1、2020-2021学年上海市松江区高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1计算：i2021 （i为虚数单位）2已知向量，若，则实数x的值是 3复数z（m2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），其中mR，则|z| 4已知tan4，则 5已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径r20cm，则扇形的周长为 cm6化简： 7在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状是 三角形8函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（x） 9已知x0，向量（sinx，1），（2，cosx），当取到最大值时，x的值是 10已知、满
2、足|4，在方向上的数量投影为2，则|3|的最小值为 11如图，O是线段AB外一点，|OA|3，|OB|2，P是线段AB的垂直平分线l上的动点，则的值为 12已知函数f（x）4sin（2x），x0，若F（x）f（x）3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，则x1+2x2+2x3+2xn1+xn 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13若tan0，则（）Asin0Bcos0Csin20Dcos2014要得到函数ysin（2x）的图象，只需要将函数ysin2x的图象（）A向左平移个单位B
3、向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位15欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位，xR，e为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：ei+10；（cos+isin）（cos+isin）.（cos）i其中所有正确结论的编号是（）A均正确B均错误C对错D错对16设函数ycos2x（x0）和函数ycos10x（x0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，xn，若tan（x3）cosx4，则sin2的值为（）ABCD三、解答
4、题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写岀必要的步骤17（1）已知角终边上有一点P的坐标是（3a，4a），其中a0，求2sin+cos的值；（2）证明恒等式：18已知复数z1a+2+（a23）i，z22（3a+1）i（aR，i是虚数单位）（1）若复数z1在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m0的根，求实数m的值19东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15，且位于B的南偏东15方向，D位于A的正北方向，ACAD2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送
5、病人，发现北偏东45方向的E处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明20（16分）已知函数f（x）sin2x+2cos2x+2，x0，（1）求函数yf（x）的值域；（2）求函数yf（x）单调递减区间；（3）若不等式mf（x）+2mf（x）恒成立，求实数m的取值范围21（18分）已知O是线段AB外一点，若，（1）设点G是OAB的重心，证明：（+）；（2）设点A1、A2是线段AB的三等分点，OAA1、QA
6、1A2及OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示+；（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明）参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1计算：i2021i（i为虚数单位）解：i2021i4500+1i故答案为：i2已知向量，若，则实数x的值是解：；3x20；故答案为：3复数z（m2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），其中mR，则|z|3解：由z（m2）+（m+1）i为纯虚数，mR，得，即m2，z3i，则|z|故答案为：34已知tan4，则6解：因为tan4，所
7、以6故答案为：65已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径r20cm，则扇形的周长为40+cm解：由题意，扇形的弧长为cm，扇形的周长为（40+）cm故答案为：40+6化简：1解：1故答案为：17在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状是 等腰三角形解：由正弦定理可得 sin（A+B）2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB2sinAcosB，sin（AB）0，又AB，AB0，故ABC的形状为等腰三角形，故答案为：等腰三角形8函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（x）2sin（x）解：由图象知A2，周期T8，即 8，得，由
8、五点对应法得2+，得0，则f（x）2sin（x）故答案为：2sin（x）9已知x0，向量（sinx，1），（2，cosx），当取到最大值时，x的值是 arcsin解：2sinx+cosxsin（x+），其中sin，可得arcsin，当x+时取到最大值，此时xarcsin，故答案为：arcsin10已知、满足|4，在方向上的数量投影为2，则|3|的最小值为 10解：因为|4，在方向上的数量投影为2，所以|cos2，其中为，夹角，即2，2|8，则|3|10则|3|的最小值为10，当0时取等号11如图，O是线段AB外一点，|OA|3，|OB|2，P是线段AB的垂直平分线l上的动点，则的值为 解：如图
