1、第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.2两点间的距离学习目标1.探索并掌握两点间的距离公式;2.能用坐标法证明简单的几何问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:已知x轴上点A(-1,0),B(5,0),则A,B两点之间的距离|AB|是多少?推广到一般情形,若x轴上点A(x1,0),B(x2,0),则A,B两点之间的距离|AB|是多少呢? 问题2:如何求平面内点A(3,4)到原点O的距离|OA|呢?到点B(-1,1)的距离|AB|呢?你能将这类问题推广到一般情形,提出问题,并得到规律吗?二、信息交流,揭示规律问题3:大家是用什么办法求|P1P2|的?你是怎样想到构造直角三角形
2、的?请大家交流一下.三、运用规律,解决问题【例1】 已知点A(-1,2),B(2,7),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.问题4:平面内要确定一个点,需要几个条件?求点的坐标这种题目,解答时可以考虑哪些方法?【例2】 证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.问题5:对于例2,你是否还有其他建立坐标系的方法呢?请尝试.四、变式演练、深化提高变式训练: 如图,ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,试证明AE=CD.五、信息交流、教学相长问题6:无论是距离公式的证明还是例1及例2的求解,都体现了什么共同特征?上述过程必须借助什么来完成?布置作业课本P1
3、09习题3.3,A组第6,7,8题,B组第6题.参考答案一、问题1:6;|x1-x2|.问题2:求|OA|时,在作图的过程中自然想到坐标的含义,构造出直角三角形后,求得|OA|=5.求|AB|时,也需根据坐标的含义,构造出直角三角形,根据勾股定理得出|AB|=5,但此时可能没有要从特殊问题中发现规律的意识.已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2的距离|P1P2|?提出问题:如图,过点P1向x轴作垂线,过点P2向y轴作垂线,两垂线交于点Q.在RtP1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|P2Q|2.|P1Q|=|N1N2|=|y1-y2|,|P2Q|=|M1M
4、2|=|x1-x2|.所以, |P1P2|2=|x1-x2|2+|y1-y2|2.由此得到两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2.二、问题3:几何法,构造直角三角形;一方面条件中的坐标就涉及点到坐标轴的距离,即坐标可以转化为线段的长度,另一方面,两点间距离就是连接两点的线段的长度,而解直角三角形可以求线段的长度.基于上述原因,我们构造直角三角形.三、【例1】 P(1,0),|PA|=22.问题4:两个;方法一:可以设出点的坐标,然后建立坐标的方程组,解方程组求点的坐标;方法二:可以将点看成两直线的交点,求出两直线方程后,求交点坐标
5、;方法三:可以将求点的坐标的题目转化为求到坐标轴的距离.【例2】 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,有A(0,0).设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b,c),|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2=|BC|2|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(a-b)2+c2,所以,|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2)|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2),所以,|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.问题5:有,比如还可以以对角线的交点为坐标原点,一条对角线为x轴建立平面直角坐标系.四、 变式训练:如图以B为原点,AC所在直线为x轴建立直角坐标系,设等边ABD和BCE的边长分别为2a和2b,于是可得相关各点坐标:B(0,0),A(-2a,0),C(2b,0),D(-a,3a),E(b,3b),由两点间的距离公式,则|AE|=(2a+b)2+(0-3b)2=4a2+4ab+4b2,|CD|=(2b+a)2+(0-3a)2=4a2+4ab+4b2,所以|AE|=|CD|,即AE=CD.五、问题6:用代数的方法解决几何问题;坐标系.
