1、2016-2017学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1若全集U=1，2，3，4，5，且UA=2，3，则集合A=2已知集合A=1，0，1，则AB=3函数f（x）=，g（x）=x+3，则f（x）g（x）=4函数f（x）=的定义域为5设函数f（x）=，若f（a）=2，则实数a=6若0a1，则不等式（ax）（x）0的解集为7已知p：x2+x20，q：xa，若q是p的充分不必要条件，则q的取值范围是8若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，则a=9若关于x的不等式（a1）x
2、2+2（a1）x40的解集为，则实数a的取值范围是10已知集合A=1，2，B=x|mx+10，若AB=B，则实数m的取值范围是11设函数f（x）=x2，若不等式|f（x+3）|f（x）|+m对任意实数x恒成立，则m的取值范围是12满足不等式|xA|B（B0，AR）的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则的取值范围是二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角
3、三角形D等腰三角形14设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）Af（x）=x，g（x）=Bf（x）=，g（x）=Cf（x）=1，g（x）=（x1）0Df（x）=，g（x）=x315若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （）ABCD16若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为5，19的“孪生函数”共有（）A4个B6个C8个D9个三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17解不等式组18已知集合A=x|x2px2=0，B=x|x2+qx+r=0，若
4、AB=2，1，5，AB=2，求p+q+r的值19已知集合P=a|不等式x2+ax+0有解，集合Q=a|不等式ax2+4ax40对任意实数x恒成立，求PQ20我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上已知ACB=60，|AC|=30米，|AM|=x米，x10，20设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如
5、何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）21设函数，函数，其中a为常数且a0，令函数f（x）=g（x）h（x）（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由2016-2017学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1若全集U=1，2，3，4，5，且UA=2，3，则集合A=1，4，5【考点】补集
6、及其运算【分析】根据题意，由补集的性质，A=U（UA），计算可得答案【解答】解：根据题意，全集U=1，2，3，4，5，且UA=2，3，A=U（UA）=1，4，5，故答案为：1，4，52已知集合A=1，0，1，则AB=0【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x1）0，解得：1x1，即B=（1，1），A=1，0，1，AB=0，故答案为：03函数f（x）=，g（x）=x+3，则f（x）g（x）=x3，（x（，3）（3，+）【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】由题意函数f（x）=，g（x）=x+3，直接求解f（x
7、）g（x）即可注意定义域范围【解答】解：由题意函数f（x）=，g（x）=x+3，那么：f（x）g（x）=（x+3），x3，f（x）g（x）=x3答案为x3，（x（，3）（3，+）4函数f（x）=的定义域为1，2）（2，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可【解答】解：由题意解得x1，2）（2，+）故答案为：1，2）（2，+）5设函数f（x）=，若f（a）=2，则实数a=2或【考点】函数的值【分析】根据解析式分类讨论a的范围，代入对应的解析式，列出方程进行求解【解答】解：当a0时，f（a）=a2=2，a=，又a0a=，当a0时，f（a）=
8、a=2，a=2，故答案为：2或6若0a1，则不等式（ax）（x）0的解集为x|a【考点】其他不等式的解法【分析】通过a的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可【解答】解：0a1，则不等式（ax）（x）0的解集就是（xa）（x）0的解集，即：x|a故答案为：x|a7已知p：x2+x20，q：xa，若q是p的充分不必要条件，则q的取值范围是1，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分不必要条件的定义建立条件关系即可得到结论【解答】解：由x2+x20得x1或x2，若q是p的充分不必要条件，则a1，故答案为：1，+）8若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|
9、x，则a=3【考点】绝对值不等式的解法【分析】由题意可得和是|ax2|=3的两个根，故有，由此求得a的值【解答】解：关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，和是|ax2|=3的两个根，a=3，故答案为：39若关于x的不等式（a1）x2+2（a1）x40的解集为，则实数a的取值范围是a|3a1【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据题意，讨论a的取值，是否满足不等式的解集为即可【解答】解：关于x的不等式（a1）x2+2（a1）x40的解集为，a1=0时，40，不等式不成立，a=1满足题意；a10时，a1，不等式的解集不为空集，不满足题意；a10时，a1，当=4（a1）2+16（a1）0时，即（
10、a1）（a+3）0，解得：3a1，满足题意；综上，实数a的取值范围是a|3a1故答案为：a|3a110已知集合A=1，2，B=x|mx+10，若AB=B，则实数m的取值范围是（，1）【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】由题意知AB，对m的正负进行分类讨论，写出集合B，再由子集的定义求出m的取值范围即可【解答】解：由题意知AB=B，则AB，当m0时，B= x|x，A=1，2，1解得0m1，当m0时，B= x|x，A=1，2，2解得m0，当m=0时也有AB综上，实数m的取值范围是（，1）故答案为（，1）11设函数f（x）=x2，若不等式|f（x+3）|f（x）|+m对任意实数x恒成立，则m的取
