1、广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 （广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为（）ABC2D4【答案】A （广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于的不等式的解集叫的邻域.已知的邻域为区间,其中分别为椭圆的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合,则椭圆的方程为（）ABCD【答案】B （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶
2、点的四边形的面积为,则椭圆的方程为 【答案】B （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为（）ABCD【答案】D 双曲线的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则. （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版）设F1,F2是椭圆的左右焦点,若直线x =ma (m1)上存在一点P,使F2PF1是底角为300的等腰三角形,则m的取值范围是（）A1 m 2C1 m 【答案】A （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模）已知双曲线的渐近线方程为,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心
3、率等于（）ABCD1 【答案】A （广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版）方程=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:f(x)在R上单调递减;函数F(x)=4f(x)+3x不存在零点;函数y=f(x)的值域是R;f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】D 二、填空题 （广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_.【答案】 （广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知
4、双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率的值为_ . 【答案】 （广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为_,渐近线方程为_.【答案】 （广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P在抛物线y2=4x 上,那么使得点P到定点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和最小的点P的坐标为_【答案】 （广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线的两条近线的夹角为,则双曲线的离心率为_【答案】 （广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（
5、理）试题（详解）已知点A是抛物线C1:y2=2px(p0)与双曲线C2:的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于_【答案】 （广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线的一个焦点是(),则其渐近线方程为_. 【答案】; （广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点,且经过抛物线的焦点,则圆C的方程为_. 【答案】 或; 易得圆心坐标为,半径为, 故所求圆的方程为【或. 】 （广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系中,若双曲线的焦距为,则
6、_.【答案】(未排除,给3分) （2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线上一点P到焦点的距离是,则点P的横坐标是_. 【答案】 （广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点是双曲线与圆在第一象限的交点,其中分别是双曲线的左、右焦点,若,则双曲线的离心率为_.【答案】; （广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽_米.【答案】 （广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线的右焦点,且平行于经过一、三象
7、限的渐近线的直线方程是 _. 【答案】双曲线的右焦点为,渐近线的方程为,所以所求直线方程为即. 三、解答题（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, .()求动点的轨迹的方程;() 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、 的中点分别为.求证:直线必过定点.【答案】 解:()依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且,是线段的垂直平分线 是点到直线的距离. 点在线段的垂直平分线, 故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为: () 设,直线AB的方程为 则 (1
8、)(2)得,即, 代入方程,解得. 所以点M的坐标为 同理可得:的坐标为. 直线的斜率为,方程为 ,整理得, 显然,不论为何值,均满足方程, 所以直线恒过定点.14 （广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点、,是平面内一动点,直线、的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作直线与轨迹交于、两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有(), - 化简得: (),为所求动点的轨迹的方程- (2)依题意,可设、,则有 , 两式相减,得, 由此得点的轨迹方程为:().- 设直线:(其中),则 ,
