1、广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、填空、选择题1、（潮州市2013届高三上学期期末）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为A B C D答案：D2、（佛山市2013届高三上学期期末）已知抛物线上一点P到焦点的距离是，则点P的横坐标是_ 答案：3、（广州市2013届高三上学期期末）圆上到直线的距离为的点的个数是 _ .答案：分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由右图所示，圆上到直线的距离为的点有4个4、（广州市2013届高三上学期期末）在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率
2、为 A B C D 答案：B5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为答案：6、（江门市2013届高三上学期期末）以抛物线的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准方程是A B C D答案：A7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 . 答案：8、（湛江市2013届高三上学期期末）已知点A是抛物线C1：y22px（p0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于答案：解析：9、（肇庆市2013届高三上学期期末）圆心在直线上
3、的圆C与轴交于两点、，则圆C的方程为_.解析： 直线AB的中垂线方程为，代入，得，故圆心的坐标为，再由两点间的距离公式求得半径， 圆C的方程为10、（中山市2013届高三上学期期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D答案：B12、（珠海市2013届高三上学期期末）如图，F1，F2是双曲线C：(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .答案：13、（江门市2013届高三上学期期末）与圆：关于直线：对称的圆的方程是 二、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）
4、已知点、，若动点满足 （1）求动点的轨迹； （2）在曲线上求一点，使点到直线：的距离最小解：（1）设动点，又点、， 3分由，得， 4分，故，即， 轨迹是焦点为、长轴长的椭圆； 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分（2）椭圆上的点到直线的距离的最值等于平行于直线：且与椭圆相切的直线与直线的距离 设直线的方程为 8分 由，消去得 （*）依题意得，即，故，解得当时，直线：，直线与的距离当时，直线：，直线与的距离由于，故曲线上的点到直线的距离的最小值为12分当时，方程（*）化为，即，解得由，得，故 13分曲线上的点到直线的距离最小 14分2、（佛山市2013届高三上学期期末
5、）设椭圆的左右顶点分别为，离心率过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且（1）求椭圆的方程；（2）求动点的轨迹的方程；（3）设直线（点不同于）与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论解析：（1）由题意可得， -2分，所以椭圆的方程为 -4分（2）设，由题意得，即， -6分又，代入得，即即动点的轨迹的方程为 -8分（3）设，点的坐标为，三点共线，而，则， 点的坐标为，点的坐标为， -10分直线的斜率为，而， -12分直线的方程为，化简得，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切 -14分3、（广州市2013届高三上学期期末）如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两
6、点，与交于点.(1) 求点的轨迹方程；(2) 求四边形的面积的最小值.解法一:（1）解：设， ， 是线段的中点. 2分 ， 3分 . 4分 ， . . 5分 依题意知， . 6分把、代入得：，即. 7分点的轨迹方程为. 8分 (2)解：依题意得四边形是矩形， 四边形的面积为 9分 . 11分，当且仅当时，等号成立， 12分. 13分四边形的面积的最小值为. 14分解法二:(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为, 由于,则直线的斜率为. 1分 故直线的方程为,直线的方程为. 由 消去,得. 解得或. 2分 点的坐标为. 3分 同理得点的坐标为. 4分 ， 是线段的中点. 5分 设点的
7、坐标为, 则 6分 消去,得. 7分点的轨迹方程为. 8分(2)解：依题意得四边形是矩形， 四边形的面积为 9分 10分 11分 . 12分当且仅当,即时,等号成立. 13分四边形的面积的最小值为. 14分4、（惠州市2013届高三上学期期末）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值解：（1）由题设知，1分由，得，3分解得所以椭圆的方程为4分（2）方法1：设圆的圆心为，则 6分 7分8分从而求的最大值转化为求的最大值9分因为是椭圆上的任意一点，设，10分所以，即11分因为点，所以1
