1、广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编7：立体几何（2）一、选择题 （广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底 面的中心)P-ABCD的底面边长为6cm,侧棱长为 5cm,则它的侧视图的周长等于（）A17cmBC16cmD14cm【答案】D （广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）设O是空间一点,a,b,c是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是（）A当ab=O且a,b时,若ca,cb,则c B当ab=O且a,b时,若a,b,则 C当b时,若b,则
2、 D当b时,且c时,若c,则bc【答案】C （广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a=（）ABCD【答案】C （广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是 【答案】C （广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: )则该组合体的体积为.（）A72000B64000 C56000D44000 图(1) 【答案】B由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成,故其体积,
3、故选B （广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）右图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为3334正视图侧视图俯视图（）A72B36C24D12【答案】D （广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）若平面,满足,=l,P,Pl,则下列命题中是假命题的为（）A过点P垂直于平面的直线平行于平面 B过点P垂直于直线l的直线在平面内 C过点P垂直于平面的直线在平面内 D过点P在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面【答案】解:对于A,由于过点P垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线,因此平行于平面,因此A正确.根据面面垂直的性质定理知,选
4、项CD正确. 选B （广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）已知四棱锥的三视图如图1所示,则四棱锥的四个侧面中面积最大的是（）ABCD【答案】C 分析:三棱锥如图所示, , , （广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是（）ABCD【答案】A （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）对于平面和共面的两直线、,下列命题中是真命题的为（）A若,则B若,则 C若,则D若、与所成的角相等,则【答案】C 考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断. （2013年广东省佛山市普通高中高
5、三教学质量检测（一）数学（理）试题）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为22131正视图侧视图俯视图第4题图（）A9B10C11D【答案】C （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版）某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a + b的最大值为（）ABC4D【答案】C （广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为12+,则正视图与侧视图中x的值为 . . . .【答案
6、】C 二、填空题（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解）某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为3,则正视图中的x=_【答案】3 （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_. 1正视图俯视图2110.50.521侧视图图2 【答案】 （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的体积为_.主视图俯视图2左视图【答案】.由左视图知正三棱柱的高,设正三棱柱的底面边长,则,故,底面积,故. （广东省肇庆市2013届高三4月第
7、二次模拟数学（理）试题）图2是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接触面积可忽略不计)_【答案】解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为 （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模）某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是_(结果保留)【答案】 三、解答题（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量,点H在AD上,且(I):EF/平面PAD.(II
8、)若PH=,AD=2, AB=2, CD=2AB,(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值. (2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.【答案】() 取PA的中点Q,连结EQ、DQ, 则E是PB的中点, ,四边形EQDF为平行四边形, , ()解法一:证明: , PHAD, 又 AB平面PAD,平面PAD,ABPH, 又 PHAD=H, PH平面ABCD; - 连结AE 又且 由()知 , 又 在 又 (2)延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线. 因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点,所以DM=4, 在中:, , 又因为,所以
9、即为所求的二面角的平面角. 所以在中: 解法二:(向量法)(1)由()可得 又 在平面ABCD内过点,以H为原点,以正方向建立空间直角坐标系 设平面PAB的一个法向量为 , 得y=0 令 得x=3 设直线AF与平面PAB所成的角为 则 (9分 ) (2) 显然向量为平面PAD的一个法向量,且 设平面PBC的一个法向量为, , 由得到 由得到,令,则 所以, 所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为(14分 ) （广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）(本小腼溯分14分)在三棱锥P-ABC中.侧梭长均为4.底边AC=4. AB=2,BC=2,D. E分别为PC.
