1、上海市进才中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1._.【答案】【解析】【分析】化简式子，可得，然后根据极限的概念简单计算即可.【详解】由题可知：故答案为：【点睛】本题考查极限的概念和计算，属基础题.2.2和8的等差中项是_.【答案】5【解析】【分析】根据等差中项的概念，直接计算可得结果.【详解】2和8的等差中项为 故答案为：5【点睛】本题考查等差中项的概念和计算，属基础题.3.方程组的系数矩阵是_.【答案】【解析】【分析】根据方程组系数矩阵的表示直接可得结果.【详解】方程组的系数矩阵为故答案为：【点睛】本题考查矩阵的表示，属基础题.4.函数的最小值为_.【答
2、案】【解析】【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.【详解】，所以函数的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，由定义域求函数的值域是常见题型，需要熟练掌握，属于容易题.5.等差数列中，设为数列的前项和，则_.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质可得出的值，然后利用等差数列的求和公式可求出的值.【详解】由等差数列的基本性质可得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.设等比数列的各项均为正数，则的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，且，根据，求得，进而得到，结合等
3、比数列的通项公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，且，因为，则，解得，则，解得，所以数列的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，其中解答中熟记等比数列的通项公式的基本量的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7.将无限循环小数化为分数，则所得的最简分数为_.【答案】【解析】【分析】，利用无穷等比数列的求和公式即可得出.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8.用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共_项【答案】【解析】【分析】由题意有：由不等式成立，推证时，则
4、不等式左边增加的项数共项，得解.【详解】解：当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故答案为： .【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.9.数列中，若，则的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】两边取对数，化简整理得，得到数列是以为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由，两边取对数，可得，即，又由，则，所以数列是以为首项，公比为3等比数列，则，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解
5、答的关键，着重考查推理与运算能力.10.如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，则所有正方形的面积的和为_. 【答案】【解析】【分析】根据题意可知，可得，依次计算，不难发现：边长依次为，构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，不难发现：边长依次为，正方形的面积构成是公比为的等比数列利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和【详解】根据题意可知，可得，依次计算，是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，边长依次为，正方形的面积构成是公比为的等比数列所有正方形的面积的和故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键属于中档题11.
6、已知等差数列满足：，数列的前项和为，则的取值范围是_【答案】【解析】【详解】由题意可得：，据此可得：，则，令，结合等差数列前n项和公式有：，令，则，据此可知函数在上单调递减，即的取值范围是.12.已知数列满足，则的整数部分是_.【答案】3【解析】【分析】由题意化简得，得出，结合“裂项法”求得，再由，得到单调递增，进而求得的范围，即可求解.【详解】由题意，数列满足，可得，所以，即，所以，又由，可得，因为，所以，即，数列单调递增，计算可知，即的整数部分是.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了数列递推公式的应用，数列的 “裂项法”求和，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中
7、档试题.二、选择题13.设等比数列中，公比为，则“”是“是递增数列”的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.【详解】在等比数列中，可得，若，可得，即，所以数列为递增数列，故充分性是成立的；反之：若等比数列为递增数列，即，若，则，可得，故必要性是成立的，所以“”是“是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及数列的单调性的判定方法及应用，其中解答中熟记数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重
8、考查推理与论证能力.14.已知数列满足：，.则数列中满足的项共有（ ）项A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用累加法可求得数列的通项公式，然后解不等式，找出满足不等式成立的正整数的个数，由此可得出结论.【详解】，则，令，则，解得或，或，因此，满足的项共项.故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的求解，同时也考查了利用累加法求数列通项，考查计算能力，属于中等题.15.若数列对任意满足，下面给出关于数列四个命题：可以是等差数列；可以是等比数列；可以既是等差又是等比数列；可以既不是等差又不是等比数列.正确命题的个数为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得到
9、或，结合等差数列和等比数列的定义，即可判定.【详解】由题意知，数列对任意满足，所以或，则：对于中，数列可以是公差为4的等差数列；对于中，数列可以是公比为3等比数列；对于中，若数列既是等差又是等比数列，则此时数列必为非零的常数列，则公差为0，公比为1，由可知，不正确；对于中，数列可以既不是等差又不是等比数列，例如：，满足题设条件，此数列既不是等差又不是等比数列，所以正确.故选：C.【点睛】本题主要以命题的真假判定与应用为载体，考查了等差数列、等比数列的定义及判定，其中解答中熟记等差数列、等比数列的定义，合理判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16.若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列
10、.已知数列为调和数列，且，则（ ）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】分析】先由题意，得到是等差数列，再由等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，即可得出结果.【详解】数列为调和数列，由题意可得：，是等差数列.又，.又，.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列前项和的基本量运算，以及等差数列的性质，熟记等差数列的求和公式与等差数列性质即可，属于常考题型.三、解答题17.在ABC中，a=7，b=8，cosB= （）求A；（）求AC边上的高【答案】(1) A= (2) AC边上高为【解析】分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形
11、式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高详解：解：（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得 =，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.已知等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求无穷数列的各项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）假设等比数列的公比，然后根据题
12、意计算出公比，根据等比数列的通项公式的表示可得结果.（2）根据（1）的结论，以及极限的概念，简单计算可得结果.【详解】（1）设等比数列公比为，由题可知：或又，可知所以（2）由（1）可知：，则可知数列是首项为，公比为的等比数列所以无穷数列的各项和为即故答案为：，【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及前项和，还考查了极限的思想，本题关键在于审题以及计算，属中档题.19.已知数列满足：，且为等差数列，数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据递推关系求出数列的公差，再根据等差数列的通项公式求出通项即可；（2）求出等差数列的前n项和，化简，求极限即
13、可.【详解】（1），两式相减得：，又，（2）由（1）知，.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，递推关系式，数列的极限，属于中档题.20.设数列的前n项和为.已知.（）求的通项公式；（）若数列满足，求的前n项和.【答案】（）; （）.【解析】【分析】（）利用数列前项和与通项的关系求解；（）结合第（）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.【详解】（）因为，所以，故当时，此时，即所以，（）因为，所以，当时，所以，当时，所以，两式相减，得所以，经检验，时也适合，综上可得：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运
14、用错位相减法进行数列求和，注意考虑的情况，属于中档题.21.已知数列，记集合.（1）对于数列，写出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由.（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.【答案】（1）（2）不存在，使得成立.(3)详见解析【解析】【分析】（1）根据集合的定义，即可求解；（2）假设存在，使得，得到，根据与奇偶性相同，所以与奇偶性不同，进而得到结论.（3）若，使得，得到不成立，结合数学归纳法，把数列，转化为数列，其相应集合中满足有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合，可得.（2）假设存在，使得，则有，由于与奇
15、偶性相同，所以与奇偶性不同.又因为，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在，使得成立.（3）首先证明时，对任意的都有，.若，使得：，由于与均大于2且奇偶性不同，所有不成立.其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数，其中，.当时，由等差数列的性质有：此时结论成立.当时，由等差数列的性质有：，此时结论成立.对于数列，此问题等价于数列，其相应集合中满足：有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合中的项，所以的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.