1、基本不等式的应用(习题课)A级基础巩固1设0ab,且ab1,则下列四个数中最大的是()A.Ba2b2C2ab Da解析:选B法一:因为0ab,所以1ab2a,所以a.又因为a2b22ab,所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1ab2,所以ab,所以a2b2(ab)22ab12ab1,即a2b2,故选B.法二(特值检验法):取a,b,则2ab,a2b2.因为,所以a2b2最大,故选B.2若0ab,则下列不等式一定成立的是()Aba BbaCba Dba解析:选C0ab,2bab,b.ba0,aba2,a.故ba.3某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平
2、均增长率为x,则()Ax BxCx Dx解析:选B由条件知A(1a)(1b)A(1x)2,所以(1x)2(1a)(1b),所以1x1,故x.4某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是()A4.6 m B4.8 mC5 m D5.2 m解析:选C设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则xy1,即xy2.周长lxy2224.83(m),当且仅当xy时等号成立结合实际问题,可知选C.5(多选)若x0,y0且xy4,则下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.1解析:选BC若x0,y0,由xy
3、4,得,故A错误;(xy)(22)1,当且仅当xy2时,等号成立,故B正确;x0,y0,xy4,且xy2,2,故C正确;2,xy4,当且仅当xy2时,等号成立,故D错误6已知abc,则与的大小关系是_解析:abc,ab0,bc0,当且仅当abbc,即2bac时等号成立答案:7为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mgL1)随时间t(单位:h)的变化关系为C,则经过_h后池水中该药品的浓度达到最大解析:C.因为t0,所以t24.所以C5,当且仅当t,即t2时,C取得最大值答案:28某公司租地建仓库,每月租地费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与
4、仓库到车站的距离成正比若在距离车站10 km处建仓库,则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元那么要使每月的两项费用之和最小,仓库应建在离车站_ km处解析:设仓库建在离车站x km处,每月租地费用y1(k10),每月运输费用y2k2x(k20)把x10,y12代入y1,得k120;把x10,y28代入y2k2x,得k2,故每月两项费用之和yx28,当且仅当x,即x5时等号成立答案:59已知a,b,c为不全相等的正数,且abc1.求证:.证明:因为a,b,c都是正数,且abc1,所以22,22,22,三个不等式左、右两边分别相加,得22(),当且仅当abc时,等号成立又因为a,b,c不
5、全相等,所以.102020年1月, 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中,武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改造成方舱医院,假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱,正面用一种复合板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元问:(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?(2)为使S达到最大,且实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计为多长?解:(1)设正面复合板长为x m,侧面长为y m,总造价为z元,则方舱医院的面积Sxy,总造价z40x245y20xy40x90y20
6、xy.由条件知z188 000,即4x9y2xy18 800.x0,y0,y.令t92x,则x(t9),Sxy9 41829 41823979 4188 836,当且仅当t,即t291时等号成立故S的最大值为8 836 m2.(2)由(1)知,当S8 836 m2时,t291,t92x,x141,则y.方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2,实际造价又不超过预算时,正面复合板的长应设计为141 m.B级综合运用11(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,l)的是()A(1,4) B(6,8)C(7,12) D.解析:选AC设矩形的边长分别为x,y,则xyl,
7、Sxy.对于A,(1,4),则xy2,xy1,根据基本不等式得xy,符合题意;对于B,(6,8),则xy4,xy6,根据基本不等式得xy,不符合题意;对于C,(7,12),则xy6,xy7,根据基本不等式得xy,符合题意;对于D,则xy,xy3,根据基本不等式得xy,不符合题意故选A、C.12几何原本中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称之为“无字证明”如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CDAB,CEOD于点E,设ACa,BCb,
8、则该图形可以完成的“无字证明”为()A.(a0,b0)B.(a0,b0,ab)C.(a0,b0)D.(a0,b0,ab)解析:选D由ACa,BCb,可得半圆O的半径DO,易得DC,DE.DEDCDO,(a0,b0,ab)故选D.13已知不等式(xy)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为_解析:不等式(xy)9对任意正实数x,y恒成立,则(xy)(1)29,2,即a4,故正实数a的最小值为4.答案:414(1)已知a,b,cR,求证:(abc);(2)若0x1,a0,b0,求证:(ab)2.证明:(1) , (ab)(当且仅当ab时,等号成立)同理, (bc)(当且仅当bc时,等号成
9、立),(ac)(当且仅当ac时,等号成立)三式相加得 (ab)(bc)(ac)(abc)(当且仅当abc时,等号成立)(2)0x1,1x0.又a0,b0,左边(x1x)a2b2b2a2a2b22a2b22ab(ab)2右边.故(ab)2.C级拓展探究15志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AECE,ABAD,矩形的周长为8 cm.(1)设ABx cm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围;(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽解:(1)由题意可得AD(4x) cm,且x4x0,可得2x4.则CEAExDE,在RtADE中,AE2AD2DE2,即(xDE)2(4x)2DE2,化简得DE4(2x4)(2)SADEADDE(4x)22128,当且仅当x2时取等号,此时4x42,即队徽的长和宽分别为2 cm,(42) cm时,ADE的面积取得最大值7