1、平面向量及运算的坐标表示新知探究问题1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且a4，以向量i，j为基，如何表示向量a？a2 3i2j新知探究问题2 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位i，j作标准正交基xyOijaP(x，y)对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作a，请问向量a能用向量i，j表示吗？axiyj新知探究问题3 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A（1，1），则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a（1，1），则向量a的位置确定了吗？对于A点，若给定坐标为A（1，1），则A点位置确定对于向量a，给定a的坐标为a（1
2、，1），此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置不确定新知探究问题4 相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？由向量坐标的定义知：但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同相等向量的坐标一定相同，新知探究ab（x1x2）i（y1y2）j，ab（x1x2）i（y1y2）j，ax1iy1j问题5 设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a（x1，y1），b（x2，y2），则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a（R）如何分别用基底i，j表示？新知探究问题6 如图，已知已知A（x1，y1）
3、，B（x2，y2），如何求向量的坐标？因为=（x2，y2）（x1，y1）（x2x1，y2y1），所以（x2x1，y2y1）xyOAB11新知探究问题7 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB的中点M的坐标是多少？如图，=12 +=1+22,1+22，所以M的坐标为 1+22,1+22xyOABM新知探究问题8 已知下列几组向量：（1）a（1，3），b（2，6）；（2）a（1，2），b（3，4）；（3）a（1，），b（1，）1212上面几组向量中，a，b有什么关系？向量a，b共线吗？当ab时，a，b的坐标成比例吗？（1）中b2a，（2）中b3a，（3）中ba；（1）（2）（3）都共线
4、；a，b的坐标不为0时成比例新知探究问题9 在平面坐标系中，a（x1，y1），b（x2，y2），b0，若ab，则向量a，b的坐标有什么关系？因为ab，所以存在实数，使ab，所以（x1，y1）（x2，y2），所以 1=21=2，消去得x1y2x2y10初步应用例1 在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系，质点在平面内做直线运动先画出下列位移向量为基i，j下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标（1）向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；（2）向量b表示沿北偏西30方向移动了3个单位长度；（3）向量c表示沿南偏东60方向移动了4个单位长度解答：（1）a（2,
5、2）（2）b 32,3 32（3）c（2 3，2）例2 已知A（2，4），B（1，3），C（3，4），且=2+3，求点M的坐标初步应用解答：根据题意得=2 3，4 4=(1，8)，=1 3，3 4=(4，1)，于是=2+3=2 1，8+3(4，1)=2，16+12，3=14，19 设点M的坐标为(x,y)，则=(3,4)因此 3=14，4=19解得 =11，=15所以点M的坐标为(11,15)初步应用例3 已知O是坐标原点，（k，12），（4，5），（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？解答：依题意，得要使A，B，C三点共线，只需，共线，即解得 2或11所以当 2或11时，A，B，C
6、三点共线 （4，5）（，12）（4 ，7）（10，）（4，5）（6，5）（4 ）（5）6（7）0课堂练习练习：教科书第99页练习1，2，3，4，5归纳小结（1）如何求平面向量的坐标？（2）你认为平面向量坐标（线性）运算的方法是什么？问题10 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）向量的坐标等于终点的相应坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标求向量的坐标一般转化为求点的坐标，常常结合图形，利用三角函数的定义进行计算用基表示向量？平面向量基本定理好在哪里？归纳小结（1）如何求平面向量的坐标？（2）你认为平面向量坐标（线性）运算的方法是什么？问题
7、10 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（2）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算向量的线性坐标运算可类比数的运算进行用基表示向量？平面向量基本定理好在哪里？归纳小结（3）两平面向量共线的条件有几种形式？你能写出来吗？（4）你有什么困惑吗？问题10 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（3）2种，若a（x1，y1），b（x2，y2），则ab（a0）的条件是x1y2x2y10；若ab（a0），则ba（为实数）（4）困惑是：作业布置作业：教科书第100页，A组6，7，8，9，
8、；B组1，2，3，41目标检测 D设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若4i2j，3i4j，则2+的坐标是（）A（1，2）B（7，6）C（5，0）D（11，8）解析：因为（4，2），（3，4），所以2+（8，4）（3，4）（11，8）2目标检测 A已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（1，2），C（3，1），且=2，则顶点D的坐标为（）ABC（3，2）D（1，3）2,722,12设点D（m，n），则由题意得（4，3）2（m，n2）（2m，2n4），故&2=4&2 4=3解得，=2=722，72即点D ，故选A3目标检测 3若a（3，cos）
9、，b（3，sin），且ab，则锐角_解析：a（3，cos），b（3，sin），ab，3sin 3cos 0，即tan 3，又为锐角，故 34目标检测 已知向量（4，3），（3，1），点A（1，2）（1）求线段BD的中点M的坐标；（2）若点P（2，y）满足=（R），求与y的值解答：（1）设B（x1，y1），因为（4，3），A（1，2），所以（x11，y12）（4，3），即 1+1=41+2=3，解得 1=31=1，所以B（3，1）同理可得D（4，3）设BD的中点M（x2，y2），则x2 ，y21，3 42=121 32所以M 12,14目标检测 已知向量（4，3），（3，1），点A（1，2）（1）求线段BD的中点M的坐标；（2）若点P（2，y）满足=（R），求与y的值（2）由（3，1）（2，y）（1，1y），（4，3）（3，1）（7，4）即1=71 =4，解得 =17=37又=（R），所以（1，1y）（7，4）（7，4），再见
