1、第2节导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性.1
2、.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，所以“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)xsin x在R上是增函数.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)f(
3、x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)反例，f(x)，虽然f(x)0，但f(x)，在其定义域(，0)(0，)上不具有单调性.2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(d)f(e)答案CD解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abc，所以f(c)f(b)f(a).当x(c，e)时，f(x)0，所以函数f(x)在(c，e)上是减函数，因为cde，所以f(c)f(d)f(e).3.(20
4、21九江二模)函数f(x)ln xx2的单调递增区间为_.答案解析由题意可得函数的定义域为(0，)，f(x)ln xx2，f(x)2x.由f(x)0可得12x20，解得0x，故函数的单调增区间为.4.若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是_.答案(3，0)(0，)解析f(x)3ax26x1，由题意得解得a3且a0.5.(易错题)若函数f(x)x3x2ax4的单调递减区间为1，4，则实数a的值为_.答案4解析f(x)x23xa，且f(x)的单调递减区间为1，4，f(x)x23xa0的解集为1，4, 1，4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.6.(易错题)若yx(
5、a0)在2，)上单调递增，则a的取值范围是_.答案(0，2解析法一由y10，得xa或xa.yx的单调递增区间为(，a，a，).函数在2，)上单调递增，2，)a，)，a2.又a0，0a2.法二y1，依题意知10在x2，)上恒成立，即a2x2恒成立，x2，)，x24，a24，又a0，0a2.考点一不含参函数的单调性1.下列函数中，在(0，)内为增函数的是()A.f(x)sin 2x B.f(x)xexC.f(x)x3x D.f(x)xln x答案B解析由于x0，对于A，f(x)2cos 2x，f10，不符合题意；对于B，f(x)(x1)ex0，符合题意；对于C，f(x)3x21，f0，不符合题意；
6、对于D，f(x)1，f(2)0，不符合题意.2.(2022武汉模拟)函数f(x)2x2ln x的单调递减区间是()A.B.C.D.答案C解析函数f(x)2x2ln x，f(x)4x.由f(x)0，解得0x，函数的单调递减区间是.3.已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的递增区间是_.答案和解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.感悟提升确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调
7、递增区间；(4)解不等式f(x)0，试讨论函数yf(x)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).当0a1，x(0，1)和时，f(x)0；x时，f(x)1时，00；x时，f(x)0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减.综上，当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减.感悟提升1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.2.个别导数为0的点
8、不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.训练1 讨论函数f(x)xaln x的单调性.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.设yx2ax1，其图象过定点(0，1)，开口向上，对称轴为x，当0，即a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减；当0，即a0时，令x2ax10，a24，()当0，即0a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数.故a2时，f(x)在(0，)上是减函数.()当0，即a2时，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增.考点三根据函数的单调性求参数例2
9、已知g(x)2xln x.(1)若函数g(x)在区间1，2内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若g(x)在区间1，2上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.解(1)g(x)2xln x(x0)，g(x)2(x0).函数g(x)在1，2上单调递增，g(x)0在1，2上恒成立，即20在1，2上恒成立，a2x2x在1，2上恒成立，a(2x2x)max，x1，2.在1，2上，(2x2x)max3，所以a3.实数a的取值范围是3，).(2)g(x)在1，2上存在单调递增区间，则g(x)0在1，2上有解，即a2x2x在1，2上有解，a(2x2x)min，又(2x2x)min10，a10.迁移 (1)(变
10、条件)若函数g(x)在区间1，2上单调递减，求实数a的取值范围.解依题意g(x)2在1，2上满足g(x)0恒成立，当x1，2时，a2x2x恒成立，又t2x2x2，x1，2是减函数，当x2时，t2x2x取得最小值10.所以a10，即实数a的取值范围为(，10.(2)(变条件)若函数g(x)在区间1，2上不单调，求实数a的取值范围.解函数g(x)在区间1，2上不单调，g(x)0在区间(1，2)内有解，则a2x2x2在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，y2x2x的值域为(10，3)，因此实数a的取值范围为(10，3).感悟提升根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关
11、系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.训练2 若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A.1，1 B.C. D.答案C解析f(x)xsin 2xasin x，f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x.由f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立.令tco
