1、新课程标准解读核心素养1.能够利用导数的运算法则推导出简单复合函数f(axb)的导数，并能利用它求其他复合函数的导数2.会用复合函数的导数求解相关问题1数学抽象：复合函数的概念2数学运算：求复合函数的导数情境导入 假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且yf(u)60uu2，ug(x)603x.那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y60uu260(603x)(603x)2180 x9x2.上式也可这样得到：f(g(x)60g(x)g(x)2180 x9x2.问题(1)函数f(g(x)与f(x)和g(x)是什么关系？(2)设yf(g(x)180 x9x2，求y
2、，并观察f(u)和ug(x)的关系1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作y_f(g(x)函数内函数外函数复合函数定义域值 域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)xAxAUDUDyByB如 yln(x2)可以看着是ylnu和u=x2复合而成的 y22x1是y2u和u=2x1复合而成的 y=(3x-2)2是yu2和u=3x2复合而成的y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数2复合函数的概念求导法则：一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导
3、数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_即y对x的导数等于_的导数与 _的导数的乘积yuuxy对uu对x求复合函数的导数应处理好以下环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数 探究点1 求复合函数的导数例1求下列函数的导数(1)yecos x1；(2)ylog2(2x1)；(1)设yeu，ucos x1，则yxyuuxeu(sin x)ecos x1sin x.(2)设ylog2u，u2x1，则yxyuux2u ln 22
4、(2x1)ln 2.(3)y2sin(3x6)(4)y112x.(3)设 y2sin u，u3x6，则yxyuux 2cos u36cos(3x6).(4)设 yu12，u12x，则yxyuux(u12)(12x)12 u32(2)(12x)32.练习：(1)y5log2(1x)；(2)ysin(3x6).(2)设 ysin u，u3x6，则 yx(sin u)(3x6)cos u33cos(3x6).设y5log2u，u1xyxyuux5(log2u)(1x)5u ln 2 5(x1)ln 2.探究点2 复合函数求导的应用例2求下列函数的导数：(1)yln 3xex；(2)yx 1x2；(1
5、)因为(ln 3x)13x(3x)1x，所以 y(ln 3x)ex(ln 3x)(ex)(ex)21xln 3xex1x ln 3xxex.(2)y(x 1x2)x 1x2 x(1x2)1x2 x21x2(12x2)1x21x2.探究点3 与切线有关的综合问题 例 3 曲线 yex12sin(2x)在点(1，1)处的切线方程为()Axy0Bexye10Cexye10Dxy20yex1cos(2x)，当x1时，y1，所以所求切线方程为y1x1，即xy20例 4(链接教科书第 81 页练习 3 题)(1)曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是()A 5B2 5C3 5D0(2
6、)设曲线 yeax在点(0，1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_(1)设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y22x1，y|xx022x012，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1，0)切点(1，0)到直线2xy30的距离为 d|203|41 5，(2)曲线yeax在点(0，1)处的切线的斜率为f(0)，f(0)ae0a，又切线与直线x2y10垂直，f(0)2故a2.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系式为求函数y在t3 s时的导数，并解释它的实际意义y18sin(23 t2).函数 y18sin(23
7、 t2)可以看作函数y18sin u和 u23 t2的复合函数，根据复合函数的求导法则，有ytyu ut(18sin u)(23 t2)18cos u23 12cos(23 t2).当t3时，yt12cos 32 0.它表示当t3 s时，弹簧振子振动的瞬时速度为 0 mm/s.练习：1已知函数 f(x)ex2(2x1)4，则 f(0)()Ae2B1C7e2D9e2(ex2)ex2，f(x)ex2(2x1)48ex2(2x1)3f(0)e28e27e2，2已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为()A1B2C1D2设切点坐标是(x0，x01)，依题意有1x0a1，x01ln（x0a），由此得x010，x01，a2.3已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)的解析式为_，曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_设x0，则x0)当 x0 时，f(x)1x3，f(1)2，切线方程为y2x1.