1、第1节导数的概念及运算考试要求1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(axb)的导数.1.导数的概念(1)如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，yf(x)就是x的函数，
2、我们称它为yf(x)的导函数(简称导数)，记为f(x)(或y)，即f(x)y.2.导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在
3、，则有：f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)；cf(x)cf(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)与ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，则(f(x0)0.2.(f(x)0).3.曲线
4、的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲线yf(x)在某点处的切线与曲线yf(x)过某点的切线意义是相同的.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)f(x0)表
5、示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x，(2)错.(3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.(多选)下列导数的运算中正确的是()A.(3x)3xln 3B.(x2ln x)2xln xxC.D.(sin xcos x)cos 2x答案ABD解析因为，所以C项错误，其余都正确.3.(
6、2021全国甲卷)曲线y在点(1，3)处的切线方程为_.答案y5x2解析y，所以y|x15，所以切线方程为y35(x1)，即y5x2.4.(2020全国卷)设函数f(x).若f(1)，则a_.答案1解析由f(x)，可得f(1)，即，解得a1.5.(2022湖北九师联盟质量检测)已知函数f(x)x2xln x的图象在点(1，f(1)处的切线与直线xay10平行，则实数a_.答案解析因为f(x)x2xln x，所以f(x)2xln x1，切线斜率kf(1)213，又该切线与直线xay10平行，所以3，所以a.6.(易错题)过原点与曲线y(x1)3相切的切线方程为_.答案y0或27x4y0解析函数y
7、(x1)3的导数为y3(x1)2，设过原点的切线的切点坐标为(x0，(x01)3)，则切线的斜率为ky|xx03(x01)2.切线过原点(0，0)，k3(x01)2，解得x01或x0，则切点坐标为(1，0)或，对应的斜率k0或k，对应的切线方程为y0或y，即y0或27x4y0.考点一导数的运算1.已知f(x)cos 2xe2x，则f(x)()A.2sin 2x2e2x B.sin 2xe2xC.2sin 2x2e2x D.sin 2xe2x答案A解析f(x)2sin 2x2e2x，选A.2.(多选)已知函数f(x)及其导函数f(x)，若存在x0R使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一
8、个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是()A.f(x)x2 B.f(x)exC.f(x)ln x D.f(x)tan x答案AC解析若f(x)x2，则f(x)2x，令x22x，得x0或x2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)ex，则f(x)ex，令exex，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)ln x，则f(x)，令ln x，在同一直角坐标系内作出函数yln x与y的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)f(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)tan x，则f (x)，令tan x，化简得sin xcos x1，变形可得sin 2x2，无解，故D不符合要求
9、.故选AC.3.若函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(3)_.答案解析对f(x)求导，得f(x)2f(1)x3，所以f(1)12f(1)3，解得f(1)，所以f(x)x3，将x3代入f(x)，可得f(3).4.求下列函数的导数.(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)yxsincos.解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)yxsincosxsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.感悟提升1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差
10、、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.考点二导数的几何意义角度1求切线方程例1 (1)(2020全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.答案2xy0解析设切点坐标为(x0，y0)，yln xx1，所以y1，切线的斜率为12，解得x01，y0ln 1112，即切点坐标为(1，2)，切线方程为y22(x1)，即2xy0.(2)设函数f(x)x3，则曲线yf(x)过P(2，4)的切线方程为_.答案xy20或4xy40解析设切点为，因为f(x)x2，所以f(x0)x，从而
11、得到切点处的切线方程为yx(xx0)，将(2，4)代入，化简得到x3x40，即(x01)(x02)20，解得x01或x02.当x01时，切线方程为xy20；当x02时，切线方程为4xy40.角度2求曲线的切点坐标例2 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.答案(e，1)解析设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).角度3导数与函数图象问题例3 已知yf(x)是可导函数，如图，直线y
