1、2023届高三年级第一学期期中测试数学试题一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合A和B，根据集合的交并运算即可得到答案【详解】，故选：C.2. 已知向量，其中与是相反向量，且，则（ ）A. B. C. D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意得，将和联立即可求出的坐标及模.【详解】由题可知，则，即，解得，.故选：B.3. 已知函数，则的值是( )A. 4B. C. 8D. 【答案】D【解析】【分析】注意到，根据该分段函数x0时的周期性即可求得【详解】
2、，故选：D4. 如图，由于建筑物AB的底部B是不可能到达的，A为建筑物的最高点，需要测量AB，先采取如下方法，选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在一条直线上在G，H两点用测角仪测得A的仰角为，测角仪器的高度是h，则建筑物AB的高度为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义，结合线段组合，可得答案.【详解】由题意，可得，故选：C.5. 若二次函数的解集为，则有( )A. 最小值4B. 最小值4C. 最大值4D. 最大值4【答案】A【解析】【分析】根据二次不等式解与二次函数图象性质的关系得到b与a的关系，对进行变形，利用基本不等式即可求解其最值，从而得到答案
3、【详解】由题可知，当且仅当，即时等号成立，故有最小值4故选：A6. 已知，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将用正弦的差角公式展开，再将sin2展开为2sincos，将cos2展开为，将式子的分母补为构造为关于正余弦的齐次分式，分子分母同时除以将弦化为切，代值计算即可【详解】故选：C7. 已知正实数，满足，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围
4、，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案【详解】，故令，则，易知和均为上的增函数，故在为增函数，故由题可知，即，则易知，作出函数与函数的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在内，即，故选：B8. 试估算腰长为1，顶角为20的等腰三角形的底边长所在的区间( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理或等腰三角形性质，将sin10表示成与等腰三角形底边a的关系；利用三倍角公式可由sin30得到关于a的方程，构造函数，通过二分法即可判断其零点a的取值范围，从而得到答案【详解】设底边边长为，由余弦定理得，即，令，则，则在上，f(x)单调递减；易知，易求，故根据零点存在性定理可知，故
5、选：C【点睛】本题的关键点是利用我们熟知的三角恒等变换公式推导出三倍角公式，从而找到sin10和sin30之间的关系，将问题转化为求方程根的范围，进一步转化为利用零点存在性定理判断函数零点范围的问题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下面四个命题正确的是( )A. 若复数满足，则B. 若复数满足，则C. 若复数，满足，则D. 若复数，满足，则【答案】AC【解析】【分析】设，a,bR，.根据复数的计算方法和相关概念逐项计算验证即可【详解】设，a,bR，对于选项A：，若，则，即为实数，故A
6、正确；对于选项B：，若，则或，若，则，故B错误；对于选项C：，故，故C正确；对于选项D：，若，则，无法得到，故D错误故选：AC10. 为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )A. B. C. 对于任意的正整数，总存在正整数，使得D. 一定存在三个正整数，当时，三个数依次成等差数列【答案】AC【解析】【分析】对等式左边同分，结合即可求出，从而判断A选项；再结合公差即可求出和，从而求出d、，从而对B和C进行判断；对于选项D，根据等差中项的性质表示出m、n、k三者的关系，根据方程成立的条件即可判断【详解】由得，故A正确；，故B错误；，结合及可得：，故，则即为，n是正整数，也是正整数，故对于任意的正
7、整数，总存在正整数，使得，故C正确；成等差数列，均为偶数，等式左边为偶数，右边为奇数，左右不可能相等，故D错误；故选：AC11. 已知定义在上的函数在区间上是增函数，则（ ）A. 的最小正周期为B. 满足条件的整数的最大值为3C. 函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像，则的值D. 函数在上有无数个零点【答案】BC【解析】【分析】根据函数在区间单调性求出的取值范围，即可判断B，再求出的解析式，即可得到其最小正周期，即可判断A，根据三角函数的平移变换得到的解析式，再根据奇偶性求出，即可判断C，最后利用特殊值判断D.【详解】解：函数在区间上是增函数，所以整数的最大值为，故B正确；因为为偶函数，函
8、数图象关于轴对称，所以，所以的最小正周期，故A错误；将函数的图像向右平移单位得到，因为奇函数，所以，解得，又，所以当时，故C正确；当时，由，所以，所以，则在上无零点，故D错误；故选：BC12. 在中，M是BC的中点，则（ ）A. 线段AM的长度为B C. D. 在线段AB的延长线上存在点P，使得的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项，连接AM后利用，结合余弦定理处理.对于B选项，将转化为.对于C选项，注意到，则.对于D选项，做一圆与直线AB相切，且过C，M两点.则点P为相应切点.【详解】对于选项A，如图连接AM，因C，M，B三点共线，则有.设，又，由余弦定理有：，得，故A正确.对于
9、B选项，=,故B错误.对于C选项，又，则，因，则得，又由外角和定理，则=.故C正确.对于选项D，如图做一圆与直线AB相切，且过C，M两点.为除直线与圆相切切点P外任意一点，由图及三角形外角性质，则当P为直线与圆相切切点时，最大.由圆幂定理，有，得，又.由余弦定理有：，则为等腰直角三角形.又由，有，又，则.故，又，得.故在线段AB的延长线上存在点P，使得的最大值为，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，向量，平面几何等相关知识点.此题难度较大，需注意以下几点:（1）利用两角互补，则两角余弦值互为相反数，可求三角形中线.（2）计算数量积时，常转化为已知夹角的数量积.（3）对于C
