1、第二课时向量法求距离、探索性及折叠问题题型一利用向量法求距离角度1点到直线的距离例1 已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为_.答案解析建立如图所示的空间直角坐标系，则(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1).又(1，0，0)，在上的投影为，点P到AB的距离为).角度2点到平面的距离例2 如图，四棱锥PABCD中，ABCD，ABCD1，E为PC的中点.(1)证明：BE平面PAD.(2)若AB平面PBC，PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.(1)证明如图，取PD的中点F，连接AF，EF，因为E为PC的中点，F为PD的中点，所以EF
2、綉CD.又AB綉CD，所以EF綉AB，故四边形ABEF为平行四边形，所以BEAF.又BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE平面PAD.(2)解法一(向量法)如图，取BC的中点O，AD的中点M，连接OP，OM，则OMABCD.在等边PBC中，PO，OPBC.又AB平面PBC，所以OM平面PBC.如图，以O为坐标原点，分别以射线OC，OM，OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P(0，0，)，A(1，1，0)，D(1，2，0)，C(1，0，0)，故E，所以(2，1，0)，(1，1，)，.设平面PAD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y2，z，故n(1，2，)为平面PA
3、D的一个法向量.所以点E到平面PAD的距离d.法二(等体积法)由(1)得BE平面PAD，故点B到平面PAD的距离等于点E到平面PAD的距离.如图，取BC的中点G，连接PG，DG，BD，易知PGBC.又PBC是边长为2的正三角形，所以PG，PBBC2.因为AB平面PBC，AB平面ABCD，所以平面ABCD平面PBC.因为平面ABCD平面PBCBC，所以PG平面ABCD，所以PGGD.因为AB平面PBC，所以ABBC，ABPB，所以四边形ABCD是直角梯形，且AB1，BC2，CD2，则AD，SABD121.因为ABPB，AB1，PB2，所以PA.在RtPGD中，易知DG.又PG，所以PD2，所以S
4、APD2.设点B到平面PAD的距离为h，因为三棱锥PABD的体积VSAPDhSABDPG，所以h.所以点E到平面PAD的距离为.感悟提升(1)向量法求点到直线距离的步骤根据图形求出直线的单位方向向量v.在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.垂线段长度d.(2)求点到平面的距离的常用方法直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.等体积法.向量法：设平面的一个法向量为n，A是内任意点，则点P到的距离为d.训练1 如
5、图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4).N是CC1的中点，N(0，4，2).(1)(0，4，2)，(2，2，0)，则|2，|4.设点N到直线AB的距离为d1，则d1)4.(2)设平面ABN的一个法向量为n(x，y，z)，则令z2，则y1，x，即n.易知(0，0，2)，设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2.题型二立体几何中的探索性问题例3 (12分)(2021全国甲卷)已知直三棱柱ABCA1B1
6、C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？规范答题(1)证明因为E，F分别是AC和CC1的中点，且ABBC2，侧面AA1B1B为正方形，所以CF1，BF.如图，连接AF，由BFA1B1，ABA1B1，得BFAB，于是AF3，所以AC2.由AB2BC2AC2，得BABC，2分故以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，(0，
7、2，1).设B1Dm(0m2)，则D(m，0，2)，4分于是(1m，1，2)，所以0，所以BFDE. 6分(2)解易知平面BB1C1C的一个法向量为n1(1，0，0). 7分设平面DFE的法向量为n2(x，y，z)，则 又(1m，1，2)，(1，1，1)，所以令x3，得ym1，z2m，于是，平面DFE的一个法向量为n2(3，m1，2m)，9分所以cosn1，n2.设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角为，则sin ，10分故当m时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，即当B1D时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小. 12分第一步根据已知条件建立空间
8、直角坐标系，利用向量法证明线线垂直第二步求两平面的法向量第三步计算向量的夹角(或函数值)第四步借助于函数的单调性或基本不等式确定最值第五步反思解题思路，检查易错点 训练2 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.(1)证明连接BD，设AC交BD于点O，连接SO.由题意知SO平面ABCD，以O为坐标原点，以，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxy
9、z.设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，C.于是，则0，故OCSD，从而ACSD.(2)解由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量.由题知，二面角PACD为锐角，则cos，所以二面角的大小为30.(3)解在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.根据第(2)问知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t.又0，得0a2t0，则t，当SEEC21时，.由于BE平面PAC，故BE平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE平面PAC，此时SEEC21.题型三折叠问题例4 图是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，B
10、C折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图中的平面BCG与平面ACG夹角的大小.(1)证明由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，BE，BC平面BCGE，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)解作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，平面BCGE平面ABCBC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐
11、标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，(1，0，)，(2，1，0).设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3，6，).又平面BCGE的法向量可取m(0，1，0)，所以cosn，m.因此平面BCG与平面ACG夹角的大小为30.感悟提升1.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线
12、面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧.训练3 (2022宁波质检)图1是直角梯形ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD，2.以BE为折痕将BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1，如图2.(1)证明：平面BC1E平面ABED；(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值.(1)证明在图中，连接AE，AC，AC交BE于F.2，DC3，CE2，ABCE.又ABCD，四边形AECB是平行四边形.在RtACD中，AC2，AFCF.在图中，AC1，AF2C1F2AC，C1FAF，由题意得C1FBE，又BEAFF，C1F平面ABED，又C1F平面BC1E，平面BC1E平面ABED.
