1、第4节幂函数与二次函数考试要求1.了解幂函数的概念；结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0；当时，恒有f(x)(3x5)的解集为()A.(4，)B.(1，4)C.(4，)D.(，1)(4，)答案A解析不等式(x21)(3x5)等价于x21
2、3x50，解得x4.所以原不等式的解集为(4，).3.函数yx的大致图象是()答案B解析由幂函数的性质可知，函数yx的图象在(0，)上单调递减，故A、C错误；函数yx为偶函数，故D错误.4.已知，.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.答案1解析由yx为奇函数，知取1，1，3.又yx在(0，)上递减，0，取1.5.(易错题)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n_.答案1解析由题意知n22n21，解得n1或n3，经检验n1符合题意.6.(2022杭州联考)已知函数f(x)x22axb(a1)的定义域和值域都为1，a，则
3、b_.答案5解析f(x)x22axb的图象关于xa对称，所以f(x)在1，a上为减函数，又f(x)的值域为1，a，所以a2，a1(舍)，b5.考点一幂函数的图象和性质1.已知幂函数yx(p，qN*，q1且p，q互质)的图象如图所示，则()A.p，q均为奇数，且1B.q为偶数，p为奇数，且1C.q为奇数，p为偶数，且1D.q为奇数，p为偶数，且01答案D解析由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数.因为幂函数yx的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，)上单调递增，所以01.2.(2021衡水调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf(
4、ln )，cf(2)，则a，b，c的大小关系是()A.acb B.abcC.bca D.ba12，所以f(ln )f(2)f，则bca.3.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.cabC.bca D.bac答案D解析因为yx在第一象限内是增函数，所以ab，因为y是减函数，所以ac，所以bac.4.幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxa，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么a_.答案0解析BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，将两点坐
5、标分别代入yxa，yxb，得alog，blog，alog0.感悟提升(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.考点二求二次函数的解析式例1 (1)函数f(x)满足下列性质：定义域为R，值域为1，)；图象关于x2对称；对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有0.请写出函数f(x)的一个解
6、析式_.(只要写出一个即可)答案f(x)x24x5(答案不唯一)解析由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)(x2)21，此时f(x)图象的对称轴为x2，开口向上，满足，对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有0，等价于f(x)在(，0)上单调递减，f(x)(x2)21满足，又f(x)(x2)211，满足，故f(x)的解析式可以为f(x)x24x5.(2)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，则f(x)_.答案4x24x7解析法一(利用“一般式”)设f(x)ax2bxc(a0).由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7
7、.法二(利用“顶点式”)设f(x)a(xm)2n(a0).f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，m.又根据题意，函数有最大值8，所以n8，yf(x)a8.f(2)1，a81，解得a4，f(x)484x24x7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍).故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.感悟提升求二次函数解析式的方法训练1 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0，0)和(2，0)，且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的
8、解析式为f(x)ax(x2)(a0)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.答案x24x3解析因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以yf(x)的图象关于x2对称.又yf(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为21或23.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)a(x1)(x3).又点(4，3)在yf(x)的图象上，所以3a3，则a1.故f(x)(x1)(x3)x24x3.考点三二
9、次函数的图象与性质角度1二次函数的图象例2 (多选)如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论正确的为()A.b24ac B.2ab1C.abc0 D.5ab答案AD解析因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，A正确.对称轴为x1，即1，2ab0，B错误.结合图象，当x1时，y0，即abc0，C错误.由对称轴为x1知，b2a.根据抛物线开口向下，知a0，所以5a2a，即5ab，D正确.感悟提升1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴
10、的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2二次函数的单调性与最值例3 已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2，3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1，3上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2，3，函数图象的对称轴为直线x2，3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，f(x)的值域为.(2)函数图象的对称轴为直线x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)
11、maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意.综上可知，a或1.感悟提升闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.角度3二次函数的恒成立问题例4 (1)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围是_.答案解析由题意知2ax22x30在1，1上恒成立.当x0时，30，符合题意，aR；当x0时，a，因为(，11，)，所以当x1时，不等号右边式子取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x
12、3，若不等式f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是_.答案(，)解析由题意知f(x)在R上是增函数，结合f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，知4t2mmt2对任意实数t恒成立，mt24t2m0对任意实数t恒成立，m(，).感悟提升不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.训练2 (1)若关于x的不等式x24xm0对任意x(0，1恒成立，则m的最大值为_.答案3解析可得mx24x对一切x(0，1恒成立，又f(x)x24x在(0，1上为减函数，f(x)minf
13、(1)3，m3.(2)已知函数f(x)x2x1，在区间1，1上f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_.答案(，1)解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可.g(x)x23x1m在1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m0，解得m1.2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A.dcba B.abcdC.dcab D.abdc答案B解析由幂函数的图象可知，在(0，
14、1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd.3.已知函数f(x)x3，若af(0.60.6)，bf(0.60.4)，cf(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是()A.acb B.bacC.bca D.cab答案B解析0.40.60.60.60.60.4，又yf(x)x3在(0，)上是减函数，ba0时，f(x)ax22x图象开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0，1内，f(x)在上递减，在上递增.f(x)minf.当1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0，1的右侧，f(x)在0，1上递减.f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴xxk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.解(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，故k的取值范围是(，1).
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