12、s x，t1，1，则t2at0，在t1，1上恒成立.4t23at50在t1，1上恒成立.令g(t)4t23at5，则解之得a.考点四函数单调性的应用角度1比较大小例3 (多选)(2021淄博二模)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是()A.ln 2 B.ln 3C.ln D.答案ACD解析令g(x)，则g(x)，当0xe时，g(x)0，当xe时，g(x)0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减.2e，g(2)g(e)，即，ln 2，故A错误.e3，g(e)g(3)g()，即，ln 3，ln ，故B正确，C、D错误.角度2解不等式例4 设函数f(x)是奇函数f(
13、x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.答案(，1)(0，1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上单减，在(，0)上单增.所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)0，得0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得0，所以f(x)0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1).感悟提升1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把
14、比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.训练3 (1)已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()A.ff(1)fB.f(1)ffC.ff(1)fD.fff(1)答案A解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x
15、0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f，即ff(1)f，故选A.(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集为_.答案(，3)(0，3)解析f(x)g(x)f(x)g(x)0f(x)g(x)0，所以函数yf(x)g(x)在(，0)上单调递增.又由题意知函数yf(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(3，0)，(3，0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)0的解集为(，3)(0，3).构造函数，巧妙解题导数关系构造函数的一些常见结构1.对于不等式f(x)g(x
16、)0，构造函数F(x)f(x)g(x).2.对于不等式f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x).特别地，对于不等式f(x)k，构造函数F(x)f(x)kx.3.对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x).4.对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0，构造函数F(x).5.对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数F(x)xnf(x).6.对于不等式f(x)f(x)0，构造函数F(x)exf(x).7.对于不等式f(x)kf(x)0，构造函数F(x)ekxf(x).一、利用f(x)与ex构造可导型函数例1 f(x)为定义在R上的可导函数，且f(
17、x)f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是()A.f(a)eaf(0) B.f(a)eaf(0)C.f(a) D.f(a)答案B解析令g(x)，则g(x)0.g(x)在R上为增函数，又a0，g(a)g(0)，即.故f(a)eaf(0).总结(1)出现f(x)f(x)的形式，构造函数F(x)；(2)出现f(x)f(x)的形式，构造函数F(x)f(x)ex.二、利用f(x)与xn构造可导型函数例2 已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，2f(x)xf(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.答案(1，0)(0，1)解析构造F(x)，则F(x)，当x
18、0时，xf(x)2f(x)0，可以推出当x0时，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递减.f(x)为偶函数，x2为偶函数，F(x)为偶函数，F(x)在(，0)上单调递增.根据f(1)0可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)0的解集为(1，0)(0，1).总结(1)出现nf(x)xf(x)形式，构造函数F(x)xnf(x)；(2)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x).三、利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数例3 (多选)已知定义在上的函数f(x)，f(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf(x)sin xf(x)0成立，则(
19、)A.ffB.ffC.ffD.ff答案CD解析根据题意，令g(x)，x，则其导数g(x)，又由x，且恒有cos xf(x)sin xf(x)0，则有g(x)0，即函数g(x)为减函数.由，则有gg，即，分析可得ff；又由，则有gg，即，分析可得ff.总结f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)f(x)sin x，F(x)f(x)sin xf(x)cos x；F(x)，F(x)；F(x)f(x)cos x，F(x)f(x)cos xf(x)sin x；F(x)，F(x).四、构造具体函数例4 (2022石家庄一模)若ln xln y(x1，y1)，则()A.eyx
20、1 B.eyx1C.eyx11 D.eyx11答案A解析依题意，ln xln y，令f(t)t(t0).则f(t)10，所以f(t)在(，0)，(0，)上单调递增；又x1，y1，得ln x0，ln y0，又ln xln y.则f(ln x)f(ln y).又f(t)在(0，)上单调递增.则ln xln y，1xy，即yx0，所以eyxe01，A正确，B不正确；又yx1无法确定与0的关系，故C、D不正确.总结不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.1.函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证.f(x
