1、第1课时余弦定理及其推论课时过关能力提升1.在ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=2,b=3,cos C=13,c=()A.2B.3C.11 D.17解析:c2=a2+b2-2abcos C=22+32-22313=9,c=3.答案:B2.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acos A,则sin Asin Bsin C为()A.432B.567C.543D.654解析:由题意可设a=b+1,c=b-1.3b=20acos A,3b=20(b+1)b2+(b-1)2-(b+1)22b(b-1).整理得7b2-27
2、b-40=0,解得b=5,故a=6,b=5,c=4,即sin Asin Bsin C=abc=654.答案:D3.若ABC的三边满足a2+b2=c2-3ab,则ABC的最大内角为()A.60B.90C.120D.150解析:由已知得cos C=a2+b2-c22ab=-32,则C=150.故选D.答案:D4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2-a2-b22ab0,则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形答案:C5.在ABC中,|BC|=3,|CA|=5,|AB|=7,则CBCA的值为()A.-32 B.32 C.-152
3、 D.152解析:由余弦定理的推论,得cos C=|CA|2+|BC|2-|AB|22|CA|BC|=52+32-72253=-12,CBCA=|CB|CA|cos C=35-12=-152.答案:C6.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知a=3,b=3,C=30,则A=_.解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=3+9-233cos 30=3,所以c=3,即a=c=3.所以A=C=30.答案:307.在ABC中,已知a,b是方程x2-5x+2=0的两个根,C=120,则c=.解析:a,b为方程x2-5x+2=0的两个根,a+b=5,ab=2,c2=a2+b2
4、-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos 120=25-4-4-12=23,c=23.答案:238.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cos A=_.解析:由B=C,2b=3a,得c=b=32a,所以cos A=b2+c2-a22bc=34a2+34a2-a2232a32a=13.答案:139.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解(1)cos B=79,由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-42ac=79,又a
5、+c=6,解得a=c=3.(2)sin B=429,a=3,b=2,由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=223,cos A=13.sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=22379-13429=10227.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=37.(1)求cos C;(2)若CBCA=52,且a+b=9,求c.解(1)C是ABC的内角,且tan C=37,C为锐角,则cos C0.由tan C=37及sin2C+cos2C=1,得cos C=-18(舍去)或cos C=18.(2)CBCA=52,abcos C=52,ab=20.
6、a+b=9,a2+b2+2ab=81,a2+b2=41.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=41-252=36,解得c=6或c=-6(舍去).c=6.11.如图所示,A,B是单位圆O上的动点,且A,B分别在第一、第二象限,C是圆O与x轴正半轴的交点,AOB为等边三角形.若点A的坐标为(x,y).记COA=.(1)若点A的坐标为35,45,求sin2+sin2cos2+cos2的值;(2)求BC2的取值范围.解(1)点A的坐标为35,45,根据三角函数的定义可知,02,sin =45,cos =35,sin2+sin2cos2+cos2=sin2+2sincos3cos2-1=20. (2)AOB为等边三角形,AOB=3.cosCOB=cosCOA+3=cos+3.BC2=OC2+OB2-2OCOBcosBOC=2-2cos+3.62,2+356, cos56cos+3cos2,即-32cos+30. 2BC23+2.