1、第五章计数原理3组合问题第2课时组合(二)课后篇巩固提升合格考达标练1.C41+C52+C2017等于()A.C2117B.C2117-1C.C2118-1D.C2118答案B解析原式=(C40+C41)+C52+C2017-1=(C51+C52)+C2017-1=(C62+C63)+C2017-1=C2016+C2017-1=C2117-1.2.在平面直角坐标系xOy上,平行直线x=m(m=0,1,2,3,4),与平行直线y=n(n=0,1,2,3,4)组成的图形中,矩形共有()A.25个B.100个C.36个D.200个答案B解析C52C52=1010=100,故选B.3.某班级要从4名男
2、生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为()A.14B.24C.28D.48答案A解析6人中选4人的方案有C64=15(种),没有女生的方案只有一种,所以满足要求的方案总数有14种.4.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为()A.210B.126C.70D.35答案C解析从7种中取出3种有C73=35种取法,比如选出a,b,c3种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种改变方法,故不同的改变方法有235=70种.5.将2名教师、4名学生分
3、成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有种.答案12解析将4名学生均分为两个小组,共有C42C22A22=3种分法;将两个小组的同学分给两名教师,共有A22=2种分法;最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地,有A22=2种分法.故不同的安排方案共有322=12(种).6.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有种.答案4 186解析分两类,有4件次品的抽法为C44C461种;有3件次品的抽法有C43C462种,所以共有C44C461+C43C462=4186种不同的抽法.7.5名乒乓球队员中,有2名老队
4、员和3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有种.答案48解析两老一新时,有C31C21A22=12种排法;两新一老时,有C21C32A33=36种排法.故共有48种排法.8.8人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,问这3人不同时排在一起的排法有多少种?解先排甲、乙、丙以外的5人有A55种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的5人的6个间隔中有C61A32种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有C51种排法,由分步乘法计数原理知,共有A55C61A32C51=21600种排法.等级
5、考提升练9.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有()A.60种B.20种C.10种D.8种答案C解析4盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯,即C53=10(种).10.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有()A.16种B.36种C.42种D.60种答案D解析若选择了2个城市,则有C42C32A22=36种投资方案;若选择了3个城市,则有C43A33=24种投资方案,因此共有36+24=60种投资方案.11.近年来,中小学校车安全问题引起社会的广泛关注,为了
6、彻底消除校车安全隐患,某市购进了50辆完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2辆,则不同的发放方案种数为()A.C419B.C389C.C409D.C399答案D解析首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为C399.12.假如某大学给某市三所重点中学7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A.30B.21C.10D.15答案D解析用“隔板法”.在7个名额中间的6个
7、空位上选2个位置加2个隔板,有C62=15(种).13.(多选题)将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种?下列结论正确的有()A.C31C21C11C31B.C42A33C.C31C42A22D.18答案BC解析(方法一)先将4人分三组,有C42种分组方法,再将分好的三组全排列,对应三个兴趣小组,有A33种情况,则有C42A33种分配方法,B正确;(方法二)在3个小组中选出1个,安排2个同学,有C31C42种情况,再将剩下的2人全排列,对应剩下的2个兴趣小组,有A22种情况,则有C31C42A22种分配方法,C正确.14.从1,3
8、,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数(用数字作答).答案1 260解析若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为C52C32A44;若取的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为C52C31C31A33.综上,一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C52C32A44+C52C31C31A33=720+540=1260(个).15.对于所有满足1mn5的自然数m,n,方程x2+Cnmy2=1所表示的不同椭圆的个数为.答案6解析因为1mn5,且方程表示椭圆,所以Cnm可能为C21,C31,C32,C41,C42,C43,C51
9、,C52,C53,C54,其中C31=C32,C41=C43,C51=C54,C52=C53,所以x2+Cnmy2=1能表示的不同椭圆有6个.16.7名男生和5名女生选取5人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种?(1)A,B必须当选;(2)A,B必不当选;(3)A,B不全当选;(4)至少有2名女生当选;(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作,但体育委员必须由男生担任,班长必须由女生担任.解(1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中选取3人即可,有C103=120(种).(2)从除去的A,B两人的10人中选5人即可,有C105=252(种).(3)全部选法有C1
10、25种,A,B全当选有C103种,故A,B不全当选有C125-C103=672(种).(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生,故可用间接法进行,有C125-C51C74-C75=596种选法.(5)分三步进行:第一步:选1男1女分别担任两个职务为C71C51(种);第二步:选2男1女补足5人有C62C41种;第三步:为这3人安排工作有A33(种).由分步乘法计数原理知共有C71C51C62C41A33=12600种选法.新情境创新练17.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类.第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有C42=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有C41=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有C40=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.