12、kx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.答案0解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题意可知f(3)1，g(3)130.感悟提升1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为xx0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)
13、求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)(2021杭州二模)曲线f(x)2ln x在xt处的切线l过原点，则l的方程是()A.2xey0 B.2xey0C.ex2y0 D.ex2y0答案A解析对f(x)2ln x求导得f(x)，切线l的斜率kf(t)，又直线l过原点，所以k，从而有ln t1，te，从而得到k，故切线l的方程为yx，即2xey0.故选A.(3)(2019全国卷)已知曲线
14、yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1 B.ae，b1C.ae1，b1 D.ae1，b1答案D解析因为yaexln x1，所以ky|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.所以解得考点三导数几何意义的应用例4 (1)(2021新高考卷)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则()A.eba B.eabC.0aeb D.0b0，则切线方程为ybex0(xa).由得ex0(1x0a)b，则由题意知关于x0的方程ex0(1x0a)b有两个不同的解.设f(x)ex(1xa)，则f(x)ex(1xa)e
15、xex(xa).由f(x)0得xa，所以当x0，f(x)单调递增，当xa时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(a)ea(1aa)ea.当x0，所以f(x)0，又当x时，f(x)0，当x时，f(x)，故函数f(x)ex(1xa)的大致图象如图所示，由题意知f(x)的图象与直线yb有两个交点，所以0bea.故选D.法二过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则点(a，b)在曲线yex的下方且在x轴的上方，得0bea.故选D.(2)(2021广州一模)若曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，则a的取值范围为_.答案解析由yax2(a0)得y2ax，由yex得y
16、ex.设公切线与曲线C1切于点(x1，ax)，与曲线C2切于点(x2，ex2)，则2ax1ex2，可得2x2x12，a.a0，x10，记f(x)(x0)，则f(x)，当x(0，2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(2，)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以当x2时，f(x)min0，满足题意.所以a的取值范围是.感悟提升1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想
17、方法.训练2 (1)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，2 B.(，2)C.(2，) D.(0，)答案B解析函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)a2在(0，)上有解，即a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2).(2)(2022重庆调研)已知曲线f(x)e2x2exax1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是()A. B.(3，)C. D.(0，3)答案A解析f(x)2e2x2exa，依题意知f(x)3有两个实数解，即2e2x2exa3有两个实数解，即a2e2x2ex3有两个实数解，令te
18、x，t0，a2t22t3(t0)有两个实数解，ya与(t)2t22t3(t0)的图象有两个交点，(t)2t22t32，t0，(t)max，又(0)3，故3a.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.一、共切点的公切线问题例1 设点P为函数f(x)x22ax与g(x)3a2ln x2b(a0)的图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为()A.e B.e C.e D.e答案D解析设P(x0，y0)，由于P
19、为公共点，则x2ax03a2ln x02b.又点P处的切线相同，则f(x0)g(x0)，即x02a，即(x03a)(x0a)0.又a0，x00，则x0a，于是2ba23a2ln a.设h(x)x23x2ln x，x0，则h(x)2x(13ln x).可知：当x(0，e)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(e，)时，h(x)0，h(x)单调递减.故h(x)maxh(e)e，于是b的最大值为e，故选D.二、切点不同的公切线问题例2 (1)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.答案8解析法一yxln x，y1，y|x12.曲线yxln x在点(1，1)
20、处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行).由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01).y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由解得(2)曲线y(x0)与曲线yln x的公切线的条数为_条.答案1解析设(x1，y1)是公切线和曲线y的切点，则切线斜率k1|xx1，切线方程为y(xx1)，整理得yx.设(x2，y2)是公切线和曲线yln x的切点，则切线斜率k2(ln x)|xx2，切线方程
21、为yln x2(xx2)，整理得yxln x21.令，ln x21，消去x2得ln x1.设tx10，即2ln t10，只需探究此方程解的个数.易知函数f(x)2ln x1在(0，)上单调递增，f(1)30，f(e)10，于是f(x)0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.(多选)下列求导运算正确的是()A.1B.(log2x)C.(5x)5xlog5xD.(x2cos x)2xcos xx2sin x答案BD解析A中，1，C中，(5x)5xln 5，其余都正确.2.曲线y在点(3，2)处的切线的斜率是()A.2 B.2 C. D.答案D解析y，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率ky|x
