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《优教通同步备课》高中数学(北师大版)选修2-2教案:第4章 典型例题:定积分的两种非常规用法.doc

1、例谈定积分的两种非常规用法定积分是新课标的新增内容,它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液,还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识,通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外,利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。一、求物体所受的力例1.矩形闸门宽a米,高h米垂直放在水中,上沿与水面平齐,则该闸门所受水的压力F等于 ( ) 其中水的密度为kg/m3,g单位是m/s2, A. B. C. D. 解析:建立如图所示坐标系.取x为积分变量,x0,h,(h,)xx+dxOyx任取子区间x,x+dx0,h,闸门所受水的压力F=ps,

2、其中p为压强,s为受力面积,又p=gx,(x为水的深度.),相应一薄层水对闸门的压力近似为:dF= pds=gxds=gxa dx,于是整个闸门所受水的压力F为:F=,故选A.点评:闸门所受水的压强p是关于水深x的函数,随着x的变化而变化;且闸门的受力面积s也是关于水深x的函数.所以可用分割、近似代替、求和、取极限的方法,即用定积分的定义来求该闸门所受水的压力F.例2. 矩形闸门上沿与水面平齐,且垂直放在水中,过此闸门的中心作水平线将矩形闸门分为面积相等的上下两部分,设上部所受水的压力为F1,下部所受水的压力为F2,则等于 ( )A. B. C. D. 与矩形的具体尺寸有关解析:由例1知F1 =,F2=,=. 故选B.二、利用积分证明不等式例3.求证1617.证明:可以考虑函数f(x)=在区间k-1,k(k=2,3,80)上的定积分.由,得=1+1+=1+=1+2()16.917.同理,由,有=2()=16. 综上所述,即证得1617.

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