1、广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（2）一、选择题 （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模）由曲线与直线所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是（）A1BCD 【答案】D （广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图所示,图中曲线方程为,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是【答案】C （广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版）曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为（）Ay=2x+2By=2x-2Cy=x-1Cy=x+1【答案】C
2、（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将边长为的等边三角形沿轴滚动,某时刻与坐标原点重合(如图),设顶点的轨迹方程是,关于函数的有下列说法:OyxPBA第8题图的值域为;是周期函数;.其中正确的说法个数为:（）A0BCD 【答案】C （广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD版）已知函数的图象如图1所示,则其导函数的图象可能是xyO图1yxOAxOBxOCxODyyy 【答案】A 二、填空题 （广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）计算 _. 【答案】; （广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题
3、）在平面直角坐标系中,直线()与抛物线所围成的封闭图形的面积为,则_.【答案】 （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）不等式的解集为,计算定积分_.【答案】 （广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）若直线是曲线的切线,则实数的值为_. 【答案】 分析:设切点为 ,由得, 故切线方程为,整理得, 与比较得,解得,故 （广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）d_.【答案】 （广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）_.【答案】解析:. （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版）曲线y= x
4、3-x + 3在点(1,3)处的切线方程为_【答案】 （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模）若直线与曲线相切,则_.【答案】 （广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）计算 = _. 【答案】. 三、解答题（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）已知函数,函数的图象在点处的切线平行于轴.(1)确定与的关系;(2)试讨论函数的单调性; (3)证明:对任意,都有成立.【答案】解:(1)依题意得,则 由函数的图象在点处的切线平行于轴得: (2)由(1)得 函数的定义域为 当时,在上恒成立, 由得,由得, 即函数在(0,1
5、)上单调递增,在单调递减; 当时,令得或, 若,即时,由得或,由得, 即函数在,上单调递增,在单调递减; 若,即时,由得或,由得, 即函数在,上单调递增,在单调递减; 若,即时,在上恒有, 即函数在上单调递增, 综上得:当时,函数在(0,1)上单调递增,在单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增; 当时,函数在上单调递增, 当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增. (3)证法一:由(2)知当时,函数在单调递增,即, 令,则, 即 【证法二:构造数列,使其前项和, 则当时, 显然也满足该式, 故只需证 令,即证,记, 则, 在上单调递增,故, 成立, 即 】 【证法三
6、:令, 则 令则, 记 函数在单调递增, 又即, 数列单调递增,又, 】 （广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知(,是常数),若对曲线上任意一点处的切线,恒成立,求的取值范围.江门市2013年高考模拟考【答案】解:依题意, ,曲线在点处的切线为 , 即,所以 直接计算得 , 直接计算得等价于 记,则 若,则由,得 ,且当时,当时, ,所以在处取得极小值,从而也是最小值,即,从而恒成立 . 若,取,则且当时,单调递增 ,所以当时,与恒成立矛盾,所以 ,从而的取值范围为 （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分分)已知函数在处取得极值.
7、(1)求实数的值;(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.【答案】(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、分类讨论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解:(1) 时,取得极值, 故解得经检验符合题意 (2)由知 由,得 令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根 当时,于是在上单调递增; 当时,于是在上单调递减 依题意有, 解得, (3) 的定义域为,由(1)知, 令得,或(舍去), 当时, ,单调递增; 当时, ,
8、单调递减. 为在上的最大值. ,故(当且仅当时,等号成立) 对任意正整数,取 得, . 故. （广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知二次函数,关于的不等式的解集为,其中为非零常数.设.(1)求的值;(2)R如何取值时,函数存在极值点,并求出极值点;(3)若,且,求证:N.【答案】(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:关于的不等式的解集为, 即不等式的解集为, . . . (2)