10、 BC的中点.I)求证:平面PAC平面ABC. (II)求三棱锥P-ABC的体积;(III)求二面角C-AD-E的余弦值.【答案】证明:()因为, 取的中点,连接,易得:, , . . 又 平面,又 注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得分为0分,而利用结论的后续证明只要正确,可以相应步骤得分) () (注意:该步骤只要计算出错,就0分) ()方法一:过点E 作于H,过点H作于M, 连接,因为平面平面,平面平面=, ,平面,所以平面, (三垂线定理)(注意:也可以证明线面垂直) 即为所求的二面角的平面角 分别为中点, 在中: , 在中, 所以,中, 所
11、以 zxyMHOMH 方法二:以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 , , , 所以,可以设平面的一个法向量为, 平面的一个法向量为, ,所以令,则, 所以,可以设所求的二面角为,显然为锐角 由可得: （广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E,F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF平面PEC; (2)求二面角P-EC-D的余弦值;(3)求点B到平面PEC的距离.【答案】 （广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解）如图,矩形ABCD中,AB=
12、2BC=4,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成A1DE.(1)当平面A1DE平面BCD时,求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值;(2)设M为线段A1C的中点,求证:在ADE翻转过程中,BM的长度为定值.【答案】解:(1)过A1作A1FDE,由已知可得A1F平面BCD,且F为DE中点,以D为原点,DC、DA所在直线为y,x轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),C(0,4,0),E(2,2,0),A1(1,1,) 求得平面CEA1的一个法向量为m=(1,1,) =(0,4,0),m=|m|cos,得cos= 所以,直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为. (2)取A1D中点G,连结
13、MG,EG,由MGEB,且MG=EB,可得BMGE为平行四边形,所以,BM=EG,而三角形ADE中,EG的长度为定值,所以,BM的长度为定值. （广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,为矩形,为梯形,平面平面,.(1)若为中点,求证:平面;(2)求平面与所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明:连结,交与,连结, 中,分别为两腰的中点 因为面,又面,所以平面 (2)解法一:设平面与所成锐二面角的大小为,以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则 设平面的单位法向量为,则可设 设面的法向量,应有 即: 解得:,所以 所以平面与所成锐二面角为60 解法二:
14、延长CB、DA相交于G,连接PG,过点D作DHPG ,垂足为H,连结HC 矩形PDCE中PDDC,而ADDC,PDAD=D CD平面PAD CDPG,又CDDH=D PG平面CDH,从而PGHC DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 在中, 可以计算 在中, 所以平面与所成锐二面角为60 （广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析）如图(4),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,现将梯形沿CB、DA折起,使且,得一简单组合体如图(5)示,已知分别为的中点.(1)求证:平面; (2)求证: ;(3)当多长时,平面与平面所成的锐二面角为? 图(4)
15、 图(5)【答案】(1)证明:连,四边形是矩形,为中点, 为中点, 在中,为中点,故 平面,平面,平面; (其它证法,请参照给分) (2)依题意知 且 平面 平面, 为中点, 结合,知四边形是平行四边形 , 而, ,即 又 平面, 平面, (3)解法一:如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系 设,则 易知平面的一个法向量为, 设平面的一个法向量为,则 故,即 令,则,故 , 依题意, 即时,平面与平面所成的锐二面角为 【解法二:过点A作交DE于M点,连结PM,则 为二面角A-DE-F的平面角, 由=600,AP=BF=2得AM, 又得, 解得,即时,平面与平面所成的锐二面角为 】 （广东
16、省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）如图,在三棱锥V-ABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中点,且AC=BC=a,VDC=q (0q ) ()求证:平面VAB平面VCD;()当角q 变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.VBCDA【答案】解法1: ()AC=BC=a, ACB是等腰三角形, 又D是AB的中点, CDAB,又VC底面ABC. VCAB.因VC,CD 平面VCD, AB平面VCD.又AB 平面VAB, ADBCHV 平面VAB平面VCD. () 过点C在平面VCD内作CHVD于H, 则由()知CH平面VAB. 连接BH,BH
17、是CB在平面VAB上的射影,于是 CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.在RtCHD中,CH=asinq; 设CBH=j,在RtBHC中,CH=asinj, sinq= sinj , 0q , 0sinq 1,0sinj . 又0j ,0w . 即直线与平面所成角的取值范围为(0, ). 解法2:()以CA, CB, CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), D(,0),V(0,0,atanq ), 于是,=(,-atanq),=(,0),=(-a,a,0). 从而=(-a,a,0)(,0)=- a2+
