1、第二章数列2.5等比数列的前n项和2.5等比数列的前n项和(第2课时)学习目标掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题.通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会“错位相减法”以及分类讨论的思想方法.通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值,发展数学的理性思维.合作学习一、设计问题,创设情境复习引入:1.等比数列的通项公式;2.等比数列的前n项和公式.3.类比等差数列的前n项和,等比数列的前n项和会有怎样的性质?已知数列an是等差数列,Sn是其前n项和.可以证明若kN*,Sk,S2k-Sk,成等差数列.那么等比数列是否有类似的性质?二、
2、信息交流,揭示规律1.等比数列的通项公式和前n项和公式这两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,q,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量就可以求另外的两个量,即“知三求二”.把公式看成方程,两个公式对应两个方程,可以解决两个未知数.2.已知数列an是等比数列,Sn是其前n项和.可以证明:kN*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列.Sk=a1+a2+a3+ak=a1(1+q+q2+qk-1),S2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+a2k=ak+1(1+q+q2+qk-1),S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+a3k=a2k+1(1+q+q2+qk-
3、1),S3k-S2kS2k-Sk=S2k-SkSk=.三、运用规律,解决问题【例1】在等比数列an中,已知a1=2,S3=26,求q和Sn.【例2】在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.【例3】已知Sn是数列an的前n项和,Sn=pn(pR,nN*),判断an是否为等比数列?四、变式训练,深化提高等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求an的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.an=a1qn-12.Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q1)3.S3k-S2k二、信息交流,揭
4、示规律2.qk三、运用规律,解决问题【例1】解:因为S3=26,a1+a2+a3=26,所以a1(1+q+q2)=26,即2(1+q+q2)=26,于是得q2+q-12=0,解得q=-4,或q=3,当q=-4时,Sn=21-(-4)n1-(-4)=25-25(-4)n,当q=3时,Sn=2(1-3n)1-3=3n-1.【例2】解:由性质知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.所以122=48(S3n-60),解得S3n=63.【例3】解:由Sn=pn(nN*),有a1=S1=p.当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1,故a2=(p-1)p,因此数列an成等比数列p0,p-10,(p-1)pn-1(p-2)pn-2=p(p-1)p.但满足此条件的实数p是不存在的,所以数列an不是等比数列.四、变式训练,深化提高解:(1)由题意,有S1+S2=2S3,即a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).又已知a10,q0,解得q=-12.(2)由已知得a1-a1-122=3,解得a1=4.从而Sn=41-12n1-12=831-12n.五、反思小结,观点提炼略