9、 - 故由,即, 解得:的取值范围是. - （广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线:,过焦点的动直线交抛物线于、两点,为坐标原点.(1)求证:为定值;(2)设是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点,证明:抛物线在点处的切线与平行.【答案】(1)设直线的方程为:,. - 由得:, - 为定值- (2)由(1)得:点的横坐标为,点的横坐标为- - 平行 另解:设,则, - 设抛物线在点处的切线为 由得: - ,解得: - 平行 （广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆O相切.(1)求椭圆C1的方
10、程;(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于,垂足为点P,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程;(3)设与轴交于点Q,不同的两点R、S在上,且满足,求的取值范围.【答案】解:(1)由直线与圆相切,得,即 由,得,所以, 所以椭圆的方程是 (2)由条件,知,即动点M到定点的距离等于它到直线的距离,由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是 (3)由(2),知,设, 由,得 , ,当且仅当,即时等号成立 又, ,当,即时, 故的取值范围是 （广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆的圆心分别为,为一个动点,且.(1)求动点的轨迹M的方
11、程;(2)是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D,使得?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为和 根据椭圆的定义可知,动点的轨迹为以原点为中心,和为焦点,长轴长为的椭圆, 椭圆的方程为,即动点的轨迹M的方程为 (2)(i)当直线l的斜率不存在时,易知点在椭圆M的外部,直线l与椭圆M无交点,所以直线l不存在. (ii)设直线l斜率存在,设为,则直线l的方程为 由方程组得 依题意解得 当时,设交点,CD的中点为, 方程的解为 ,则 要使,必须,即 ,即 或,无解 所以不存在直线,使得 综上所述,不存在直线l,使得 （广东省深圳市南山区2013
12、届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.【答案】 (2)设,. （广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为的直线与双曲线(,),相交于、两点,且的中点为 (1)求双曲线的离心率;(2)设的右顶点为,右焦点为,证明:过、三点的圆与轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线的方程为 代入双曲线的方程,并化简得: 设,则, 由为的中点知:,故,即 所以,即 故 所以双曲线的离心率为 (注:本题也可用点差法解决) (2)由、知,双曲线
13、的方程为: , 同理 又因为 且 所以 解得:,(舍去) 连结,则由,知,从而,且轴, 因此以为圆心,为半径的圆经过、三点,且在点处与轴相切. 所以过、三点的圆与轴相切 （广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解）已知直线经过椭圆:()的一个顶点和一个焦点.求椭圆的标准方程;设是椭圆上动点,求的取值范围,并求取最小值时点的坐标.【答案】【答案】依题意, 所以, , ,所以椭圆的标准方程为5分. ,当且仅当时, ,当且仅当是直线与椭圆的交点时, ,所以的取值范围是 . 设,由得 , 由 ,解得或 , 所求点为和 . （广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数
14、学（理）试题）在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点.(1)求曲线的轨迹方程;(2)是否存在面积的最大值,若存在,求出的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.()由椭圆定义可知,点的轨迹C是以,为焦点,长半轴长为 的椭圆. 故曲线的方程为 ()存在面积的最大值 因为直线过点,可设直线的方程为 或(舍). 则 整理得 由. 设. 解得 , . 则 . 因为 设,. 则在区间上为增函数. 所以. 所以,当且仅当时取等号,即. 所以的最大值为 （广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）本小题满分14分)如图.已知椭圆的长轴为AB
15、,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点且=1 .(I)求椭圆的标准方程;(II)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PHx轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ.连接AQ并延长交直线l于点M.N为MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.【答案】解:()易知A, B 又 ,解得 ()设则 所以直线AQ方程 又点P的坐标满足椭圆方程得到: ,所以 直线 的方程: 化简整理得到: 即 所以 点 到直线的距离 直线与AB为直径的圆相切. （广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F1,F2分别是椭圆C:的上、下焦点,其中F1
16、也是抛物线C1:的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且.(1)求椭圆C1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k0)与AB相交于点D,与椭圆C1相交于点E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值.【答案】 （广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解）如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解
17、:(1)由椭圆得:, 切线的斜率为:k=,所以,直线l1的方程为:, 与y轴交点纵坐标为:y=-= 因为,所以,所以,当切点在第一、二象限时 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:,则对称性可知 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:. (2)依题意,可得PTM0=90,设存在T(0,t),M0(x0,y0) 由(1)得点P的坐标(,2),由可求得t=1 所以存在点T(0,1)满足条件. （广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆: ()的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂
