1、第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换（1）平移变换函数的图象是把函数的图象沿轴向右（）或向右（）平移个单位得到的；函数的图象是把函数向上（）或向下（）平。（2）对称变换函数与函数的图象关于直线x=0对称；函数与函数的图象关于直线y=0对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称；函数与函数的图象关于直线对称。如果函数对于一切都有，那么 的图象关于直线对称。设函数y=f(x)的定义域为R，满足条件f(a+x)=f(bx)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称。（3）伸缩变换的图象，可将的图象上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍。的图象，可将的图象上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍。
2、例1.将下列变换的结果填在横线上：（1）将函数的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象.解析：（1）关键是答案为，还是，可以取一个点检验，将函数的图象向右平移2个单位后点（1，3）变为（1，3），故答案为，即（2）关键是答案为，还是，注意到的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（1，1），所以后者正确，故答案为；（3）函数的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为.评析：总结上述解答，应该明白一个函数的图象的各种变换都是针对基本变量（或）进行的，所以
3、变换后发生的变化都应该紧随着变量（或）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换.例2.已知函数给出下列三个命题中正确命题的序号是 函数的图象关于点（1，1）对称； 函数的图象关于直线对称；将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数重合.答案：、.（提示：）例3将奇函数的图象沿着轴的正方向平移2个单位得到图象C，图象D与C关于原点对称，则D对应的函数是（ ）ABCD答案D（提示：，即例4已知f(x+199)=4x4x+3(xR)，那么函数f(x)的最小值为_分析：由f(x199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y
4、=f(x 100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由，立即求得f(x)的最小值即f(x199)的最小值是22.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力
5、准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。例5.（1）已知0a1，则方程的实根个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D1个或2个或3个答案：B 画出及的草图知两图象的交点个数有2个，故选B。（2）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，+)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较与2的大小当x=2时，lgx=lg2，3-x=1由于lg21，因
6、此2，从而判定(2，3)，故本题应选C说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断（3）已知函数的图象与函数与的图象关于直线对称，则等于（ ）ABCD答案：A.（提示：设例6设函数的图象为，关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为，（）求函数的解析式，并确定其定义域；（）若直线与只有一个交点，求的值，并求出交点的坐标.解析：（）设是上任意一点，设P关于A（2，1）对称的点为代入得（）联立 或（1）当时得交点（3，0）；（2）当时得交点（5，4）.二.函数的奇偶性
7、1.定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；若都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。2.简单性质：奇函数与偶函数的图象分别关于原点与y轴对称；任意定义在R上的函数f(x)都可以惟一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f(x)= +例7.讨论下述函数的奇偶性：解析：（1）函数定义域为R， ， f(x)为偶函数； （另解）先化简：，显然为偶函数； 从这可以看出，化简后
8、再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：设设当x=0时f(x)=0，也满足f(x)=f(x)；由、知，对xR有f(x) =f(x)， f(x)为奇函数；（3），函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=1) ，即f(x)的图象由两个点 A（1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数； 评析判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.例8.(1)下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图
9、象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故错误，选A（2）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，那么的值为（ ）A2 B-2 C3 D-3答案：A 设，则（a，-9）在y=f(x)的图象上，又x0，又f(x)是R上的奇函数，故。a=2。故选A。（3）设是偶函数，是奇函数，那么a+b的值为（ ）A1 B-
10、1 C D答案：D 由是偶函数，f(-x)=f(x)即 。又是奇函数。由g(0)=0知b=1 例9.已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式.解析：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数， 当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2 ， 4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)， f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7; 综上，例10.设f(x)是定义在R上的偶函数，在区
11、间（，0）上单调递增，且满足f(a2+2a5)bcBa c bCba cDc ab5下列4个函数中：y=3x1 则其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）ABCD6如果函数f(x)xbxc对于任意实数t，都有f(2t)f(2t)，那么（ ）A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1)二、填空题7设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)的值为 。8已知f(x)与g(x)的定义域是x|xR，且x1，若f(x)是偶函数，g(x)是奇函 数，且f(x)+ g(x)=
12、，则f(x)= ，g(x)= 。9已知函数y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域-，且它们在x0，上的图象如图所示，则不等式的解集是_。10.若方程无实数解，则实数m的取值范围是（ ）A（-，-1） B0，1 C D三、解答题：11.已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0,求a的取值范围。12已知Z）是奇函数，又f(1)=2，f(2)3, 求a,b,c的值.答案与解析一、选择题：1D.（提示：变换顺序是.2A.（提示：为奇函数，且时无定义，故只有A）.3A 4A 5C 6函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A 二、填空题：7f(7.5)=f(5.5+2)=f(5.5)=f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=f(1.5)=f(0.5+2)=f(0.5)=f(0.5)=0.5.8; 9 提示：; 10 可根据函数图象求解。表示半圆C，是直线l， 。三、解答题11解析：f(x)是定义在(1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0.f(a3)f(a29). a(2,3).答案：A12f(x)为奇函数，f(x)=f(x)， a,b, c, Z ，b=1, a=1, 综上 ，a=1, b=1, c=0.