18、a2+0=0,即, ABCD. 同理=(-a,a,0)(,-atanq)=-a2+a2+0=0,即, ABVD.又CDVD=D,AB平面VCD.又AB 平面VAB. 平面VAB平面VCD. ()设直线BC与平面VAB所成的角为j ,平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z), ADBCVxyz 则由n=0, n=0. 得 可取n=(1,1, ),又=(0,-a,0), 于是sinj =| |= sinq , 0q ,0sinq 1,0sinj . 又0j ,0j . 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0, ). （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满
19、分分)如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,点分别为和的中点.(1)证明:; (2)证明:平面;(3)求二面角的正弦值.图6【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 :证明(1)证法一:由题设知, 又 平面,平面, 平面, 平面 又四边形为正方形,为的中点, ,平面,平面 平面 又平面 证法二:(向量法) 以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示 于是, (2)证法一: 连接 由题意知,点分别为和的中点, . 又平面,平面, 平面 证法二:取中点,连,而 分别为与的中
20、点, 平面,平面 平面, 同理可证平面 又 平面平面 平面, 平面 证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是 , 平面 向量是平面的一个法向量 又平面 平面 (3)解法一:以点为坐标原点,分别以直线 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 于是 , 由(1)知是平面的一个法向量, 设平面的法向量为, 设向量和向量的夹角为,则 二面角的的正弦值为 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,都在同一平面上. 易证, 平面,平面, ,又 平面. 取中点,连, 分别是的中点 , 平面, 且为垂足,即平面,过点作于,
21、过作交于,连, 则即是所求二面角的补角 在中, , 在中, 又 在 中, = 所求二面角的正弦值为 （广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图4,已知四棱锥,底面是正方形,面,点是的中点,点是的中点,连接,.(1) 求证:面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) (1)证法1:取的中点,连接, 点是的中点, 点是的中点,底面是正方形, . 四边形是平行四边形. 平面,平面, 面 证法2:连接并延长交的延长线于点,连接, 点是的中点, , 点是的中点 点
22、是的中点, 面,平面, 面. 证法3:取的中点,连接, 点是的中点,点是的中点, ,. 面,平面, 面 面,平面, 面 ,平面,平面, 平面面 平面, 面 (2)解法1:,面, 面 面, 过作,垂足为,连接, ,面,面, 面 面, 是二面角的平面角 在Rt中,得, 在Rt中,得, 在Rt中, 二面角的余弦值为 解法2:,面, 面. 在Rt中,得, 以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴, 建立空间直角坐标系, 则. , 设平面的法向量为, 由, 得 令,得,. 是平面的一个法向量 又是平面的一个法向量, 二面角的余弦值为 （广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数
23、学（理）试题）如图4,在三棱柱中,是边长为的等边三角形,平面,分别是,的中点. (1)求证:平面;(2)若为上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,求平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值.【答案】(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长交的延长线于点,连接. ,且, 为的中点 为的中点, . 平面,平面, 平面 (2)解:平面,平面, 是边长为的等边三角形,是的中点, ,. 平面,平面, 平面 为与平面所成的角 , 在Rt中, 当最短时,的值最大,则最大
24、 当时,最大. 此时,. ,平面, 平面 平面,平面, ,. 为平面 与平面所成二面角(锐角). 在Rt中, 平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值为 解法二: (1)证明:取的中点,连接、. 为的中点, ,且 ,且, , 四边形是平行四边形. 平面,平面, 平面. (苏元高考吧:) (2)解:平面,平面, 是边长为的等边三角形,是的中点, ,. 平面,平面, 平面 为与平面所成的角 , 在Rt中, 当最短时,的值最大,则最大 当时,最大. 此时,. 在Rt中,. RtRt, ,即. 以为原点,与垂直的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴, 建立空间直角坐标系. 则,. ,. 设平面的法向
25、量为, 由, 得 (苏元高考吧:) 令,则. 平面的一个法向量为 平面, 是平面的一个法向量. 平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值为 （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知梯形中,、分别是、上的点,.沿将梯形翻折,使平面平面(如图).是的中点,以、为顶点的三棱锥的体积记为.(1)当时,求证: ; (2)求的最大值;(3)当取得最大值时,求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(法一)(1)证明:作,垂足,连结, 平面平面,交线,平面, 平面,又平面,故, ,. 四边形为正方形,故. 又、平面,且,故平面. 又平面,故. (2)解:,平面平面,交线,平面. 面
