1、松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2020.5考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，否则一律得零分1若集合，则= 2已知复数，（是虚数单位），若是纯虚数，则实数= 3已知动点到定点的距
2、离等于它到定直线的距离，则点的轨迹方程为 4等差数列的前项和为，若，则= 5若的展开式中项的系数为，则实数= 6已知数列的首项，且满足，数列的前项和为，则 7用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 立方米8若函数是偶函数，则= 9已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是 10已知函数，若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为_ 11已知集合，元素称为集合的特征元素对于中的元素与，定义：当时，若是集合中的非特征元素，则的概率为 12已知函数且为常数和且为常数，有以下命题：当时，函数没有零点； 当时，恰有3个不同的零点，则； 对任意的，总存在实数，使得有4
3、个不同的零点，且成等比数列其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为 (A) (B) (C) (D) 14若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 或 15在正方体中，、两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为 (A) (B) (C) (D) 16已知实数，且，则当取得最大值时，这个数中，值为的个数为 (A) 个
4、 (B) 个 (C) 个 (D) 个 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点（1）求异面直线与所成的角；（2）求点到平面的距离18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数（1）求的最大值和最小正周期；（2）在中，内角、所对的边分别为、，已知，且，求面积的最大值19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地
5、政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万套)，其中为工厂工人的复工率（）A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.20(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最
6、大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足 ，求证：线段的中点在定直线上21(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求及应满足的条件； （3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中）， 记,求证：数列为等比数列的充要条件是或.松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学参考答案一填空题1 23 3 4 51 62 7 8 9 10 11 12二、选择题13B 14A 15
7、C 16B三解答题17如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点（1）求异面直线AE与PD所成的角；（2）求点B到平面ECD的距离解：（1）连AC、BD，两直线交于点O，连EO，因为E、O分别是PB、DB的中点，所以EO/PD，所以就是异面直线AE与PD所成的角 3分因为为正方形，且，所以 4分所以 6分（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，点E是棱PB的中点，8分设平面ECD的法向量，则由 得取z2，得，11分点B到平面ECD的距离：14分18已知函数（1）求的最大值和最小正周期；（2）在中，内角、的所对的边分别为、，已知，且，求面积的最大值.解：
8、（1）4分， 5分 6分（2）由 得 因为 ，所以，得 ， 8分因为，由余弦定理，得 ，10分由 得 ，当且仅当时取得等号12分面积，面积的最大值为 14分19新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时， A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.解：（1）4分，6分
9、（2）若对任意的，公司都不产生亏损，则在恒成立 8分即，记，则，此时由于函数在单调递增 10分所以当时， 12分即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损. 14分20如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上解：（1）在方程中，令，解得.令，解得.椭圆方程为：.4分（2）6分设，则8分时， 10分（3） 解法一：设 12分设，代入得：即： 代入得：即14分 ，所以点E在直线上 16分解法二：设12分也是弦
10、的中点，14分代入化简，得：所以点E在直线上16分21已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集.（1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求的性质集； （3）已知函数不存在零点，且当时具有性质（其中），若,求证：数列为等比数列的充要条件是或.解：（1）若函数具有性质，则存在实常数及，使得对任意的都成立2分即：，不合题意，舍函数不具有性质 4分（2）由题意：存在实常数及，使得对任意的都成立即：化简，得：(1)对任意的都成立6分在(1)中令，得：，代入(1)，得：所以 解得或8分所以 或10分（3）证明：由函数不存在零点，且具有性质知，对任意的，都有即 12分 ，记，则 14分充分性：当时，反复代入式得 即对任意的，都有，数列是以为首项，为公比的等比数列同理，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列16分必要性：若数列是等比数列，不妨设，则又由知 ，即 或即或. 18分证法二由函数不存在零点，且具有性质知，对任意的，都有即 12分对变形可得如下两式由得由得-得： 16分当.时，当时，此时是等比数列；当且时，显然不是等比数列 18分高三数学试卷 第11页 共11页
