1、第6节双曲线考试要求1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0
2、)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b21.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.4.若渐近线方程为yx，则双曲线方程可设为(0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minca，|PF2|minca.7.焦点三角形的面积：P为
3、双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且F1PF2，则F1PF2的面积为.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1.()答案(1)(2)(3)(4)(5)解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的
4、定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0，n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.2.(易错题)若方程1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()A.若C为椭圆，则1t3B.若C为双曲线，则t3或t1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1t2答案AD解析若t3，则方程可变形为1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t1，则方程可变形为1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2t3，则03tt1，故方程1表示焦点在y轴上的椭圆；若1t2，则0t13t，故方程1表示焦点在x轴上的椭圆；若t2，则方程1，即为x2y21，它表示圆，综上，选AD
5、.3.(2021全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析设|PF2|m，|PF1|3m，则|F1F2|m，所以C的离心率e.4.(2021全国乙卷)已知双曲线C：y21(m0)的一条渐近线为xmy0，则C的焦距为_.答案4解析双曲线y21(m0)的渐近线为yx，即xy0，又双曲线的一条渐近线为xmy0，即xy0，对比两式可得，m3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2m3，b21，所以双曲线的焦距2c24.5.(易错题)双曲线1上一点P到焦点F1(5，0)的距离
6、为7，则点P到焦点F2(5，0)的距离为_.答案13解析在双曲线1中，a3，由题意得|PF1|7，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a6，即|7|PF2|6，解得|PF2|13或|PF2|1，又|PF2|ca2，所以|PF2|13.6.(2020北京卷)已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_.答案(3，0)解析由1，得c2a2b29，解得c3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为yx，即xy0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d.考点一双曲线的定义及应用例1 (1)(2022滨州质检)4表示的曲线方程为()A.1(
7、x2)B.1(x2)C.1(y2)D.1(y2)答案C解析的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，3)的距离，则4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，3)的距离的差为4，且4|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a2，半焦距c3，所以b2c2a25，则4表示的曲线方程为1(y2).(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则F1PF2的面积为_.答案2解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定
8、理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|sin 602.感悟提升在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.训练1 (1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2
9、，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).(2)(2022广州模拟)过双曲线x21的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|10，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_.答案24解析由题意，得|PF2|PF1|2，|QF2|QF1|2.|PF1|QF1|PQ|10，|PF2|QF2|104，|PF2|QF2|14.PF2Q的周长是|PF2|QF2|PQ|141024.考点二双曲线的标准方程1.与椭圆y2
10、1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是_.答案y21解析法一椭圆y21的焦点坐标是(，0).设双曲线标准方程为1(a0，b0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线的标准方程是y21.法二设所求双曲线标准方程为1(10，b0)的渐近线方程为yx，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为_.答案1解析由题意得，c2a2b225，所以a4，b3，所以所求双曲线的标准方程为1.3.经过点P(3，2)，Q(6，7)的双曲线的标准方程为_.答案1解析设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，即1，则有425，解得5，所以所求双曲线的标准方程为1.
