1、抛物线一、选择题1(2021新高考卷)若抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p()A1 B2 C2 D4B抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，它到直线yx1的距离为dp2故选B2(2021陕西咸阳高三模拟)点M到点F(4,0) 的距离比它到直线l：x60的距离小2，则点M的轨迹方程为()Ay216x By216xCy224x Dy224xB因为点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x60的距离少2，所以将直线l：x60左移2个单位，得到直线x40，即x4，可得点M到直线x4的距离等于它到点(4,0)的距离，根据抛物线的定义，可得点M的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x4
2、为准线的抛物线，设抛物线方程为y22px(p0)，可得4，得2p16，所以抛物线的方程为y216x，即为M点的轨迹方程3(2020北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为lP是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A经过点O B经过点PC平行于直线OP D垂直于直线OPB如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P故选B4(2021安徽合肥一中高三期末)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3
3、，则抛物线的方程为()Ay2x By23xCy2x Dy29xB如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，|AE|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，从而得a1，BDFG，求得p，所以抛物线的方程为y23x5过抛物线y24x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(xAxB)，则()A B C3 D2D设直线方程为y2(x1)，与y24x联立得2x25x20，所以(2x1)(x2)0，x1，x22因为xAxB，所以xA2，xB，所以26已知点P是抛物线y22px(p0)
4、上一点，且点P到点A(0，2)的距离与到y轴的距离之和的最小值为22，则p()A2 B4 C3 D4D如图所示，由题得准线方程为x，点P到点A(0，2)的距离与到y轴的距离之和为|PA|PF|AF|，(当点P在线段AF与抛物线的交点时取等号)|AF|，所以22，解之得p4二、填空题7已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是 ；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN| y28x6抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，可得p4，则抛物线C的方程是y28x由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y2，则M(1，2)
5、，则点N的坐标为(0，4)，所以|FN|68如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽 米2建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x22py(p0)由题意可知抛物线过点(2，2)，故44p，p1，x22y故当y3时，x26，即x所以当水位降1米后，水面宽2米9(2021新高考卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP若|FQ|6，则C的准线方程为 x法一：由题易得|OF|，|PF|p，OPFPQF，所以tanOPFtanPQF，所以，即，解得p3，所以C的准线方程为x法二：由
6、题易得|OF|，|PF|p，|PF|2|OF|FQ|，即p26，解得p3或p0(舍去)，所以C的准线方程为x三、解答题10如图，抛物线的顶点在原点，圆(x2)2y24的圆心恰是抛物线的焦点(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|CD|的值解(1)设抛物线方程为y22px(p0)，圆(x2)2y222的圆心恰是抛物线的焦点，p4抛物线的方程为y28x(2)依题意直线AB的方程为y2x4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x26x40，x1x26，|AD|x1x2p6410|AB|CD|AD|CB|104611如图
7、，已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为AGB的平分线解(1)由抛物线定义可得|AF|23，解得p2抛物线E的方程为y24x(2)证明：点A(2，m)在抛物线E上，m242，解得m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，直线AF的方程为y2(x1)，由得2x25x20，解得x2或，B又G(1,0)，kGA，kGB，kGAkGB0，AGFBGFGF为AGB的平分线1已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上
8、的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为()A3 B4 C5 D1A由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|132已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为()A B C DB由题意得抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，|AF|2|BF|，x112(x21)，x12x
9、21，|y1|2|y2|，y4y，x14x2，x12，x2线段AB的中点到该抛物线准线的距离为(x11)(x21)故选B3已知点A(m,4)(m0)在抛物线x24y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围解(1)证明：点A(m,4)在抛物线上，16m2，m4，又m0，m4设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kABkAC0，x1x28kBC2，直线BC的斜率为定值2(2)设直线BC的方程为y2xb，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设P
10、Q的中点为M(x0，y0)，则kPQ，x01M(1，2b)又点M在抛物线内部，2b，即b由得x28x4b0，x3x48，x3x44b|BC|x3x4|又b，|BC|10|BC|的取值范围为(10，)1抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为()A B9C D9DMAx轴，A，由题意可知AB经过抛物线y24x的焦点F(1,0)，直线AB的方程为y(x1)
11、联立方程解得B(4，4)，|AM|3，|AB|42，|MB|ABM的周长为9故选D2已知抛物线：y24x的焦点为F，若ABC的三个顶点都在抛物线上，且0，则称该三角形为“核心三角形”(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2解(1)抛物线：y24x的焦点为F(1,0)，由0，得1，0，故第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2，2)，但点(2，2)不满足抛物线的方程，即点(2，2)不在抛物线上，所以这
12、样的“核心三角形”不存在(2)设直线AB的方程为y4xt，与y24x联立，可得y2yt0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，y1y21，x1x2(y1y22t)t，由(x1x2x3，y1y2y3)(3,0)，可得x3t，y31，代入方程y24x，可得112t1，解得t5，所以直线AB的方程为4xy50(3)证明：设直线BC的方程为xnym，与y24x联立，可得y24ny4m0，因为直线BC与抛物线相交，故判别式16(n2m)0，y1y24n，所以x1x2n(y1y2)2m4n22m，可得点A的坐标为(4n22m3，4n)，又因为A在抛物线上，故16n216n28m12，可得m4n2，因为mn2，所以n2，故A的横坐标为4n22m34n28n24n22
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