1、文科数学寒假作业3：空间角与距离 出题人：薛飞一、选择题1如图，如图，已知正三棱柱的各条棱都相等，M是侧棱的中点，则异面直线和所成角的大小是 （ ）A B C D2如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A B C D3如图，已知分别是正方体的棱的中点，设为二面角的平面角，则（ ）（A） （B） （C） （D）4在四棱锥中，底面是菱形，底面，是棱上一点若，则当的面积为最小值时，直线与平面所成的角为（ ）A B C D5已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（ ）A B C D二、填空题6已知几何体由两个直棱柱组
2、合而成，其三视图和直观图如图所示设两异面直线所成的角为，则的值为 7如图，二面角的大小是45，线段，与所成的角为30则与平面所成的角的正弦值是 8已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_三、解答题9如图正方形沿着对角线对折，并使平面平面，从而构成如图三棱锥，点、分别是线段、的中点请在图的三棱锥中解答如下问题：（1）求二面角的正切值； （2）求异面直线与所成角的余弦值ABCDEFGH10如图，平行四边形中，且，正方形和平面成直二面角，是的中点（1）求证：（2）求证：平面（3）求三棱锥的体积。作业31A
3、【解析】试题分析：设BC的中点为O，连接AO，因三棱柱是底面为正三角形的直棱柱，所以AO平面，AOBM又因点M为的中点，在正方形中可得，BM，所以BM平面又因，所以BM故异面直线和所成角的大小是 选A考点：异面直线所成的角【方法点睛】异面直线所成的角的求法：常根据异面直线所成角的定义进行平移，将其转化为一个平面角在三角形内求解但当两条异面直线所成的角是直角，也可以证明两直线垂直（本题即为该情况）如果是直角，问题将转化为证明两条异面直线垂直，常运用直线与平面垂直的性质证明两条异面直线垂直（其实质是三垂线定理或其逆定理）2D【解析】试题分析：以为坐标原点，以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系
4、，则，且为平面的一个法向量。，故选D。考点：直线与平面所成的角3B【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则，设平面的法向量为，则由得，令，则，故，又由为平面的一个法向量，为的平面角，故故选B考点：二面角的平面角及其求法4B【解析】试题分析：如图：当时，此行是异面直线与的共垂线段，共垂线段是异面直线两点间距离的最小值，所以此时的面积为最小值，所以平面，平面，所以又因为此时，所以平面，为在平面内的射影，所以直线与平面所成的角为，是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，所以考点：1线与面垂直；2异面直线的距离；3线与面所成角5C【解析】试题分析：以为邻边构造一个正方体，正方体的
5、中心就是正三棱锥的外接球的球心，正方体的对角线长为，球心到截面ABC的距离为，故选C考点：正方体与它的外接球6【解析】试题分析：取的中点，连结，和，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以为异面直线、所成的角（或其补角），由题意知：， ，由余弦定理得：，所以的值是，所以答案应填：考点：1、三视图；2、直观图；3、异面直线所成的角7【解析】试题分析：过点A做AO垂直平面于点O，作AC垂直直线于点C，连接CO、BO，则，即为与平面所成的角设 AO=a，则，所以考点：二面角、直线与平面所成的角8【解析】试题分析：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为。考点：多面体
6、和旋转体表面上的最短距离问题9（1）；（2）【解析】试题分析：（1）取线段中点，可知根据面面垂直的性质定理由平面平面可得平面由易证得，根据二面角的定理可知是二面角的平面角，在中求的正切值即可（2）取中点，由中位线易证得，故即为异面直线与所成角在中即可求得的余弦值试题解析：解：（1）取线段中点，连接由，故平面平面并交于，故平面又，故而是在平面内的射影，由三垂线定理：所以是二面角的平面角设，因此， （2）连接，取中点，连接， 由分别是的中点，故，异面直线与所成角为设，因此在（1）中，且，故， 因此，在中，故： 14分考点：1二面角；2异面直线所成的角10详见解析【解析】试题分析：（1）要证明线面垂直，只需证明线与平面内的两条相交直线垂直，已知，再证明，根据面面垂直的性质定理得到；（2）要证线面平行，即证线线平行，即根据三角形中位线证明;(3)根据等体积转化为求，点到面的距离就是到直线的距离，易求得体积试题解析：（1）证明：四边形ADEF为正方形 又平面平面，交线为，ABCDEFGH又 （2）证明：连结，则是的中点中， 又 平面 （3）解：设中边上的高为依题意： 即：点到平面的距离为 考点：1线面垂直的判定定理；2线面平行的判定定理；3体积公式