1、上海市进才中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.已知集合，且，则实数的值为_【答案】或0【解析】分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性,即可得到答案.【详解】若则或当时，符合元素的互异性；当时，不符合元素的互异性，舍去若则或当时，符合元素的互异性；当时，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0.【点睛】本题考查元素与集合的关系，集合元素的互异性是关键点，属基础题.2.已知集合，集合或，求_【答案】【解析】【分析】根据集合的并集定义,即可求得【详解】由集合，集合或所以或故答案为：【点睛】本题考查了集合的并集运算,掌握并集的概
2、念是解本题关键，属于基础题.3.“”是“”的_条件【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】时一定能得出，故是充分的，但时不一定有，因此是不必要的、所以就是充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分条件、必要条件的定义是解题关键4.已知集合，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用空集求参数，考查计算能力，属于基础题.5.设是半径为的球的直径，则两点的球面距离是_【答案】【解析】【分析】由球面距离定义计算【详解】
3、是半径为的球的直径，则两点所对的球心角为，球面距离为故答案为：【点睛】本题考查球面距离，解题关键是求出球面上两点所对的球心角6.若从总体中抽出以下6个数据组成样本：9，5，9，8，7，6，则该样本的中位数为_【答案】7.5【解析】【分析】把6个数排序，第3、第4两个数的平均数就是中位数【详解】已知6个数排序为5，6，7，8，9，9，因此中位数为故答案为：7.5【点睛】本题考查中位数的概念，个数按大小顺序排列后，若是奇数，则中间的一个数是这组数据的中位数，若为偶数，则中间两个数的平均数为这组数据的中位数7.若，则下列不等式：；中成立的是_（填写你认为正确的命题序号）【答案】【解析】【分析】利用不
4、等式的基本性质可判断的正误；利用指数函数的单调性可判断的正误；利用特殊值法可判断的正误.综合可得出结论.【详解】对于，若，则，可得，正确；对于，指数函数为上的增函数，正确；对于，则、不可能同时为零，正确；对于，取，则，错误.故答案为：.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质、特殊值法、函数的单调性、比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.8.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 .（结果用数值表示）【答案】【解析】试题分析：这是一个古典概型问题，设两名男生记作，四名女生记作，则从名男生和名女生中选出人所有的取
5、法有：共种，其中男女都有的取法是共种，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为，故答案填.考点：古典概型【方法点晴】本题是一个古典概型问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先将从名男生和名女生中选出人所有的取法即基本事件的总数一一列举出来，然后再找出符合条件的事件即选出的志愿者中，男、女都有的事件总共有多少个，进而可求出所需概率.另外本题也可以用间接法求解，即先求出所选四人全为女的概率，从而可得男女都有的概率.9.若一个圆锥的全面积为，其侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆维的体积为_【答案】【解析】【分析】设该圆锥的底面半径、高、母线分别为、，由侧面展开图的弧长与圆锥底面周长相等得的关系，利
6、用全面积可求得，再求出高可得体积【详解】设该圆锥的底面半径、高、母线分别为、，由题意，由，从而故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积与全面积，解题关键是掌握圆锥侧面展开图扇形与圆锥的关系10.设有两个命题：（1）不等式的解集为；（2）函数恒有意义，如果这两个命题至少有一个是假命题，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】分别求出两个命题为真时的的取值范围，然后根据复合命题的真假确定结论【详解】，其取值范围是，不等式的解集为即恒成立，若（1）为真命题，则，若（2）为真命题，则，（1）（2）均为真命题，可得，所以若（1）（2）至少有一个是假命题，则或故答案：【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值
7、范围，解题时可先求出每个命题为真时的参数范围，然后根据复合命题的真值有确定结论在遇到“至少”、“至多”等时可从反面入手比较简单11.若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是 【答案】2log23【解析】试题分析：由基本不等式得2a+2b，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可解：由基本不等式得2a+2b，即2a+b，所以2a+b4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t4，所以，即，所以故答
8、案为2log23点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强12.已知集合，将中的正整数从小到大排列为：，若，则正整数_【答案】1511【解析】【分析】利用平方差公式分解后，对，分别研究，即可得到集合中的所有正整数，然后从小到大排列，观察规律，进而计数即可.【详解】，当时，（表示奇数），当时，（表示4个倍数），将中的正整数从小到大排列，可得1，3，4，5，7，8，（每4个正整数，保留3个），又，【点睛】本题考查分类讨论思想，观察归纳思想，属探索性试题，难度较大.二、选择题13.对于原命题：“已知，若 ，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真
9、命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】C【解析】试题分析：原命题和逆否命题的真假一致，逆命题和否命题的真假一致；当时原命题为假命题，所以它的逆否命题也是假命题；它的逆命题为“已知，若，则”，为真命题，所以否命题也是真命题，真命题个数为2，故选C考点：1、四种命题；2、命题真假判定14.已知三条直线及平面，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据线面的平行和垂直的判定和性质定理对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】选项A. 若，则或，故A不正确.选项B. 若，则，命题为真命题，故B正确.选项C. 若，则或异
10、面，故C不正确.选项D. 若，则，这类缺少条件相交，不能推出，故故D不正确.故选：B【点睛】本题考查线线平行，线面平行、垂直的判断，属于基础题.15.，其中，则所有的交集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，然后根据交集的定义求解【详解】由题意，因为，所以由对勾函数性质得时，取得最小值2，或时，取得最大值，又对勾函数是增函数，时，取最小值，故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对勾函数的性质，掌握对勾函数的性质是解题关键16.对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，现有四个命题：；个位数为；个位数为其中正确的个数为（ ）A. B. C. D.
