以2124(2)555itii ，（2）根据题意，242ttx，所以21242xxt，当240t 时，有26t，6t ，当240t 时，242ti，即242t ，所以2t 所以t 的值为2，6.【点睛】该题考查的是有关在复数域内求一元二次方程的根的问题，涉及到的知识点有韦达定理，分类讨论的思想，属于中档题目.19.等腰直角 AOB 内接于抛物线2:2C ypx(0p)，其中O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是 16.（1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 的焦点为 F，过 F 的
23、直线交抛物线于 M N 两点，交 y 轴于点 E，若1EMMF，2ENNF，证明：12是一个定值.【答案】（1）24yx；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设点 11,A x y，22,B xy，由抛物线方程、两点之间距离公式可得12xx，结合面积即可得点 A 坐标，代入即可得解；（2）设直线:10MN xmym，点33,M x y，44,N xy，由平面向量的知识可得34123412yymy y ，联立方程组，结合韦达定理即可得证.【详解】（1）设点 11,A x y，22,B xy，则2112ypx，2222ypx，因为 AOB 为等腰直角三角形，OAOB，所以22221122xyx
24、y，所以22112222xpxxpx+=+，化简得121220 xxxxp，由1 0 x，20 x，0p 可得1220 xxp+，所以120 xx即12xx，所以点 A、点 B 关于 x 轴对称，又 AOB 的面积是 16，所以4 2AO，不妨设点4,4A，所以1624p，解得2p，所以抛物线C 的方程为24yx；（2）证明：由题意可知点1,0F，直线 MN 的斜率存在且不为 0，设直线:10MN xmym，点33,M x y，44,N xy，所以点10,Em，331,xyEMm，331,xyMF，441,xyENm，441,xyNF，因为1EMMF，2ENNF，所以3133111ymymy
25、，4244111ymymy ，所以34123434111112yymymymy y ，由241yxxmy 消去 x 可得2440ymy，所以344yym，344y y ，所以34123411 42214yymmy ym ，所以12是一个定值,且121 .【点睛】本题考查了抛物线方程的求解及直线、平面向量与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20.已知在空间四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，连结空间四边形的两条对角线 AC BD.（1）求证：ACBD；（2）若6ABBC，8ACBD，求异面直线 AB 与CD所成角.(用反余弦表示)【答案】（1）证明见解析；（2）7arcco
26、s 9.【解析】【分析】（1）取 BD 中点 E，连接 AE、CE，由题意结合平面几何的知识可得 AEBD、CEBD，由线面垂直的判定可得 BD 平面 ACE，再由线面垂直的性质即可得证；（2）取 BC 中点 F，取 AC 中点G，连接,EF FG GE，由题意可得GFE或其补角即为异面直线 AB 与CD 的所成角，计算出 EG 后，结合余弦定理即可得解.【详解】（1）证明：取 BD 中点 E，连接 AE、CE，如图：因为 ABAD，CBCD，所以 AEBD，CEBD，又 AECEEI，所以 BD 平面 ACE，因为 AC 平面 ACE，所以 ACBD；（2）取 BC 中点 F，取 AC 中点
27、G，连接,EF FG GE，如图：由6ABADCDBC，8ACBD，所以/FGAB 且132FGAB，/EFCD 且132EFCD，所以GFE或其补角即为异面直线 AB 与CD 的所成角，所以2212 52AECEABBD，EGAC，所以22122EGAEAC，在 GFE 中，2229947cos22 3 39FGFEGEGFEFG FE ，所以异面直线 AB 与CD 所成的角为7arccos 9.【点睛】本题考查了线面垂直的性质与判定的应用及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.21.已知椭圆2222:1xyab(0ab)的焦距为 2，椭圆 的左右焦点分别为1F
28、 2F，过右焦点2F 作 x 轴的垂线交椭圆于 A B 两点，|3AB.（1）求椭圆 的方程；（2）过右焦点2F 作直线交椭圆于C D 两点，若1CDF 的内切圆的面积为，求1CDF 的面积；（3）已知222:O xyb，R 为圆上一点(R 在 y 轴右侧)，过 R 作圆的切线交椭圆 于 M N 两点，试问2MNF 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143xy；（2）14CDFSV；（3），24MNFlV.【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得221ab，再由点31,2A即可求得2a、2b，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得1CDF 的周
29、长1CDFlV，再由1112CDFCDFSlrVV（r 为内切圆半径）即可得解；（3）按照 MN 斜率是否存在讨论，当直线 MN 斜率存在时，设:MN ykxm，1122,M x yN xy，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径2NF、2MF，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得 MN，再由直线 MN 与圆相切可得2231mk，代入运算即可得解.【详解】（1）由椭圆焦距为 2 可得2221cab，2 1,0F，又过右焦点2F 作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，|3AB，不妨设点31,2A，则2223121ab，解得24a，23b，所以椭圆 的方程为22143xy；（2）由题意1CDF 的
30、周长1121248CDFlCFCFDFDFaV，又1CDF 的内切圆的面积为，所以1CDF 的内切圆的半径为1r ，所以1CDF 的面积11142CDFCDFSlrVV；（3）由题意22:3O xye，圆心为0,0，半径为 3，若 MN 斜率不存在时，不妨设点333,3,22MN，此时2MNF 的周长222223231342MNFlNFMFMNV；当直线 MN 斜率存在时，设:MN ykxm，1122,M x yN xy，则2211143xy即2211334xy，则22222211111131111322422MFxyxxxx，同理，22122NFx，由22143xyykxm消去 y 得222
31、4384120kxkmxm，则21212228412,4343kmmxxx xkk，由直线 MN 与O 相切可得231mk，即2231mk，所以22222121222841214144343kmmMNkxxx xkkk 22242222224 3434 34 311434343kmkkkkkkkk，因为 R 在 y 轴右侧，所以0km，所以222212122211144224442224343kmk mMFNFxxxxkk 2242224314 3444343kkkkkk，所以2MNF 的周长222MNFlMFNFMNV 4242224 34 3444343kkkkkk；综上，2MNF 的周长为一定值，且周长24MNFlV.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定、椭圆性质的应用、直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于难题.