11、感悟提升1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为(0)或mx2ny21(mn0)，再根据条件求解.2.与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0).考点三双曲线的简单几何性质角度1求双曲线的渐近线例2 (1)(2022杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|PF2|4a，且F1PF260，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B.2xy0C.x2y0 D.2xy0答案C解析F1，F2是双曲线的左
12、、右焦点，点P在双曲线右支上，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，又知|PF1|PF2|4a，|PF1|3a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60，即，3a210a24c2，即4c27a2，又知b2a2c2，双曲线C的渐近线方程为yx，即x2y0.(2)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A. B. C.1 D.答案C解析不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，又A1，A2的坐标分别为(
13、a，0)，(a，0)，所以，因为A1BA2C，所以0，即(ca) (ca)0，即c2a20，所以b20，故1，即1，又双曲线的渐近线的斜率为，故该双曲线的渐近线的斜率为1.角度2求双曲线的离心率例3 (1)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C.2 D.答案A解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|.在RtOPM中
14、，|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.(2)(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，0，则C的离心率为_.答案2解析因为0，所以F1BF2B，如图.所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.(
15、3)(2022石家庄模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，) B.(1，2)C.(1，1) D.(2，1)答案B解析由题意易知点F的坐标为(c，0)，A，B，E(a，0)，因为ABE是锐角三角形，所以0，即0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)0，解得e(0，2)，又e1，e(1，2).感悟提升1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或
16、不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线1(a0，b0)的渐近线可由0即得两渐近线方程0.训练2 (1)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.答案D解析由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，
17、一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.答案C解析不妨设渐近线l的方程为yx，则点M在第四象限，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|，所以|MF1|4a，|MF2|2a.设过点F2且与l平行的直线的倾斜角为，则tan ，所以cos ，所以cosF1F2M.在F1F2M中，由余弦定理cosF1F2M，得，整理得c25a2，即ca，所以e.考点四双曲线几何性质的综合应用例4 (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()
18、A. B.C. D.答案A解析因为F1(，0)，F2(，0)，y1，所以(x0，y0)(x0，y0)xy30，即3y10，解得y00，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32答案B解析不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为yx，分别与xa联立，可得D(a，b)，E(a，b)，则|DE|2b.SODEa|DE|a2bab8，c2a2b22ab16.当且仅当ab2时，等号成立.c2的最小值为16，c的最小值为4，C的焦距的最小值为248.感悟提升1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、
19、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.训练3 (1)(多选)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则()A.渐近线方程为yxB.渐近线方程为yxC.MAN60D.MAN120答案BC解析由题意可得e，设c2t，at，t0，则bt，所以圆A的圆心为(t，0)，半径长为t，双曲线的渐近线方程为yx，即y
20、x，圆心A到渐近线的距离dt，所以弦长|MN|22tb，可得MNA是边长为b的等边三角形，即有MAN60.故选BC.(2)(2022湖北七市(州)联考)已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_.答案(1，1)解析在PF1F2中，由正弦定理知，又，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，又|PF1|PF2|2a，|PF2|.由双曲线几何性质知|PF2|ca，则ca，即e22e10，1e1.椭圆、双曲线中的“二级结论”1.椭圆1(ab0)的参数方程是2.(1)椭圆1(ab0)焦半径公式|PF1|aex0，
21、|PF2|aex0，F1，F2分别为左、右焦点.(2)双曲线1(a，b0)的焦半径公式|PF1|aex0|，|PF2|aex0|.3.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为yx(a0，b0)，即0，则双曲线的方程可设为(0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线1(a0，b0)的渐近线yx的斜率k与离心率e的关系：e.4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中当P为短轴端点时，最大.S|PF1|PF2|sin b2tan c
22、|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.焦点三角形的周长为2(ac).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中为F1PF2.例 (1)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y2x，则该双曲线的离心率为()A.5 B. C. D.答案D解析法一由双曲线的渐近线方程为y2x，可知2，即b2a.又c2a2b2a24a25a2，所以e25，即e.法二由双曲线的渐近线方程为y2x，可知渐近线的斜率k2.根据结论(3)，得e.(2)椭圆1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若F1PF260，则F1PF2的面积是(
23、)A. B.C.16 D.32答案A解析法一由椭圆1的焦点为F1，F2知|F1F2|2c6，在F1PF2中，不妨设|PF1|m，|PF2|n，则|PF1|PF2|mn2a10.由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即(2c)2m2n22mncos 60，即36(mn)23mn1003mn，解得mn.所以SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2mnsin 60.法二依题意知b4，根据结论(1)，得SF1PF2b2tan16tan .1.已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A. B.4 C.2 D.答案D解析由双曲线方程y21，得b2
