1、第三章检测(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.根据导数的定义,f(x1)等于()A -B -C -D -答案:C2.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为 则点 的横坐标的取值范围为 A-C.0,1D 解析:设点 P 的坐标为(x0,y0).y=x2+2x+3,y=2x+2.曲线在点 P(x0,y0)处的切线的倾斜角的取值范围是 曲线在点 P 处的切线的斜率 k0,1.02x0+21.-1x0 答案:A3.阅读
2、下图中的程序框图,其中 f(x)是 f(x)的导数.已知输入 f(x)=sin x,运行相应的程序,输出的结果是()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析:f1(x)=(sin x)=cos x,f2(x)=(cos x)=-sin x,f3(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=(-cos x)=sinx,f5(x)=(sin x)=cos x,它以 4 为周期进行变换,故 f2 015(x)=f3(x)=-cos x.答案:D4.某汽车启动阶段的位移函数为 s(t)=2t3-5t2(t 表示时间),则 t=2 时,汽车的加速度是()A.14B.4C.1
3、0D.6解析:v(t)=s(t)=6t2-10t,所以 a(t)=v(t)=12t-10.当 t=2 时,a(2)=14,即 t=2 时汽车的加速度为 14.答案:A5.下列结论正确的个数为()若 f(x)=sin 2x,则 f(x)=2cos 2x;若 f(x)则 若 f(x)则 A.0B.1C.2D.3解析:(sin 2x)=(2sin xcos x)=(2sin x)cos x+2sin x(cos x)=2cos 2x,正确;()正确;f(x)()f(3)=正确.答案:D6.已知两条曲线 y=x2-1 与 y=1-x3在 x=x0处的切线互相平行,则 x0的值为()A.0B.C.或 解
4、析:由题意,得两曲线在 x=x0处的切线的斜率相等,所以 2x0=-解得x0=0或 答案:D7.若曲线 y1=f1(x)=x2-1 与 y2=f2(x)=1-x3在 x=x0处的切线互相垂直,则 x0等于()A 或 解析:f1(x0)=2x0,f2(x0)=-2x0(-x0 答案:A8.设 f(x)=xln x,若 f(x0)=2,则 x0等于()A.e2B.eC 解析:f(x)=xln x+x(ln x)=ln x+1,f(x0)=ln x0+1=2,ln x0=1,x0=e.答案:B9.函数 y=ln x 在 x=e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A 解析:y 在x=e2处的切
5、线斜率为 k 切线方程为 y-2 令 x=0,得 y=1.令 y=0,得 x=-e2,所求三角形的面积为 答案:B10.若函数 f(x)=x2+bx+c 的图像的顶点在第四象限,则函数 f(x)的图像是()解析:f(x)=2x+b,排除选项 B,D.又 f(x)=x2+bx+c 的图像的顶点在第四象限,b0.故选 A.答案:A11.若 f(x0)=2,则 -等于 A.1B.2C.-1D.-2解析:f(x0)=2,=-(-)答案:C12.若直线 x+y+m=0(mR)不可能是曲线 f(x)=ax2+ln x 的切线,则实数 a 的取值范围是()A.a0B.a C.a0 得,设 t 则 y=()a
6、0.故选 D.答案:D二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)13.若曲线 f(x)=ax2+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 .解析:f(x)=2ax f(x)存在垂直于 y 轴的切线,f(x)=0 有正解,即 2ax 有正解.a=a(-,0).答案:(-,0)14.已知 f(x)=x3+ax2-2x 是奇函数,则其图像在点(1,f(1)处的切线方程为 .解析:由函数为奇函数,得 a=0,f(x)=x3-2x,f(x)=3x2-2,f(1)=-1,f(1)=1,y-(-1)=1(x-1),即 x-y-2=0.答案:x
7、-y-2=015.若 f(x)是 f(x)的导数 则 的值域是 解析:由 f(x)得f(x)=则y=令t 则y=-t2+t(t0),则 t 时,取得最大值 即所求值域为(-答案:(-16.已知函数 f(x)=f()则()解析:由已知,得 f(x)=f()x-sin x,则 f()因此f(x)=-sin x+cos x,()答案:0三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)已知函数 f(x)=ax2 (1)求 f(x)的解析式;(2)求 f(x)在(1,2)处的切线方程.解:(1)f(x)=2ax 由已知,得 -解得 f(x)(2
8、)函数 f(x)在(1,2)处的切线方程为 y-2=x-1,即 x-y+1=0.18.(12 分)已知 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且 f(0)=2a,当-1a2 时,求不等式 f(x)0 的解集.解:f(x)=3x2-2(a+1)x+(a-2)(-1a2),令 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.f(0)=2a,b=2a.f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x2-x-2)(x-a)=(x+1)(x-2)(x-a).令(x+1)(x-2)(x-a)0,不等式的解集为(-,-1)(a,2).19.(12 分
9、)已知函数 f(x)=x3+x-16.(1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=垂直 求切点坐标与切线的方程 解:(1)因为 f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以 f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f(2)=13.所以切线的方程为 y=13(x-2)-6,即 y=13x-32.(2)因为切线与直线 y=垂直,所以切线的斜率 k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则 f(x0)=所以 x0=1,所以 -或 -即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),所以该曲线的切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4
10、(x+1)-18,即 4x-y-18=0 或 4x-y-14=0.20.(12 分)如图,设直线 l1与曲线y 相切于点 直线 过点 且垂直于 若 与 轴交于点 又作 垂直 轴于点 求 的长 分析:设点 P 坐标,运用导数及垂直求出 K,Q 的横坐标,从而求出 KQ 的长.解:设 P(x0,y0),则当 x=x0时 直线 l1与 l2垂直,.直线 l2的方程为 y-y0=-点 P(x0,y0)在曲线 y 上,y0 在直线 l2的方程中,令 y=0,则有 x 即xQ 又 xK=x0,|KQ|=xQ-xK 21.(12 分)设曲线 y=x3在 x=a(a0)处的切线为 l.(1)求直线 l 的方程
11、;(2)求证:直线 l 与曲线 y=x3恒有两个不同的交点,且这两个交点之间的距离不小于 (1)解y=3x2,直线 l 的斜率为 3a2.直线 l 的方程为 y-a3=3a2(x-a),即 y=3a2x-2a3.(2)证明联立方程 -消去y,得 x3-3a2x+2a3=0.即(x-a)2(x+2a)=0,解得 x1=x2=a,x3=-2a.a0,a-2a.即 x1=x2x3.直线 l 与曲线 y=x3有两个不同的交点 A(a,a3),B(-2a,-8a3),|AB|即这两个交点之间的距离不小于 22.(12 分)设函数 f(x)=ax 曲线 在点 处的切线方程为 (1)求 y=f(x)的解析式
12、;(2)证明:曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y 当 x=2 时,y 又 f(x)=a 于是 -解得 故 f(x)=x (2)设 P(x0,y0)为曲线 y=f(x)上任意一点,y=1 曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0()即 y(-)()令 x=0,得 y=从而得切线与直线x=0 的交点坐标为(-)令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为|-|故曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.