8、2分因为，所以当时，取得最大值1213分所以的最大值为1114分方法2：设点，因为的中点坐标为，所以 6分所以7分 9分因为点在圆上，所以，即10分因为点在椭圆上，所以，即11分所以12分因为，所以当时，14分方法3：若直线的斜率存在，设的方程为，6分由，解得7分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即8分所以， 9分所以 10分因为，所以当时，取得最大值1111分若直线的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或不妨设， 12分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即所以，所以 因为，所以当时，取得最大值1113分综上可知，的最大值为1114分5、（江门市2013届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，是平
9、面上一点，使三角形的周长为求点的轨迹方程；在点的轨迹上是否存在点、，使得顺次连接点、所得到的四边形是矩形？若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请简要说明理由解：依题意，1分，所以，点的轨迹是椭圆2分，3分，所以，椭圆的方程为4分，因为是三角形，点不在直线上（即不在轴上），所以点的轨迹方程为（）5分根据椭圆的对称性，是矩形当且仅当直线经过原点，且是直角6分，此时（或）7分，设，则9分，解得，10分，所以有2个这样的矩形，对应的点、分别为、或、12分6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知椭圆： （）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，
10、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；（3）设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标 解：（1）解：由，得，再由，解得 1分由题意可知，即 2分解方程组得 3分所以椭圆C1的方程是 3分（2）因为，所以动点到定直线的距离等于它到定点（1，0）的距离，所以动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，6分所以点的轨迹的方程为 7分（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以ORS = 90，即 8分设S （，），R（，），（-，-），=（，）所以因为，化简得 10分所以，当且仅当即16，y
11、24时等号成立. 12分圆的直径|OS|=因为64，所以当64即=8时， 13分所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，8）14分 7、（增城市2013届高三上学期期末）已知点是圆上的动点，圆心为，是圆内的定点；的中垂线交于点（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线交轨迹于与轴、轴都不平行）两点，为的中点，求的值（为坐标系原点）（1）解：由条件知： 1分 2分 3分 4分所以点的轨迹是以为焦点的椭圆 5分 6分所以点的轨迹的方程是 7分（2） 解：设，则 8分 9分 10分 11分 13分 14分或解：设，直线的方程为则 8分 9分 10分将代入椭圆方程得： 11分 12分 13分所以 14
12、分8、（湛江市2013届高三上学期期末）如图，已知点M0（x0，y0）是椭圆C：1上的动点，以M0为切点的切线l0与直线y2相交于点P。（1）过点M0且l0与垂直的直线为l1，求l1与y轴交点纵坐标的取值范围；（2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM0为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。解：（1）由椭圆得：，切线的斜率为：k，所以，直线l1的方程为：，与y轴交点纵坐标为：y因为，所以，所以，当切点在第一、二象限时l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：，则对称性可知l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：。（2）依题意，可得PTM090，设存在T（0，t），M0（x0，y0）由
13、（1）得点P的坐标（,2）,由可求得t1所以存在点T（0,1）满足条件。9、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且.(1）求动点的轨迹M的方程；（2）是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）两圆的圆心坐标分别为和 （2分） 根据椭圆的定义可知，动点的轨迹为以原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆， （4分） 椭圆的方程为，即动点的轨迹M的方程为 (6分)（2）(i)当直线l的斜率不存在时，易知点在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在。（7分）（ii）设直线l斜率存在，设为，则直
14、线l的方程为 （8分） 由方程组得 （9分） 依题意解得 （10分）当时，设交点，CD的中点为，方程的解为 ，则 （11分）要使，必须，即 （12分），即 或，无解 （13分）所以不存在直线，使得综上所述，不存在直线l，使得 （14分）10、（珠海市2013届高三上学期期末）已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标解：（）解：由题设得 2分 解得： ， 3分故的方程为. 5分 离心率 6分（2） 直线的方程为， 7分 设点关于直线对称的点为，则（联立方程正确，可得分至8分）所以点的坐标为 9分， 10分的最小值为 11分直线的方程为 即 12分由，所以此时点的坐标为 14分 高考资源网%