10、，D选项的判断，本题利用了相似，辅助圆，圆幂定理等知识.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】直接将代入计算即可.【详解】由已知得故答案为：14. 试写出一个无穷等比数列，同时满足；数列单调递减；数列不具有单调性，则当时，_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设，根据得到和q的关系，再结合数列单调递减和数列不具有单调性判断q的范围，取一个符合条件的q值，求出对应的即可得到答案【详解】设，由得，数列不具有单调性，又数列单调递减，故，综上，不妨取，则经检验符合题意故答案为：15. 在中(角A为最大内角，a，b，c为、所对的边)和中，若，则_
11、.【答案】【解析】【分析】根据，可知B和互余，C和互余，于是根据三角形内角和为180，可得到，再根据可求出，从而求出和A.根据余弦定理和三角形面积公式可将要求的式子化简为，根据A的大小即可求解【详解】A是最大内角，均为锐角，即，是三角形内角，在ABC中，由余弦定理得，故，故答案为：16. 已知函数的图像与直线：交于点，其中与直线：交于两点、，其中，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据的单调性，易得，即，从而得到，同理得到，再利用基本不等式求解.【详解】解：当时，则，所以在上递增，当时，则，所以在上递增，因为函数的图像与直线：交于点，所以，所以，即，所以，同理，所以，当且仅当，即，等号成
12、立，所以的最小值为.故答案为：【点睛】思路点睛：首先确定函数每段的单调性，从而得到交点横坐标的关系，建立模型，再利用基本不等式求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，.（1）求集合；（2）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将含对数的不等式转化为整式不等式求解即可；（2）求出，分，讨论，通过集合的包含关系列式计算即可.【小问1详解】由得即，也即令，得，解得，即，得，故；【小问2详解】（2）因为是的充分不必要条件，所以，又由得，即，即，当，即时，此时必有；当，即时，此时
13、必有；当，即时，即，综上所述：18. 已知等差数列前项和为，；数列是等比数列，且，成等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前项和为，求的表达式.【答案】（1）； （2）为偶数时，；为奇数时，【解析】【分析】(1)设公差为，设公比为，根据已知条件列出方程求出d、和q即可得到两个数列的通项公式；(2)分n为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列的前项和为，从而求出的表达式【小问1详解】设公差为，联立解得：，；设公比为，、成等差数列，故，【小问2详解】令，则，当为偶数时，得：，当为奇数时，为偶数时，为奇数时，19. 信息1：某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数
14、据，见下表：000信息2：如图，A、C为函数的图象与x轴的两个交点，B、D分别为函数图象的最高点和最低点，且（1）根据以上两则信息(1)和(2)，直接写出函数的解析式；（2）求的单调增区间，以及当时函数的值域.【答案】（1）； （2）增区间为：；值域为：【解析】【分析】(1)根据图象和表格求出A的值，B、C、D的坐标，根据即可求出和的值，从而确定f(x)的解析式；(2)求出g(x)的解析式，根据正弦型函数的单调性可求其增区间，根据，结合正弦函数图象性质可求其值域【小问1详解】由表格和图象可知：，故，【小问2详解】，由解得，故的增区间为当时，的值域为20. 在中，点D在边BC上，且，记.（1）当
15、，求；（2）若，求的值.【答案】（1）； （2）3【解析】【分析】(1)设ABm，根据几何关系，结合余弦定理求出AC即可；(2)分别过作，.根据几何关系求出CN、AN，用x、y、表示出，根据即可求出的值【小问1详解】当，时，设，在ACD中，根据余弦定理得：，【小问2详解】分别过作，易知，且，21. 已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）关于不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程.（2）根据函数的结构特征利用切线进行放缩进行证明从而得到的范围.【小问1详解】由已知定义域为 所以，所以斜率的斜率为 又因为，所以切点为
16、故切线方程为【小问2详解】由已知，即时， 令，所以 易知在为单调递增，所以（必要性）下证充分性：当时，令，所以当时，故为单调递减，当时，故为单调递增，所以，即，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，则，所以 故充分性成立，得证.故实数的取值范围为22. 已知函数，且存在极值.（1）求的取值范围；（2）若存在使得，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得有变号零点，则由，得，令，利用导数求出其值域，从而可求出的取值范围；（2）由，得，不妨设，则转化为，要证，只要证，所以将问题转化为证成立，即成立，令，构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可.【小问1详解】由，得，因为存在极值，所以有变号零点，由，得，令，则，所以在上递减，因为，所以当时，存在极值；【小问2详解】因为，所以，不妨设，则，令，则，所以在上递增，因为，所以，所以，所以，所以，所以，要证，只要证，只要证，所以只需证，所以只需证，所以只需证，即只需证成立，令，令，则，令，则，所以在上递增，所以，即，所以在上递增，所以，所以，所以，所以成立，所以【点睛】关键点点睛：此题考查导数综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为成立，化简为成立，然后构造函数，利用导数求其最小值大于零，考查数学转化思想，属于难题.
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