1、第二课时定值问题题型一长度或距离为定值例1 (2020北京卷)已知椭圆C：1过点A(2，1)，且a2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x4于点P，Q，求的值.解(1)由椭圆过点A(2，1)，得1.又a2b，1，解得b22，a24b28，椭圆C的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.设直线l：yk(x4)，由得(4k21)x232k2x64k280.由0，得k.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又直线AM：y1(x2)，令x4，得yP1.将y1k(x14)代入，得yP.同理yQ.yPyQ(
2、2k1)(2k1)(2k1)(2k1)0.|PB|BQ|，1.感悟提升探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.训练1 已知抛物线C：y22px(p0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.(1)若p2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.(1)解由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x1t
3、(y1)即xty1t，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得y24ty44t0，16t21616t16(t2t1)0，y1y24t，4t2，即t.直线l的方程为2xy10.(2)证明抛物线C：y22px(p0)，焦点F的坐标为.由题意知直线l的斜率存在且不为0，直线l过焦点F，故设直线l的方程为xty(t0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得y22ptyp20，y1y22pt，4p2t24p20.x1x2t(y1y2)p2pt2p，M.MN的方程为yptt.令y0，解得xpt2，N，|MN|2p2p2t2，|FN|pt2pt2p，2p，为定值.题型二斜率或其表达式为定值例2 (1
4、2分)(2022衡水模拟)已知点P在圆O：x2y26上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足(1).(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过点(2，0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.规范答题解(1)设M(x，y)，P(x0，y0)，由(1)，得，即，2分又点P(x0，y0)在圆O：x2y26上，xy6，x23y26，轨迹E的方程为1. 4分(2)当直线l的斜率存在时，设l：yk(x2)，由消去y得(13k2)x212k2x12k260，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x
5、2，6分根据题意，假设x轴上存在定点D(m，0)，使得2()为定值，则有(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x12)(x22)(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)(k21)(2k2m)(4k2m2)，10分要使上式为定值，即与k无关，则3m212m103(m26)，即m，此时m26为常数，定点D的坐标为.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，易求得直线l与椭圆C的两个交点坐标分别为，此时.11分综上所述，存在定点D，使得2为定值.12分第一步求圆锥曲线的方程第二步特殊情况分类讨论第三步联立直线和圆锥曲线的方程第四步应用
6、根与系数的关系用参数表示点的坐标第五步根据相关条件计算推证第六步明确结论 训练2 (2022长沙调研)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆E的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的
7、斜率之和为kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2(即为定值).题型三几何图形的面积为定值例3 (2022重庆诊断)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为e，点(1，e)在椭圆E上，点A(a，0)，B(0，b)，AOB的面积为，O为坐标原点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2，证明：OMN的面积是定值，并求此定值.解(1)由得b1.又SAOBab，得a3.所以椭圆E的标准方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，设直线l：xt(3t0，x1x2，x1x2，k1k2，化简得9k212m2，满足
8、0.|MN|x1x2|.又原点O到直线l的距离d，所以SOMN|MN|d.综上可知，OMN的面积为定值.感悟提升探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求O
9、PQ的面积S是不是定值，并说明理由.(1)证明k1，k2存在，x1x20，mn0，y1y20，k1k2.(2)解是.理由：当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，由P(x1，y1)在椭圆C上，得y1，|x1|，|y1|，SOPQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，易知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为ykxb(k0).由得(4k21)x28kbx4b240，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，SOPQ|PQ|b|2|b|1.OPQ的面积S为定值.圆锥曲
10、线中的“伴侣点”问题在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A(m，0)和B，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这一对特殊点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.已知M(m，0)，N(n，0)(mna2)是双曲线1(a0，b0)的一对“伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线与双曲线相交于A，B两点，则直线AN和BN与x轴成等角.可得到圆锥曲线的一个统一和谐性质如下：已知M，N是圆锥曲线的一对“伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线与曲线相交于A，B两点，则直线AN和BN与x轴成等角.例1 已知点M(m，0)，N(m，0)(m0)是抛物线y22px的一对“伴侣点”
11、，过点M作与x轴不平行的直线交抛物线于A，B两点，证明：直线AN和BN与x轴成等角.证明因直线AB过点M(m，0)，故可设直线AB的方程为xmny，将其代入抛物线方程得，y22pny2pm0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pn，y1y22pm，又点A，B在直线AB上，所以x1mny1，x2mny2，所以kANkBN，又y1x2y2x1m(y1y2)y1(mny2)y2(mny1)m(y1y2)2ny1y22m(y1y2)2n(2pm)2m2pn0，所以kANkBN0，即直线AN和BN关于x轴对称，所以直线AN和BN与x轴成等角.例2 设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线
12、l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1，0)，l的方程为x1.把x1代入椭圆方程y21，可得点A的坐标为或.又M(2，0)，所以AM的方程为yx或yx.(2)证明当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2b0)的左、右顶点分别为A、B，已知|AB|4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭
13、圆C上异于A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP、BP于点M、N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.(1)解|AB|4，2a4，a2，又点在椭圆上，1.又b2c2a24，联立方程组解得b23，椭圆方程为1.(2)证明设点P的坐标为(s，t)，点M，N的横坐标为m(m2)，则直线AP的方程为y(x2)，故M，故直线BM的斜率k1，同理可得直线AN的斜率k2，故k1k2.又点P在椭圆上，1，t2(s24)，k1k2.即直线AN与直线BM的斜率之积为定值.4.已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线
14、PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值.(1)解因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0).由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2).从而k3.所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1).(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1).令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由，得1yM，1yN，所以2，所以为定值.
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