13、(2)解如图，以D为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向，的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，2，0)，E(0，1，0)，F，C1，(，0，0)，.设平面AC1D的法向量为n(x，y，z)，由得取z，得n(0，2，)，|n|.记直线BC1与平面AC1D所成的角为，则sin .1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，M，N分别为CD，BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离.解以A为原点，以AD，AB，AA1为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图.则M(3，2，0)，N(0，4，1)，A1(0，0，2)，B(0，4，0)，即(
14、3，2，1)，(0，4，2).设MN，A1B公垂线的方向向量为n(x，y，z)，则有令y1，则z2，x，即n，|n|.又(3，2，2)在n上的射影的长度为d.即异面直线MN与A1B的距离为.2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB4，BC2，ABC45，点E是CD边的中点，将DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB2.(1)求证：平面PAE平面ABCE；(2)求点E到平面PAB的距离.(1)证明在平行四边形ABCD中，AB4，BC2，ABC45，点E是CD边的中点，将DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB2，AE2，AEAB.AB2PA2PB2，ABPA.AEPAA，AE，PA
15、平面PAE，AB平面PAE，AB平面ABCE，平面PAE平面ABCE.(2)解AE2，DE2，PA2，PA2AE2PE2，AEPE.AB平面PAE，ABCE，CE平面PAE，EA，EC，EP两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，P(0，0，2)，(0，0，2)，(2，0，2)，(2，4，2).设平面PAB的一个法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n(1，0，1)，点E到平面PAB的距离d.3.(2022湖北七市联考)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，BAD90，PDD
16、CBC2PA2AB2，PDDC.(1)求证：PA平面ABCD；(2)设(01) ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.(1)证明因为四边形ABCD是直角梯形，ABDC，BAD90，所以ADDC.因为PDDC，PDADD，所以CD平面PAD.又因为PA平面PAD，所以CDPA.取CD的中点E，连接BE，在RtBCE中，BC2，CE1，可得BE，所以AD.又PD2PA2，所以PA2AD2PD2，所以PAAD，又ADCDD，所以PA平面ABCD.(2)解以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1，0，0)，D(0，0)，P(0，0，1)
17、，所以(1，0，1)，(1，0).设平面PBD的法向量m(x，y，z)，由令y1，得m(，1，).设M(x0，y0，z0)，由(01)，得(x01，y0，z0)(1，0)，所以M(1，0)，所以(0，0，1)，(1，0).设平面PAM的法向量n(x1，y1，z1)，由得令x1，得平面PAM的一个法向量为n(，1，0).设平面PAM与平面PBD夹角的平面角为，则有cos ，解得0或.因为01，所以.4.如图1，在直角梯形ABCD中，E，F分别为AB的三等分点，FGBC，EDBC，ABBC，BCDC，AB3，BC2，若沿着FG，ED折叠，使得点A和点B重合，如图2所示，连接GC，BD.(1)求证：
18、平面GBD平面BCDE；(2)求平面BGC与平面DGC夹角的余弦值.(1)证明取BD，BE的中点，分别记为O，M，连接GO，OM，MF.则OMDE且OMDE.又因为GFDE且GFDE，所以GFOM且GFOM，故四边形OGFM为平行四边形，故GOFM.因为M为EB的中点，BEF为等边三角形，故FMEB，易知平面EFB平面BCDE，又平面EFB平面BCDEBE，故FM平面BCDE，因此GO平面BCDE.又GO平面GBD，故平面GBD平面BCDE.(2)解建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，1，0)，C(0，1，2)，D(0，0，2)，G，则(0，1，0)，(0，0，2).设平面DGC的法向量为
19、m(x1，y1，z1)，则即令x11，得m.设平面BGC的法向量为n(x2，y2，z2)，则即令x21，得n(1，0).则|cosm，n|，故平面BGC与平面DGC夹角的余弦值为.5.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M；使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.(1)证明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.又PAPD，PAA
20、BA.PD平面PAB.(2)解取AD中点O，连接CO，PO，PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD.CO平面ABCD，POCO.ACCD，COAD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，1，0)，C(2，0，0).则(1，1，1)，(0，1，1)，(2，0，1)，(2，1，0).设n(x0，y0，1)为平面PDC的一个法向量.由得解得即n.设PB与平面PCD的夹角为.则sin |cosn，|.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)解设M是棱PA上一点，则存在0，1使得，因此点M(0，1，)，(1，
21、).因为BM平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当n0，即(1，)0，解得，所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.6.(2019北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求平面FAE与平面PAE夹角的余弦值；(3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD.(2)解过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面A
22、BCD，AM，AD平面ABCD，所以PAAM，PAAD.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，所以(0，1，1)，(2，2，2)，(0，0，2)，所以，所以.设平面FAE的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，x1.于是n(1，1，1).又因为平面PAE的一个法向量为p(1，0，0)，所以cosn，p.由题知，平面FAE与平面PAE夹角的余弦值为.(3)解直线AG在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且，(2，1，2)，所以，所以.由(2)知，平面AEF的一个法向量n(1，1，1)，所以n0.又点A平面AEF，所以直线AG在平面AEF内.
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有