1、31数系的扩充与复数的概念31.1实数系31.2复数的概念1了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性(重点)2理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类(重点、难点)3掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题(易混点)基础初探教材整理1复数的概念及分类阅读教材P81P84“例1”以上部分，完成下列问题1数系的扩充及对应的集合符号表示_ZQR_【答案】NC2复数的有关概念【答案】实数13复数的分类(2)集合表示【答案】b0b0a0a01判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)若a为实数，则za一定不是虚数()(3)bi是
2、纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()【答案】(1)(2)(3)(4)2下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则x1；两个虚数不能比较大小其中正确命题的序号是_【解析】当a1时，(a1)i0，故错误；两个虚数不能比较大小，故对；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1，故错【答案】教材整理2两个复数相等的充要条件阅读教材P85练习以上内容，完成下列问题在复数集Cabi|a，bR中，任取两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.如果(xy)ix1，则实数
3、x，y的值分别为()Ax1，y1Bx0，y1Cx1，y0Dx0，y0【解析】(xy)ix1，x1，y1.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型复数的概念(1)给出下列三个命题：若zC，则z20；2i1的虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0 B1C2D3(2)已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_(3)下列命题正确的是_(填序号)若x，yC，则xyi12i的充要条件是x1，y2；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集【自主解答
4、】(1)复数的平方不一定大于0，故错；2i1的虚部为2，故错；2i的实部是0，正确，故选B.(2)由题意，得a22，(2b)3，所以a，b5.(3)由于x，y都是复数，故xyi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故是假命题当a0时，ai0为实数，故为假命题由复数集的分类知，正确，是真命题【答案】(1)B(2)，5(3)判断与复数有关的命题是否正确的方法1举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答2化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确
5、定复数的实、虚部再练一题1下列命题中是假命题的是() 【导学号：05410058】A自然数集是非负整数集B实数集与复数集的交集为实数集C实数集与虚数集的交集是0D纯虚数集与实数集的交集为空集【解析】复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题【答案】C复数的分类(1)复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件是()A|a|b|Ba0且abDa0且ab(2)已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，z为实数？z为虚数？z为纯虚数？【精彩点拨】依据复数的分类列出方程(不等式)组求解【自主解答】(1)要使复数z为纯虚数，则a0，a
6、b.故选D.【答案】D(2)要使z为实数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.再练一题2若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？【解】复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，所以a0.探究共研型复数相等的充要条件探究1a0是复数zabi为纯虚数的充分条件吗？【提示】因为当a0
7、且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件探究232i3i正确吗？【提示】不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小(1)若(xy)yi(x1)i，求实数x，y的值；(2)关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值【精彩点拨】根据复数相等的充要条件求解【自主解答】(1)由复数相等的充要条件，得解得(2)设方程的实根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，所以解得a11或a.1复数z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，则z1z2ac且bd.2复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法转化过程主要
8、依据复数相等的充要条件基本思路是：(1)等式两边整理为abi(a，bR)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3)解方程组，求出相应的参数再练一题3已知x2y26(xy2)i0，求实数x，y的值. 【导学号：05410059】【解】由复数相等的条件得方程组由得xy2，代入得y22y10.解得y11，y21.所以x1y121，x2y221.即或构建体系1设集合A实数，B纯虚数，C复数，若全集SC，则下列结论正确的是()AABCBABCA(SB)D(SA)(SB)C【解析】集合A，B，C的关系如图，可知只有(SA)(SB)C正确【答案】D2若复数43aa2i与复
9、数a24ai相等，则实数a的值为()A1B1或4C4D0或4【解析】由复数相等的条件得a4.【答案】C3复数(1)i的实部为_. 【导学号：05410060】【解析】复数(1)i0(1)i，实部为0.【答案】04已知z1m23mmi，z24(5m4)i，其中mR，i为虚数单位，若z1z2，则m的值为_【解析】由题意得m23mmi4(5m4)i，从而解得m1.【答案】15(2016佛山高二检测)已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MN，求整数a，b.【解】依题意得(a3)(b21)i3i，或8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i.由
10、得a3，b2，由得a3，b2.中，a，b无整数解不符合题意综上所述得a3，b2或a3，b2或a3，b2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016泰安高二检测)(2i)的虚部是()A2BC.D2【解析】(2i)2i，其虚部是.【答案】C2如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则()ACRIBRI0CRCIDRI【解析】复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集RI，故选D.【答案】D3(2016肇庆高二检测)若xii2y2i，x，yR，则复数xyi() 【导学号：05410061】A2i
11、B2iC12iD12i【解析】由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.【答案】B4下列命题中，正确命题的个数是()若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且ab，则aibi；若x2y20，则xy0.A0B1C2D3【解析】对于，由于x，yC，所以x，y不一定是xyi的实部和虚部，故是假命题；对于，由于两个虚数不能比较大小，故是假命题；是假命题，如12i20，但10，i0.【答案】A5复数i2的虚部是()AiB2C1D2【解析】i22i，因此虚部是1.【答案】C二、填空题6设i为虚数单位，若复数z(m22m3)(m1)i
12、是纯虚数，则实数m_.【解析】依题意有解得m3.【答案】37以3i的虚部为实部，以3i2i的实部为虚部的复数是_【解析】3i的虚部为3,3i2i3i的实部为3，所以所求的复数是33i.【答案】33i8有下列说法：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；纯虚数的平方不小于0；1的平方根只有一个，即为i；i是方程x410的一个根；i是一个无理数其中正确的有_(填序号)【解析】若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故正确；因满足形如abi(a，bR)的数均为复数，故正确；纯
13、虚数的平方，如i21，故错误；1的平方根不止一个，因为(i)21，故错误；i410成立，故正确；i是虚数，而且是纯虚数，故错误综上，正确【答案】三、解答题9已知复数z(m23m2)(m2m6)i，则当实数m为何值时，复数z(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数【解】z(m23m2)(m2m6)i.(1)令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为实数(2)令m2m60，解得m2且m3，所以m2且m3时，z是虚数(3)由解得m1，所以m1时，z是纯虚数10已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1，4i，若MPP，求实数m的值【解】MPP，MP，即(m22m)(m2m2)i1或(m22m
14、)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知，m1或m2.能力提升1若复数zi是纯虚数，则tan的值为()A7BC7D7或【解析】复数z是纯虚数，sin 且cos ，cos .tan .tan7，故选A.【答案】A2已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实根n，且zmni，则复数z()A3iB3iC3iD3i【解析】由题意，知n2(m2i)n22i0，即n2mn2(2n2)i0，所以解得所以z3i.【答案】B3设复数z(m22m15)i为实数，则实数m的值是_. 【导学号：05410062】【解析】依题意有解得m3.【答案】34如果log(mn)(m23m)i1，求自然数m，n的值【解】因为log(mn)(m23m)i1，所以log(mn)(m23m)i是实数，从而有由得m0或m3，当m0时，代入得n0，所以n1；当m3时，代入得n1，与n是自然数矛盾综上可得，m0，n1.
