1、课时过关检测(十五) 导数与函数的极值、最值A级基础达标1函数f(x)x33x23x的极值点的个数是()A0B1C2D3解析：Af(x)3x26x33(x1)2，当x1时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为02已知函数f(x)(x2a)ex ，则“a1”是“f(x)有极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：Bf(x)(x22xa)ex0，x22xa0，44a若44a0，a1，则f(x)(x22xa)ex0恒成立，f(x)为增函数，无极值；若44a0，即a1，则f(x)有两个极值所以“a1”是“f(x
2、)有极值”的必要不充分条件故选B3设函数f(x)，若f(x)的极小值为，则a()ABCD2解析：B由已知得f(x)(xa)，令f(x)0，有x1a，且当x1a时函数f(x)单调递减，当x1a时函数f(x)单调递增，f(x)的极小值为f(1a)e1a，即1a，得a故选B4已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx()ABCD解析：C由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2，x1，x2是方程3x26x20的两根，所以x1x22，x1x2，xx
3、(x1x2)22x1x2425设函数f(x)若函数存在最大值，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1CaDa解析：C显然xa时，f(x)a无最大值，xa时，f(x)存在最大值，f(x)，当x1时，f(x)0，f(x)递增，当x1时，f(x)0，f(x)递减，所以x1时，f(x)取得极大值也是最大值f(1)，因此f(x)要有最大值，必须满足所以a故选C6(多选)若函数f(x)2x3ax2(a0)在上有最大值，则a的取值可能为()A6B5C4D3解析：ABC令f(x)2x(3xa)0，得x10，x2(a0)，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，则f(x)的增区间为，(0，)，减区间为， 从而
4、f(x)在x处取得极大值f，由f(x)，得20，解得x或x，又f(x)在上有最大值，所以0，则f(x)在0，)上单调递增，显然f(0)0，令f(x)0，得sin x，在同一坐标系中分别作出ysin x，y在区间2，2)上的图象如图所示，由图可知，这两个函数的图象在区间2，2)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间2，2)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点，故选B、D8已知函数f(x)exex，x0，a，a为正实数，则函数f(x)的最小值为_，最大值为_解析：f(x)exex当x0，a时，f(x)0恒成立，即f(x)在0，a上单调递减故当xa时，f(x)
5、有最小值f(a)eaea；当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00即f(x)的最小值为eaea，最大值为0答案：eaea09已知函数f(x)ax3x2xxln x存在两个极值点，则实数a的取值范围是_解析：函数的定义域为(0，)，由题意得f(x)3ax2xln x，因为函数f(x)有两个极值点，所以f(x)有两个变号零点由f(x)0得3ax2xln x，即3a，令g(x)，则g(x)，易知函数yx12ln x是减函数，且当x1时，y0，所以当0x1时，g(x)0，g(x)单调递增；当x1时，g(x)0，g(x)单调递减故g(x)maxg(1)1，又当0x时，g(x)0，当x1时，g(x)0
6、，所以要使f(x)有两个零点，需03a1，即0a答案：10已知函数f(x)ln xax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解：(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(0,2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x0)当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x
7、，则f(x)0，若x，则f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为xB级综合应用11关于x的不等式2sin3xcos xa0在x(0，)恒成立，则实数a的最小值为()AB0C1D解析：D依题意，令f(x)2sin3xcos x，所以f(x)6sin2xcos2x2sin4x2sin2x(3cos2xsin2x)2sin2x(4cos2x1)，又x(0，)，令f(x)0，可得cos x，所以x或x，当x时，f(x)0，所以f(x)2sin3xcos x在x单调递增；当x时，f(x)0，所以f(x)2sin3xcos x在x单调递减；当x时，f(x)0，所以f(x)2sin3xcos x在x
8、单调递增，所以当x时，函数取最大值为f，所以实数a的最小值为故选D12(2022潍坊模拟)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y10(x6)2，x(3,6)若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为_元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大解析：商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，f(x)1030(x4)(x6)令f(x)0，得x4或x6(舍去)故当x(3,4)时f(x)0，当x(4,6)时f(x)0则函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x4时函数f(x)取得
9、最大值f(4)42故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大答案：413有三个条件：函数f(x)的图象过点(0,1)，且a1；f(x)在x1时取得极大值；函数f(x)在x3处的切线方程为4x2y70，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题题目：已知函数f(x)x3x22xb存在极值，并且_(1)求f(x)的解析式；(2)当x1,3时，求函数f(x)的最值注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分解：选：(1)f(0)b1，所以ab1，故f(x)x3x22x1(2)由(1)知f(x)x2x220，所以f(x)单调递增，故f(x
10、)maxf(3)，f(x)minf(1)选：(1)因为f(x)x3x22xb，所以f(x)x2ax2，由题意知解得故f(x)x3x22x1，经检验f(x)在x1时取得极大值，故符合题意，所以f(x)x3x22x1(2)由(1)知f(x)x23x2，令f(x)x23x20，解得x1或x2，所以x1,2)时，f(x)0，f(x)单调递减；x(2,3时，f(x)0，f(x)单调递增，则f(1)21，f(2)2322221，f(3)3332231，所以f(x)min，f(x)max选：(1)由题意知又因为f(x)x2ax2，所以解得所以f(x)x3x22x1(2)由(1)知，f(x)x23x2，令f(
11、x)0，解得x1或x2，所以x1,2)时，f(x)0，f(x)单调递减；x(2,3时，f(x)0，f(x)单调递增又因f(1)，f(2)，f(3)，所以f(x)maxf(3)，f(x)minf(2)C级迁移创新14(多选)已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()Af(a)f(b)f(c)Bf(e)f(d)f(c)Cxc时，f(x)取得最大值Dxd时，f(x)取得最小值解析：AB由f(x)图象可知，当x(，c)(e，)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0，f(x)在(，c)，(e，)上单调递增，在(c，e)上单调递减对于A，abc，f(a)f(b)f(c
12、)，A正确；对于B，cde，f(e)f(d)f(c)，B正确；对于C，由单调性知f(c)为极大值，当xe时，可能存在f(x0)f(c)，C错误；对于D，由单调性知f(e)f(d)，D错误故选A、B15设函数f(x)ln xx22ax1(1)当a时，求f(x)的极值；(2)判断函数f(x)在(a2，)上是否存在极值若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)依题意知f(x)的定义域为(0，)，当a时，函数f(x)ln xx23x1(x0)对f(x)求导，得f(x)2x3，令f(x)0，解得x1或x当x时，f(x)0；当x时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0所以函数f(x)在，(
13、1，)上单调递增，在上单调递减于是f(x)在x1处取得极小值，且极小值为f(1)1，在x处取得极大值，且极大值为fln，所以函数f(x)的极大值为ln ，极小值为1(2)存在对f(x)求导，得f(x)2x2a(x0)令f(x)0，即2x22ax10，令g(x)2x22ax1，则函数g(x)的图象的对称轴为直线x因为a20，所以a2当a2，即a时，g(a2)2(a2)22a(a2)14a212a90恒成立，所以f(x)在(a2，)上无极值当a2，即a时，则2a，g22a11当10时，有a，即a时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(a2，)上无极值当10时，有a或a，又2a，所以2a，因为g(a2)4a212a90，g10，当x时，g(x)0，所以存在x1，使得f(x1)0，存在x2，使得f(x2)0所以当x(a2，x1)时，f(x)0；当x(x1，x2)时，f(x)0；当x(x2，)时，f(x)0由此可知，当2a时，f(x)有极值综上所述，函数f(x)在(a2，)上存在极值，且实数a的取值范围为2，)
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