22、3.3.若函数f(x)在R上可导，且f(x)x22f(1)x3，则()A.f(0)f(4) D.以上都不对答案B解析函数f(x)的导数f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)22f(1)，即f(1)2，故f(x)x24x3(x2)21，所以f(0)f(4)3.4.(2021辽宁百校联盟质检)函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()A.2xye40 B.2xye40C.2xye40 D.2xye40答案C解析f(x)，所以f(1)2，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，切点为(1，e2)，则切线方程为y(e2)2(x1)，即2xye40.5.已知直线yax
23、是曲线yln x的切线，则实数a()A. B. C. D.答案C解析设切点坐标为(x0，ln x0)，由yln x的导函数为y知切线方程为yln x0(xx0)，即yln x01.由题意可知解得a.6.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是()A.f(3)f(2)B.f(3)f(2)C.f(3)f(2)f(3)D.f(3)f(2)f(2)答案BCD解析f(x0)的几何意义是f(x)在xx0处的切线的斜率.由图知f(2)f(3)0，故A错误，B正确.设A(2，f(2)，B(3，f(3)，则f(3)f(2)kAB，由图知f(3)kABf(2)，即f(3)
24、f(3)f(2)f(2)，故C，D正确.7.(2022武汉一模)已知函数f(x)ax2ln x满足2，则曲线yf(x)在点处的切线斜率为_.答案3解析易知f(x)2ax，由2，可得 2，即f(1)2，所以f(1)3，可得32a1，解得a1，故f(x)2x，故f223.8.已知函数f(x)excos x，若f(0)1，则a_.答案2解析f(x)excos xexsin xexcos xexsin x，f(0)a11，则a2.9.已知函数f(x)，g(x)x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为_.答案4解析f(x)，f(x)，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k，故切线方
25、程为y(xx1)，即yx.与g(x)x2联立，得x2x0.直线l与曲线g(x)相切，40，解得x1，故斜率k4.10.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解f(x)3x22(1a)xa(a2).(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.1
26、1.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.(1)解方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，解得f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y(xx0).令x0，得y，切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0).曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x0和yx所围成的三角形的面积S|2
27、x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.12.(2021青岛二模)已知P是曲线ysin x(x0，)上的动点，点Q在直线x2y60上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为()A. B. C. D.答案C解析如图所示，若使得|PQ|取得最小值，则曲线ysin x(x0，)在点P处的切线与直线x2y60平行，对函数ysin x求导得ycos x，令y，可得cos x.0x，解得x.13.(2021新高考卷)已知函数f(x)|ex1|，x10，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1)和点B(x2，f(x2)处的两条切线互相垂直，且分别
28、交y轴于M，N两点，则的取值范围是_.答案(0，1)解析由题意，f(x)|ex1|则f(x)所以点A(x1，1ex1)和点B(x2，ex21)，kAMex1，kBNex2，所以ex1ex21，所以ex1x21，所以x1x20，所以AM的方程为y1ex1ex1(xx1)，M(0，ex1x1ex11)，所以|AM|x1|，同理|BN|x2|，所以ex1(0，1).14.(2021全国乙卷)已知函数f(x)x3x2ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线yf(x)过坐标原点的切线与曲线yf(x)的公共点的坐标.解(1)由题意知f(x)的定义域为R，f(x)3x22xa，对于f(x)0，(2)
29、243a4(13a).当a时，0，f(x)0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；当a0，则xx2；令f(x)0，则x1xx2.所以f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增.综上，当a时，f(x)在R上单调递增；当a时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.(2)记曲线yf(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，xxax01).因为f(x0)3x2x0a，所以切线l的方程为y(xxax01)(3x2x0a)(xx0).由l过坐标原点，得2xx10，解得x01，所以切线l的方程为y(1a)x.由解得或所以曲线yf(x)过坐标原点的切线与曲线yf(x)的公共点的坐标为(1，1a)和(1，1a).
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