24、1，c2a21.5e21.结合a0，解得a.2.(2021北京卷)双曲线1(a0，b0)过点(，)，离心率为2，则双曲线的方程为()A.y21 B.x21C.1 D.1答案B解析双曲线离心率e2，故c2a，ba，将点(，)代入双曲线方程，得1，故a1，b，故双曲线方程为x21.3.(2021全国甲卷)点(3，0)到双曲线1的一条渐近线的距离为()A. B. C. D.答案A解析由双曲线的方程知，a4，b3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为yx，即3x4y0，由点到直线的距离公式得点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为.4.已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上
25、，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2()A. B. C. D.答案C解析由x2y22，知ab，c2.由双曲线定义知，|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cos F1PF2.5.(多选)(2021重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x2)2y2r和C2：(x2)2y2r，其中常数r1，r2为正数且满足r1r24，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A.两个椭圆B.两个双曲线C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线答案BC解析由题意得，圆C1的圆心为C1(2，0)
26、，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以|C1C2|4，设动圆P的半径为r.因为r1r24，所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切.若均内切，则|PC1|rr1，|PC2|rr2，此时|PC1|PC2|r1r2|，当r1r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上.若均外切，则|PC1|rr1，|PC2|rr2，此时|PC1|PC2|r1r2|，则点P的轨迹与相同.若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则|PC1|rr1，|PC2|rr2，|PC2|PC1|r1r2.同理，当与圆C2
27、内切，与圆C1外切时，|PC1|PC2|r1r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与中双曲线不一样.6.(多选)(2022长沙调研)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A.双曲线C的渐近线方程为yxB.以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C.点P的横坐标为1D.PF1F2的面积为答案ACD解析等轴双曲线C：y2x21的渐近线方程为yx，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2y22上，不妨设点P(x0，y0)在直
28、线yx上，所以由解得|x0|1，则点P的横坐标为1，故C正确；由上述分析可得PF1F2的面积为21，故D正确.7.已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为_.答案xy0解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.8.如图，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_.答案1解析设|F1F2|2c，连接AF1(图略)，F2AB是等边三角形，且F1
29、F2是O的直径，AF2F130，F1AF290，|AF1|c，|AF2|c，2acc，e1.9.已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若MAN60，则C的离心率为_.答案解析如图，点M，N所在的渐近线为aybx0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d，又M，N均为圆A上的点，|AM|AN|b，又MAN60，MAN为等边三角形，在MAN内，A到边MN的距离为d|AM|sin 60b，有b，解得a23b2，3c24a2，e.10.(2021东北三省三校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过
30、点P(4，).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.(1)解e，可设双曲线的方程为x2y2(0).双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26，即1.(2)证明法一由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m230，0.11.已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为
31、F(c，0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率.解(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，所以x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c， 所以点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，
32、所以3840，所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为.12.(多选)(2022福州调研)设F1，F2为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是()A.直线l倾斜角的余弦值为B.若|F1P|F1F2|，则C的离心率eC.若|PF2|F1F2|，则C的离心率e2D.PF1F2不可能是等边三角形答案AD解析设直线倾斜角为，则tan ，所以cos ，A正确；P在第一象限内，若|F1P|F1F2|，则|F1P|F1F2|2c，|PF2|2c2a，由余弦定理得，整理得3e28e40，解得e2或e(舍去)
33、，B错误；若|PF2|F1F2|，则|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c2a，由余弦定理得cosPF1F2，整理得3e2e40，解得e或e1(舍去)，C错误；由|PF1|PF2|，知PF1F2不可能是等边三角形，D正确. 13.(2021长沙模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且F1AF2，则该双曲线离心率的取值范围为_.答案，解析不妨设A在第一象限，将xc代入yx得A，所以tanF1AF2，即1，即113131e235e213e.14.(2022青岛诊断)已知曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx
34、，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.(1)解依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴.过A、B、D三点的圆与x轴相切.
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