18、直于点,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程;(3)设O为坐标原点,取上不同于O的点S,以OS为直径作圆与相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标.【答案】解:(1)解:由,得,再由,解得 由题意可知,即 解方程组得 所以椭圆C1的方程是 (2)因为,所以动点到定直线的距离等于它到定点(1,0)的距离,所以动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线, 所以点的轨迹的方程为 (3)因为以为直径的圆与相交于点,所以ORS = 90,即 设S (,),R(,),=(-,-),=(,) 所以 因为,化简得 所以, 当且仅当即=16,y2=4时等号成立 圆的直径|OS|= 因为64,所以当=64
19、即=8时, 所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,8) （广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）如图(6),设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为.(1)求椭圆的方程;(2)若动直线均与椭圆相切,且,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)设,则有, 由最小值为得, 椭圆的方程为 (2)当直线斜率存在时,设其方程为 把的方程代入椭圆方程得 直线与椭圆相切,化简得 同理, ,若,则重合,不合题意, 设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则 ,即,- 把代入并去绝对值整
20、理, 或者 前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则,解得;- 当直线斜率不存在时,其方程为和, 定点到直线的距离之积为; 定点到直线的距离之积为; 综上所述,满足题意的定点为或 （广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为.求椭圆的方程;设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:设椭圆的方程为, 椭圆的离心率,右焦点为, , , , 故椭圆的方程为 假设椭圆上是存在点(),使得向量与共线, , ,即,(1) 又点()在椭圆上, (2) 由、组成方程组解得,或
21、, ,或, 当点的坐标为时,直线的方程为, 当点的坐标为时,直线的方程为, 故直线的方程为或 （广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D(0,)为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C的一个焦点与D关于直线y=x对称.()求双曲线C的方程;()设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过M(-2,0)及AB的中点,求直线在y轴上的截距b的取值范围; ()若Q是双曲线C上的任一点,F1F2为双曲线C的左,右两个焦点,从F1引F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方
22、程.【答案】解:()设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0 该直线与圆x2+(y-)2=1相切,有= 1 k =1. 双曲线C的两条渐近线方程为y=x, 故设双曲线C的方程为 . 易求得双曲线C的一个焦点为 (,0),2a2=2,a2=1. 双曲线C的方程为x2-y2=1. ()由 得(1-m2)x2-2mx-2=0. 令f(x)= (1-m2)x2-2mx-2 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在(-,0)上有两个不等实根. 因此 解得1m. 又AB中点为(,), 直线l的方程为y=(x+2). 令x=0,得b=. 1m0,得且. 设为点到直线的距离,则, 所以的取值
23、范围为 （广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版）经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为.点、在轨迹上,且关于轴对称,过线段(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹在点处的切线平行,设直线与轨迹交于点、.(1)求轨迹的方程;(2)证明:;(3)若点到直线的距离等于,且的面积为20,求直线的方程.【答案】(本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 解:(1)方法1:设动圆圆心为,依题意得, 整理,得.所以轨迹的方程为 方法2:设动圆圆心为,依题意得点到定点的距离和点到定直线的
24、距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线 且其中定点为焦点,定直线为准线. 所以动圆圆心的轨迹的方程为 (2)由(1)得,即,则. 设点,由导数的几何意义知,直线的斜率为 ABCDOxylE由题意知点.设点, 则,即 因为, 由于,即 所以 (3)方法1:由点到的距离等于,可知 不妨设点在上方(如图),即,直线的方程为:. 由 解得点的坐标为 所以. 由(2)知,同理可得 所以的面积, 解得 当时,点的坐标为, 直线的方程为,即 当时,点的坐标为, 直线的方程为,即 方法2:由点到的距离等于,可知 由(2)知,所以,即. 由(2)知,. 所以. 即. 由(2)知. 不妨设点在上方(
25、如图),即,由、解得 因为, 同理 以下同方法1. （广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设椭圆的左右顶点分别为,离心率.过该椭圆上任一点作轴,垂足为,点在的延长线上,且.(1)求椭圆的方程; (2)求动点的轨迹的方程;(3)设直线(点不同于)与直线交于点,为线段的中点,试判断直线与曲线的位置关系,并证明你的结论.【答案】解析:(1)由题意可得, - , 所以椭圆的方程为 (2)设,由题意得,即, 又,代入得,即. 即动点的轨迹的方程为 (3)设,点的坐标为, 三点共线, 而,则, , 点的坐标为,点的坐标为, 直线的斜率为, 而, , 直线的方程为,化简得, 圆心到直线的距离, 所以直线与圆相切