11、【答案】C【解析】【分析】利用双阶乘定义以及阶乘的定义可判断的正误；化简可判断的正误；由能被整除可判断的正误；由能被整除且为奇数可判断的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，由双阶乘的定义得，所以，命题正确；对于命题，命题错误；对于命题，则能被整除，则的个位数为，命题正确；对于命题，能被整除，则的个位数为或，由于为奇数，所以，的个位数为，命题正确.故选：C.【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17.解不等式（组）：【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法，求得各个不等式的解集取交集，即可求得不等式组的解集，得到答案详解】由题意，即，解得，可得或或，所以
12、原不等式组的解集为.【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知的展开式的系数和比的展开式的二项式系数和大，求的展开式中：（1）二项式中的常数项；（2）系数小于的项【答案】（1）；（2）、.【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于的等式，即可解出正整数的值，进而写出的展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项公式即可得出展开式中的常数项；（2）利用二项展开式通项写出展开式中的每一项，进而可得出结果.【详解】（1）的展开式的系数和为，的展开式的二项式系数和为，由题意可得，可得或（舍），所以
13、，.展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为；（2）展开式的各项分别为：，。，.因此，系数小于的项为，.【点睛】本题考查利用二项展开式所有项的系数和、二项式系数和求参数，同时也考查了利用二项展开式通项求指定项、以及利用二项式定理写出每一项，考查计算能力，属于中等题.19.长方体中，（1）求异面直线与所成角；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】此几何体是长方体，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】解：以为原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,（1）设异面直线与所成角为，因为，所以，所以，所以异
14、面直线与所成角为；（2）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，所以点到平面的距离，（3）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设二面角的大小为，则，所以【点睛】此题考查异面直线所成的角，二面角，点到面的距离，利用了空间向量进行计算，考查计算能力，属于中档题.20.若实数、满足，则称比远离（1）若比远离1且，求实数的取值范围；（2）设，其中，求证：比更远离；（3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）比更远离理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意利用已知条件消去y，得到，两边平方即得；（2）利用分析法证明即可；（3）结合基本不等式的变形，可将为题
15、转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，并结合消元思想，配方法可以得到结论.【详解】（1）由题意，即，两边平方，得；（2）即证，即证，即证，即证（*），（*）成立，即比更远离；（3），从而，时，即；时，即；综上，即比更远离【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，分析法证明不等式，分类讨论思想，属中高档题，难度较大.21.已知函数的定义域为，值域为，其中（1）若关于原点对称，求实数的取值范围；（2）试判断1是否在集合内，并说明理由；（3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
16、【答案】（1）；（2）当时，当，（由分式分母不为零，得且）；（3）存在，或.【解析】【分析】（1）由题意函数的定义域满足，分和进行讨论得出答案.（2）由，即可得到或，然后再分别验证即可得到答案.（3）先考虑对任意的恒成立，在恒成立，求出参数的范围，然后再此范围内考虑对任意的恒成立，【详解】（1）由题意函数的定义域满足，即时，符合，设方程的两实根为，要满足题意，必有，综上，；（2）若，则，从而，解得或，当时，要满足，还需注意此时分式的分母，当时，要满足，还需注意此时分式的分母，综上，当时，当，（由分式分母不为零，得且）；（3）先考虑对任意的恒成立记，对应判别式分别为，则，且恒成立，则，即，得，必须有，且方程与方程两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即，解得，满足判别式的条件., 即，解得或当时，值域为，不符；当时，当时，不满足条件.要满足对任意的恒成立，必有或；再在或的情况下，考虑对任意的恒成立（1）时，由，可得，要满足题意，得，；（2）时，符合；综上，或【点睛】本题考查分式函数的定义域问题，根据定义域求参数范围，根据函数值域求参数的范围，属于难题.