9、，设l与AB交于C，即C为AB的中点，连接OC，则（），lAB，故答案为：12已知函数f（x）4sin（2x），x0，若F（x）f（x）3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，则x1+2x2+2x3+2xn1+xn解：令，可得，函数的对称轴为，又f（x）的周期为，令，解得k8，函数在x0，上有9条对称轴，由正弦函数的性质可知，将以上各式相加可得，x1+2x2+2x3+2xn1+xn故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13若tan0，则（）Asin0Bcos0Csin20D
10、cos20解：若tan0，则为第二或第四象限角，当为第二象限角时，sin0，cos0，2为第三、四象限角，sin20当为第四象限角时，sin0，cos0，2为第三，四象限角，sin20，故A，B选项错误，C选项正确不妨设，tan10，cos2cos0，故D选项错误故选：C14要得到函数ysin（2x）的图象，只需要将函数ysin2x的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位解：将ysin2x向右平移个单位得：ysin2（x）sin（2x），故选：D15欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位，xR，e为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指
11、数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：ei+10；（cos+isin）（cos+isin）.（cos）i其中所有正确结论的编号是（）A均正确B均错误C对错D错对解：根据欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位，xR，e为自然对数的底数），对于：ei+1cos+isin+10，故正确；对于：（cos+isin）（cos+isin）.（cos）故选：A16设函数ycos2x（x0）和函数ycos10x（x0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，xn，若tan（x3）cosx4，
12、则sin2的值为（）ABCD解：因为cos2xcos10x（x0），则有10x2x+2k或10x+2x2n，k，nN，解得xk，或x，k，nN，又函数ycos2x（x0）和函数ycos10x（x0）的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，xn，所以x0，故x3，x4，所以tan（x3）cosx4，即tan（）cos，则，解得tan，故sin22sincos故选：C三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写岀必要的步骤17（1）已知角终边上有一点P的坐标是（3a，4a），其中a0，求2sin+cos的值；（2）证明恒等式：解：（1）角的终
13、边上有一点P的坐标是（3a，4a），其中a0，x3a，y4a，r5a，可得sin，cos，2sin+cos2+1；（2）证明：左边右边，得证18已知复数z1a+2+（a23）i，z22（3a+1）i（aR，i是虚数单位）（1）若复数z1在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m0的根，求实数m的值解：（1）z22（3a+1）i，2+（3a+1）i，z1a+2+（a23）i（2+（3a+1）i）a+（a23a4）i，又复数z1在复平面上对应点落在第一象限，a0且a23a40，解得a4，即实数a的取值范围为（4，+），（2）虚数z1是实系数一
14、元二次方程x26x+m0的根，虚数也是实系数一元二次方程x26x+m0的根，则，解得m1319东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15，且位于B的南偏东15方向，D位于A的正北方向，ACAD2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45方向的E处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明解：（1）依据题意：在ACE中，正弦定理：，即，解得：AE，救
15、护车到达A处需要时间：2min，火车到达A处需要时间：1.41min，火车影响A道口时间为，2，救护车经过A会受影响（2）若选择A道口：一共需要花费时间为：tA+1+60（3+）4.41min若选择B道口：BEBC，通过B道口不受火车影响；一共花费时间为：tB，由余弦定理求AB长：AB2BC2+AC22BCACcosACB，即AB，BD，tB60min4.25mintA，选择B过道20（16分）已知函数f（x）sin2x+2cos2x+2，x0，（1）求函数yf（x）的值域；（2）求函数yf（x）单调递减区间；（3）若不等式mf（x）+2mf（x）恒成立，求实数m的取值范围解：（1）因为，所以
16、，所以，所以f（x）的值域为；（2）因为，又ysinx在上递减，所以当时，f（x）递减，所以函数yf（x）单调递减区间为；（3）因为f（x）+20，所以不等式等价于；因为，所以当时，有最大值；所以实数m的取值范围为；21（18分）已知O是线段AB外一点，若，（1）设点G是OAB的重心，证明：（+）；（2）设点A1、A2是线段AB的三等分点，OAA1、QA1A2及OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示+；（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明）【解答】（1）证明：设AB的中点为E，则；（2）解：因为点A1，A2是线段AB的三等分点，则；（3）解：层次一：设A1是AB的二等分点，则，；设A1，A2，A3是线段AB的四等分点，则；层次二：设A1，A2，An1是线段AB的n等分点，层次三：设A1，A2，An1是线段AB的n等分点，则