26、.又由(1)平面,故, 四边形是矩形,故以、为顶点的三棱 锥 的高, 又. 三棱锥的体积 . 当时,有最大值为. (3)解:由(2)知当取得最大值时,故, 由(2)知,故是异面直线与所成的角. 在中, 由平面,平面,故 在中 , . 异面直线与所成的角的余弦值为. 法二:(1)证明:平面平面,交线,平面,故平面,又、平面, ,又,取、分别为轴、 轴、轴,建立空间坐标系,如图所示. 当时,又,. ,. , . ,即; (2)解:同法一; (3)解:异面直线与所成的角等于或其补角. 又, 故 ,故异面直线与所成的角的余弦值为. （2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）
27、如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且.点在圆所在平面上的正投影为点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.PABDCO第18题图【答案】解析:()法1:连接,由知,点为的中点, PABDCO又为圆的直径, 由知, , 为等边三角形,从而 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, (注:证明平面时,也可以由平面平面得到,酌情给分.) 法2:为圆的直径, 在中设,由,得, ,则, ,即 点在圆所在平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, 法3:为圆的直径, 在中由得, 设,由得, 由余弦定理得, ,即 点在圆所在
28、平面上的正投影为点, 平面,又平面, , 由得,平面, 又平面, PABDCOE()法1:(综合法)过点作,垂足为,连接 由(1)知平面,又平面, ,又, 平面,又平面, , 为二面角的平面角 由()可知, (注:在第()问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ,则, 在中, ,即二面角的余弦值为 法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系. PABDCOyzx (注:如果第()问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明,酌情给分.) 设,由,得, , , 由平面,知平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为,则 ,即,令,则, , 设二
29、面角的平面角的大小为, 则, 二面角的余弦值为 （广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图,在直角梯形中,已知,.将沿对角线折起(图),记折起后点的位置为且使平面平面.(1)求三棱锥的体积;(2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小.【答案】解:(1)平面平面, 平面,平面平面, 平面, 即是三棱锥的高, 又, , , , 三棱锥的体积. (2)方法一: 平面,平面, 又,平面, 平面, , ,即 由已知可知, ,平面 平面,平面平面 所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 方法二: 过E作直线,交BC于G,则, 如图建立空间直角坐标系,则, , 设平面的法向量为, 则
30、,即化简得 令,得,所以是平面的一个法向量. 同理可得平面PCD的一个法向量为 设向量和所成角为,则 平面与平面所成二面角的平面角的大小为. （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版）如图,在长方体ABCD一A1B1C1D1中,AA1=2, AD = 3, E为CD中点,三棱 锥A1-AB1E的体积是6.(1)设P是棱BB1的中点,证明:CP/平面AEB1;(2)求AB的长;(3)求二面角BAB1-E的余弦值.【答案】 （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模）如图6,已知四边形是矩形,三角形是正三角形,且平面平面.(1)若是的中点,证
31、明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】 （广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图甲,在平面四边形ABCD中,已知,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.(1)求证:DC平面ABC; (2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;(3)求二面角B-EF-A的余弦值. 【答案】证明:在图甲中且 (1) , 即 在图乙中,平面ABD平面BDC , 且平面ABD平面BDC=BD AB底面BDC,ABCD 又,DCBC,且 DC平面ABC (2)解法1:E、F分别为AC、AD的中点 EF/CD,又由(1)知,DC平面ABC,
32、EF平面ABC,垂足为点E FBE是BF与平面ABC所成的角 在图甲中, , 设则, 在RtFEB中, 即BF与平面ABC所成角的正弦值为 解法2:如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示, 设,则, 可得, , , 设BF与平面ABC所成的角为 由(1)知DC平面ABC (3)由(2)知 FE平面ABC, 又BE平面ABC,AE平面ABC,FEBE,FEAE, AEB为二面角B-EF-A的平面角 在AEB中, 即所求二面角B-EF-A的余弦为 （广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图,在梯形中,平面平面,四边形是矩形,点在线段上
33、.(1)求证:平面;(2)当为何值时,平面?证明你的结论;(3)求二面角的余弦值.【答案】证明:()在梯形ABCD中, 四边形ABCD是等腰梯形, 且 , 又平面平面ABCD,交线为AC,平面ACFE. ()当时,平面BDF. 现在证明如下: 在梯形ABCD中,设,连结FN,则 而,MFAN, 四边形ANFM是平行四边形. 又平面BDF,平面BDF. 平面BDF. ()方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH, 容易证得DE=DF, 平面ACFE, 又, 又, 是二面角BEFD的平面角. 在BDE中, 又在DGH中, 由余弦定理得即二面角BEFD的平面角余弦值为 方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系: , 所以, 分别设平面BEF与平面DEF的法向量为, 所以,令,则 又显然,令 所以,设二面角的平面角为为锐角 所以