9、解法1:由(1)得. 的定义域为. 方程(*)的判别式 当时,方程(*)的两个实根为 则时,;时,. 函数在上单调递减,在上单调递增. 函数有极小值点 当时,由,得或, 若,则 故时, 函数在上单调递增. 函数没有极值点 若时, 则时,;时,;时,. 函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. 函数有极小值点,有极大值点 综上所述, 当时,取任意实数, 函数有极小值点; 当时,函数有极小值点,有极大值点 (其中, ) 解法2:由(1)得. 的定义域为. 若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点,且 至少有一个零点在上 令, 得, (*) 则,(*) 方程(*)的两个实根为, . 设, 若
10、,则,得,此时,取任意实数, (*)成立. 则时,;时,. 函数在上单调递减,在上单调递增. 函数有极小值点 若,则得 又由(*)解得或, 故. 则时,;时,;时,. 函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. 函数有极小值点,有极大值点 综上所述, 当时,取任何实数, 函数有极小值点; 当时,函数有极小值点,有极大值点 (其中, ) (2)证法1:, . 令, 则 . , ,即 证法2:下面用数学归纳法证明不等式. 当时,左边,右边,不等式成立; 假设当N时,不等式成立,即, 则 也就是说,当时,不等式也成立. 由可得,对N,都成立 （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学
11、（理）试题）二次函数满足,且最小值是.(1)求的解析式;(2)设常数,求直线:与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是; (3)已知,求证:.【答案】解:(1)由二次函数满足.设, 则 又的最小值是,故.解得. ; (2)依题意,由,得,或.() 由定积分的几何意义知 (3)的最小值为,故, ,故 , , （2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）设,其中是常数,且.(1)求函数的极值;(2)证明:对任意正数,存在正数,使不等式成立;(3)设,且,证明:对任意正数都有:.【答案】解析:(1), 由得, ,即,解得, 故当时,;当时,; 当时,取极大值,但没有极小值 (2
12、), 又当时,令,则, 故, 因此原不等式化为,即, 令,则, 由得:,解得, 当时,;当时,. 故当时,取最小值, 令,则. 故,即. 因此,存在正数,使原不等式成立 (3)对任意正数,存在实数使, 则, 原不等式, 由(1)恒成立, 故, 取, 即得, 即,故所证不等式成立 （广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知函数在处存在极值.(1)求实数的值;(2)函数的图像上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在轴上,求实数的取值范围;(3)当时,讨论关于的方程的实根的个数.【答案】解(1)当时,. 因为函数f(x)在处存在极值,所以解得. (2) 由
13、(1)得 根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设. 若,则, 由是直角得,即, 即.此时无解; 若,则. 由于AB的中点在轴上,且是直角,所以B点不可能在轴上,即. 由,即=0,即. 因为函数在上的值域是, 所以实数的取值范围是. (3)由方程,知,可知0一定是方程的根, 所以仅就时进行研究:方程等价于 构造函数 对于部分,函数的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当时取得最大值,其值域是; 对于部分,函数,由,知函数在上单调递增. 所以,当或时,方程有两个实根; 当时,方程有三个实根; 当时,方程有四个实根. （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版）已知a2,
14、 .(注:e是自然对数的底)(1)求f(x)的单调区间;(2)若存在x1e,e2,使得对任意的x22,0,f(x1)0. 所以 当,即-ab2a,则. (i) 当-ab时,则00. 所以 (ii) 当b2a时,则0,即a2+b2-0,即. 所以 综上所述:当0x1时,| （广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知函数.(1)若对于定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围;(2)设有两个极值点,且,证明:;(3)设对于任意的,总存在,使不等式 成立,求实数的取值范围.【答案】解析: ()由题意:, 分离参数可得: 设,则 由于函数,在区间上都是增函数,所以 函数在
15、区间上也是增函数,显然时,该函数值为0 所以当时,当时, 所以函数在上是减函数,在上是增函数 所以,所以即 ()由题意知道:,且 所以方程有两个不相等的实数根,且, 又因为所以,且 而 , 设,则 所以,即 () 所以 因为,所以 所以当时,是增函数,所以当时, , 所以,要满足题意就需要满足下面的条件: ,令, 即对任意,恒成立 因为 分类讨论如下: (1)若,则,所以在递减, 此时不符合题意 (2)若,则,所以在递减, 此时不符合题意. (3)若,则,那么当时,假设为2与中较小的一个数,即,则在区间上递减,此时不符合题意. 综上可得解得,即实数的取值范围为 （广东省茂名市2013届高三4月
16、第二次高考模拟数学理试题（WORD版）已知函数.(1)若存在极值点,求实数b的取值范围;(3)当b=0时,令.P(),Q()为曲线y=上的两动点,O为坐标原点,请完成下面两个问题:能否使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上?请说明理由.当1时,若存在,使得曲线y=F(x)在x=x0处的切线lPQ,求证:【答案】 （广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设函数在上的最大值为().(1)求的值;(2)求数列的通项公式; (3)证明:对任意(),都有成立.【答案】解:(1)解法1: 当时, 当时,即函数在上单调递减, , 当时, 当时,即函数在上单调递减, 【
17、解法2:当时,则 当时,即函数在上单调递减, 当时,则 当时,即函数在上单调递减,】 (2)令得或,当时,且当时,当时, 故在处取得最大值,即当时,-() 当时()仍然成立, 综上得 (3)当时,要证,只需证明 对任意(),都有成立 （广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版）已知函数在处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值;(3)数列满足,求的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考【答案】解: (1) , 依题设,有,即, 解得 (2)方程,即,得, 记, 则 令,得 当变化时,、的变化情况如下表: 当时,F(x)取极小值;当时,F(x)取极大值 作出直线和函数的大致图象,可知当或时, 它们有两个不同的交点,因此方程恰有两个不同的实根, (3) ,得,又. , 由,得, ,即 又 即,故的整数部分为. l4分