1、课时过关检测(五十四) 圆锥曲线中的最值、范围问题1(2022青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求F2MN面积的最大值解：(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上设椭圆E的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则bc，a2b2c22b2，椭圆E的标准方程为1又椭圆E过点，1，解得b21椭圆E的标准方程为y21(2)由于点(2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l：yk(x2)，设M(
2、x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(12k2)x28k2x8k220由0得0k2，从而x1x2，x1x2，|MN|x1x2|2点F2(1,0)到直线l的距离d，F2MN的面积为S|MN|d3令12k2t，则t1,2)，S3333 ，当即t时，S有最大值，Smax，此时k当直线l的斜率为时，可使F2MN的面积最大，其最大值2已知抛物线C：y24x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点(1)求向量与的数量积；(2)设，若9,16，求l在y轴上的截距的取值范围解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0
3、)，设直线l的方程为xmy1由得y24my40，16m2160，由根与系数的关系得x1x2y1y2y1y243向量与的数量积为3(2)由(1)知，y2y1将y2y1代入得4m2，4m22令f()2，易知f()在9,16上单调递增，4m2，m2，ml在y轴上的截距的取值范围为3已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且PF1F2的周长为42(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围解：(1)由题意知解得则b2a2c21，椭圆E的方程为y21(2)设M(x1，y1)
4、，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，由消去y整理得，(14k2)x28kmx4m240，直线l：ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点，64k2m24(14k2)(4m24)0，即m214k2，由根与系数的关系得则x0，y0kx0m，所以直线DG的斜率为kDG，又由直线DG和直线MN垂直可得k1，则m，代入m214k2可得214k2，即k2，解得k或k故所求k的取值范围是4已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，且通径长为1(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1MF2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值解：(1)依题意可知解得故椭圆的方程为y21(2)假设M，N两点在x轴上侧，如图所示，延长MF1交E于点M0，由F1MF2N知M0与N关于原点对称，从而有|F1M0|F2N|，由(1)可知F1(，0)，F2(，0)，设M(x1，y1)，M0(x2，y2)，设MF1的方程为xmy，由得(m24)y22my10，12m24(m24)0，故设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则S(|F1M|F2N|)d(|F1M|F1M0|)d|MM0|dS，又因为S|F1F2|y1y2|2|y1y2| 2，当且仅当，即m时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2