11、值范围是（，3）【考点】函数恒成立问题【分析】|x+1|x2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为3，故有m3，由此求得m的取值范围【解答】解：函数f（x）=x2，不等式|f（x+3）|f（x）|+m对任意实数x恒成立，|x+1|x2|m，而|x+1|x2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为3，故有m3，故答案为 （，3）12满足不等式|xA|B（B0，AR）的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则的取值范围是【考点】基本不等式【分析】先根据条件求出2x2（a+b）2；再结合而邻域是一
12、个关于原点对称的区间域得到a+b=2，再构造函数f（x）=+，利用导数求出函数的值域【解答】解：A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，|x（a+b2）|a+b2x2（a+b）2，而邻域是一个关于原点对称的区间域，可得a+b2=0a=2b=+，设f（x）=+，x0且x2f（x）=当f（x）0是，解得x4，且x2，当f（x）0是，解得x或x4，且x0，函数f（x）在（，2），（2，4）上单调递增，函数f（x）在（，0），（0，），（4，+）上单调递减，当x=4时，函数有极大值，即f（4）=+1=，当x=时，函数有极小值，即f（）=+1=，f（x）的值域为故则的取值范围是二、选择题（本大
13、题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性【分析】根据集合元素的互异性可得，三个元素互不相等，该三角形一定不可能是等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则由集合元素的互异性可得，三个元素互不相等，故该三角形一定不可能是等腰三角形，故选：D14设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）Af（x）=x，g（x）=Bf（x）=，g
14、（x）=Cf（x）=1，g（x）=（x1）0Df（x）=，g（x）=x3【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数【解答】解：A组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）=|x|x，故A中的两函数不为同一个函数；B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为f（x）=g（x）=1，故B中的两函数是同一个函数；C组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为x|x1，故C中的两函数不为同一个函数；D组中两
15、函数的定义域不同，g（x）的定义域为R，f（x）的定义域由不等于3的实数构成，故D中的两函数不为同一个函数故选B15若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （）ABCD【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出【解答】解：A=0，正确；Bab0不成立；Cab0，且a+b与异号不成立；Dab0不成立故选：A16若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为5，19的“孪生函数”共有（）A4个B6个C8个D9个【考点】函数的表示方法；函数的定义域及其求法；函数的值域【分析】读懂“孪生函
16、数”的定义本题就很简单了，所谓的“孪生函数”无非就是利用相同的函数值和相同的解析式解个方程罢了【解答】解：令2x2+1=5得x=，令2x2+1=19得x=3，使得函数值为5的有三种情况，即x=，使得函数值为19的也有三种情况，即x=3，3，3，则“孪生函数”共有33=9个故选D三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17解不等式组【考点】其他不等式的解法【分析】解好不等式组里边每一个不等式，最后取其交集即可【解答】解：由原不等式组x2原不等式组的解集为（2，+）18已知集合A=x|x2px2=0，B=x|x2+qx+r=0，若AB=2，1，5
17、，AB=2，求p+q+r的值【考点】交集及其运算【分析】由题意得，2A，求出A=2，1，从而求出B=2，5，进而求出q=3，r=10，由此能求出p+q+r的值【解答】解：由题意得，2A，代入A中方程得p=1，故A=2，1，由AB=2，1，5和AB=2得：B=2，5，代入B中方程得：q=3，r=10所以p+q+r=1419已知集合P=a|不等式x2+ax+0有解，集合Q=a|不等式ax2+4ax40对任意实数x恒成立，求PQ【考点】交集及其运算【分析】由集合P利用根的判别式求出或，由集合Q，对a分类：当a=0时恒成立；当a0时，由得根的判别式求出1a0，由此能求出PQ【解答】解：，故，解得或，集
18、合Q=a|不等式ax2+4ax40对任意实数x恒成立，对a分类：当a=0时恒成立；当a0时，解得1a0综合得：1a0故20我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上已知ACB=60，|AC|=30米，|AM|=x米，x10，20设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不
19、要求求出最低造价）【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数的值【分析】（1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面积，x10，20，运用二次函数的最值求法，可得值域；（2）由三角形的面积和题意可得总造价T=T1+T2，即可得到所求；（3）运用基本不等式，计算即可得到所求x=12或18【解答】解：（1）在RtPMC中，显然|MC|=30x，PCM=60，矩形AMPN的面积，x10，20，由x（30x）（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时，取得最小值200，于是为所求（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总
20、造价T=T1+T2，（3），当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低21设函数，函数，其中a为常数且a0，令函数f（x）=g（x）h（x）（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域【分析】（1）求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域（2）当时，函数f（x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可【解答】解：（1），其定义域为0，a；（2）令，则且x=（t1）2在1，2上递减，在2，+）上递增，在上递增，即此时f（x）的值域为（3）令，则且x=（t1）2在1，2上递减，在2，+）上递增，y=在1，2上递增，上递减，t=2时的最大值为，a1，又1t2时由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4即f（x）的值域恰为时，所求a的集合为1，2，3，4，5，6，7，8，92017年3月17日
