1、函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键考点一 函数思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题考点二 方程思想1方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行
2、研究，使问题得到解决2方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域函数与方程的这种相互转化关系十分重要考点三 函数与方程思想在解题中的应用可用函数与方程思想解决的相关问题1函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的2方程思想在
3、解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题例1(2015福建，14)若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_【答案】(1，2【解析】由题意f(x)的图象如右图，则1a2.【变式探究】 (2014陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的
4、一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2xByx3x23xCyx3xDyx3x22x【解析】考点二、运用函数与方程思想解决方程问题例2、(2015山东，10)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a取值范围是()A. B0，1C. D1, )【答案】C【解析】当a2时，f(a)f(2)2241，f(f(a)2f(a)，a2满足题意，排除A，B选项；当a时，f(a)f311，f(f(a)2f(a)，a满足题意，排除D选项，故答案为C. 【规律方法】研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方
5、程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决【变式探究】 (2015天津，8)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】记h(x)f(2x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：yx4，当直线lAB且与f(x)的图象相切时，由解得b，(4)，所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当b2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即yf(x)g(x)恰有
6、4个零点选D.难点三、运用函数与方程思想解决不等式问题例3(2015湖南，15)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_【答案】(，0)(1，)【解析】【规律方法】 (1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法 (2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数 (3)在解决不等式证明问题时，构造适当的
7、函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式【变式探究】设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取到极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0，3都有f(x)c2成立，求c的取值范围；(3)若方程f(x)c2有三个根，求c的取值范围【解析】(1)f(x)6x26ax3b3(2x22axb)因为函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取到极值，所以解得当a3，b4时，f(x)3(2x26x4)6(x2)(x1)当x0；当1x2
8、时，f(x)2时，f(x)0.所以此时1与2都是极值点，因此a3，b4，f(x)2x39x212x8c.(2) 难点四、运用函数与方程思想解决最优化问题例4、(2015江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常
9、数)模型 (1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度【解析】(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)将其分别代入y，得解得【规律方法】解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【小结反思】1函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现2有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想3有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力