1、二 用数学归纳法证明不等式举例 课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明 1+-1)时,第一步是证下述哪个不等式成立()A.12B.1+2C.1+2D.1+2解析当 n=2 时,左边=1+,右边=2,所以应证 1+-1,x0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)31+3xB.(1+x 1+xC.(1+x)-21-2xD.(1+x 1,不成立;当 n=2 时,左边=2+1=3,右边=,3,成立;当 n=3 时,左边=3+3+1=7,右边=31=3,73,成立.所以 n 的最小值 n0 为 2.答案 B4.导学号 26394067 某同学回答“用数学归纳法证明 n+1(nN+)”的过程如下:证明:(1
2、)当 n=1 时,显然不等式是成立的;(2)假设当 n=k(k1)时不等式成立,即 k+1.当 n=k+1 时,=(k+1)+1,所以当 n=k+1 时不等式是正确的.由(1)(2)可知,对于 nN+,不等式都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从 k 到 k+1 的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从 k 到 k+1 的推理不严密D.当 n=1 时,验证过程不具体解析证明 (k+1)+1 时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设 时,f(2k+1)比 f(2k)多的项为 .解析 f(2k+1)-f(2k)=1+()+.答案 +6.已知 x0,观察下列几个不等式:x
3、+2;x+3;x+4;x+5归纳猜想一般的不等式为 .答案 x+n+1(n 为正整数)7.用数学归纳法证明 ()(a,b 是非负实数,nN+)时,假设当 n=k 时不等式 ()(*)成立,再推证当 n=k+1 时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘 .解析对比 k 与 k+1 时的结论可知,两边只需同乘 即可.答案 8.用数学归纳法证明 1+2(nN+).证明(1)当 n=1 时,左边=1,右边=2.左边右边,不等式成立.(2)假设当 n=k(k1)时不等式成立,即 1+2.当 n=k+1时,1+2 =2 .所以当 n=k+1 时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意 nN+都成立
4、.9.导学号 26394068 若不等式 +对一切正整数 n 都成立,求正整数 a 的最大值,并证明你的结论.解取 n=1,则有 成立,所以 ,因此 a0,于是 +,即当 n=k+1 时不等式成立.由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有 +,且正整数 a 的最大值等于 25.10.导学号 26394069 已知数列an满足:a1=,且 an=-(n2,nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)求证对一切正整数 n,不等式 a1a2an2n!恒成立.(1)解将条件变为 1-(-),因此数列-为一个等比数列,其首项为 1-,公比为 ,从而 1-,因此得 an=-(n1).(2)证明由得a1a2an=(-)(-)(-).为证 a1a2an1-().即当 n=k+1 时,式也成立.故对一切 nN+,式都成立.利用,得(-)(-)(-)1-()=1-()-=1-()().故原不等式成立.