21、)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D符合.2.函数f(x)3xln x的单调递减区间是()A. B.C. D.答案B解析因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln xxln x1，令f(x)0，解得0x，故f(x)的单调递减区间是.3.若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f(x).若f(x)30恒成立，f(2)0，则f(x)3x6的解集为()A.(，2) B.(2，2)C.(，2) D.(2，)答案D解析令g(x)f(x)3x6，则g(x)f(x)30，所以函数g(x)在R上单调递减，g(2)f(2)3(2)60，由g(x)0g(x)g
22、(2)，则x2.4.(2022江南十校联考)已知函数f(x)ax24axln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是()A.a B.0a或a答案D解析f(x)2ax4a，令g(x)2ax24ax1，则函数g(x)2ax24ax1的对称轴方程为x1，若f(x)在(1，4)上不单调，则g(x)在区间(1，4)上有零点.当a0时，显然不成立；当a0时，只需或解得a或a是f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件.5.(2021鹰潭一模)已知a，b，c，则a、b、c的大小关系为()A.bca B.cabC.acb D.cba答案C解析设f(x)，则f(x)，当0xe时，f(
23、x)0；当xe时，f(x)0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，则当xe时，f(x)max，即ba，bc；ac0，则ca，所以bca.6.已知函数f(x)x34x2ex2ex，其中e为自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.C. D.答案D解析f(x)x242ex2exx242x20，f(x)在R上是增函数.又f(x)x34x2ex2exf(x)，知f(x)为奇函数.故f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)，a12a2，解之得1a.7.已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.若a
24、，b，c，则a，b，c的大小关系是_.答案cab解析设g(x)，则g(x)，又当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减.因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(，0)(0，)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，)内单调递减.由0ln 2e3，可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab.8.已知函数f(x)ln xax22x(a0)在1，4上单调递减，则a的取值范围是_.答案(0，)解析f(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，f(x)ax20恒成立，即a恒成立.设G(x)，x1，4，aG(x)max，而G(x)1，x1，4，G(x)max
25、，a，又a0，a的取值范围为(0，).9.(2022岳阳模拟)若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_.答案(，2ln 22)解析函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，f(x)2xexa0，即a2xex有解.设g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，则当xln 2时，g(x)0，g(x)单调递增，当xln 2时，g(x)0，g(x)单调递减，当xln 2时，g(x)取得极大值也是最大值，且g(x)maxg(ln 2)2ln 22，a2ln 22.10.函数f(x)(x2axb)ex，若f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为6x
26、y50.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f(x)(2xa)ex(x2axb)exx2(2a)xabex，f(0)ab，又f(0)b，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为yb(ab)x，即(ab)xyb0，解得(2)f(x)(x2x5)ex，xR，f(x)(x2x6)ex(x2)(x3)ex，当x2或x3时，f(x)0；当2x3时，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(2，3)，单调递减区间是(，2)，(3，).11.讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增
27、；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增.12.(2021张家口三模)已知a，b(0，3)，且4ln aaln 4，4ln bbln 2，clog0.30.06，则()A.cba B.acbC.bac D.bca答案C解析由已知得，可以构造函数f(x)，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(e，)时，f(x)
28、0，f(x)单调递减，又f(a)f(2)f(4)f(b)f(16)，结合a，b(0，3)，所以ba2，又clog0.30.06log0.3(0.20.3)log0.30.211log0.30.32，所以bac.13.(多选)(2021重庆调研)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2R(x1x2)，下列结论正确的是()A.f(x)0恒成立B.(x1x2)f(x1)f(x2)0C.fD.f答案BD解析由导函数的图象可知，导函数f(x)的图象在x轴下方，即f(x)0，故原函数为减函数，并且递减的速度是逐渐减慢.所以f(x)的示意图如图所示：f(x)0恒成
29、立，没有依据，故A不正确；B表示(x1x2)与f(x1)f(x2)异号，即f(x)为减函数，故B正确；C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故C不正确，D正确.14.已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，当a0时，f(x)的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0，1)；当a0时，f(x)为常函数，无单调区间.(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x)(x0).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g(x)在区间(t，3)上有变号零点.由于g(0)2，当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9，又g(3)0，即m.m9.即实数m的取值范围是.
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有