1、第11讲 直角三角形全等的判定【知识点睛】v “HL”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等v Rt是特殊的三角形，所以三角形全等的判定方法对于直角三角形全部适用，故两直角三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【类题训练】1如图，BFCE，AEBC，DFBC，添加一个条件_，即可证明RtABERtDCF下列添加的条件不正确的是（）AABDCBAEBFCEAFDDAD【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答【解答】解：AEBC，DFBC，DFCAEB90，BFCE，BFEFCEEF，BECF，A、ABDC，BECF，DFCAEB90，RtABERtDCF（HL
2、），故A不符合题意；B、AEBF，BECF，DFCAEB90，RtABE和RtDCF不一定全等，故B符合题意；C、EADF，BECF，DFCAEB90，RtABERtDCF（SAS），故C不符合题意；D、AD，BECF，DFCAEB90，RtABERtDCF（AAS），故D不符合题意；故选：B2下列说法不正确的是（）A两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等C斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等D有两边相等的两个直角三角形全等【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角
3、形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；故选：D3如图，已知ABDC，BEAD于点E，CFAD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断RtABERtDCF的是（）BCABCDBECFAFDEABCD【分析】根据BEAD，CFAD，可得AEBCFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可
4、【解答】解：BEAD，CFAD，ABDC，AEBCFD，选择可利用AAS定理证明RtABERtDCF；选择可得AD，可利用AAS定理证明RtABERtDCF；选择可利用HL定理证明RtABERtDCF；选择可得AEDF，可利用HL定理证明RtABERtDCF故选：D4如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（）ASSSBSASCASADHL【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边根据三角形的判定方法ASA可解决此题故选：C5已知RtABC中，C90，B30，AB4，则下列各图中的直角三角形与RtAB
5、C全等的是（）ABCD【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL可筛选出答案【解答】解：A、RtABC中，C90，B30，A60，AC2，此选项利用ASA能判定三角形全等，故此选项正确；B、只有一对边与一对角相等不能判定三角形全等，故此选项错误；C、C90，B30，AB4，AC2，是30角所对的直角边，而此选项中是60角所对的直角边是2，不能判定三角形全等，故此选项错误；D、此选项对应边不相等，不能判定三角形全等，故此选项错误故选：A6如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PRAB于R点，作PSAC于S点，若AQPQ，PRPS，下面三个结论：ASAR；QPA
6、R；BRPCSP，正确的是（）A和B和C和D，和【分析】根据角平分线的判定，先证AP是BAC的平分线，再证APRAPS（HL），可证得ASAR，QPAR成立【解答】解：连接AP，PRPS，AP是BAC的平分线，APRAPS（HL）ASAR，正确AQPQBAPQAPQPAQPAR，正确BC只是过点P，并没有固定，明显BRPCSP不成立故选：C7如图，ODAB于D，OPAC于P，且ODOP，则AOD与AOP全等的理由是（）ASSSBASACSSADHL【分析】根据直角三角形全等的判别方法HL可证AODAOP【解答】解：ODAB且OPAC，ADO和OPO是直角三角形，又ODOP且AOAOAODAOP
7、（HL）故选：D8已知如图，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BC3，则ADE的面积为（）A1B2C5D无法确定【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出ADE的面积过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出RtEDFRtCDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，EDF+FDC90，GDC+FDC90，EDFGDC，于是在RtEDF和RtCDG中，DEFDCG，EFCGBCBGBCAD321，所以，SADE（ADEF）2（21）21
8、故选：A9如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于F，若BFAC，则ABC的大小是（）A40B45C50D60【分析】先利用AAS判定BDFADC，从而得出BDDA，即ABD为等腰直角三角形所以得出ABC45【解答】解：ADBC于D，BEAC于E，BEAADC90FBD+BFD90，AFE+FAE90，BFDAFE，FBDFAE，在BDF和ADC中，BDFADC（AAS），BDAD，ABCBAD45，故选：B10如图所示，三角形ABC的面积为1cm2AP垂直B的平分线BP于P则与三角形PBC的面积相等的长方形是（）ABCD【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直B的平分线B
9、P于P，即可求出ABPBEP，又知APC和CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积【解答】解：延长AP交BC于点E，AP垂直B的平分线BP于P，ABPEBP，又知BPBP，APBBPE90，ABPBEP，APPE，APC和CPE等底同高，SAPCSPCE，三角形PBC的面积三角形ABC的面积cm2，选项中只有B的长方形面积为cm2，故选：B11如图，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米，点G在线段AB上则CDE的面积是平方厘米【分析】过E作EHCD于H，根据正方形性质求出DEDG，HA，求出HDEGAD，推出DAGDHE，推出HEAG，根
10、据勾股定理求出AG，根据三角形面积公式求出即可【解答】解：过E作EHCD于H，四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米DGDE（厘米），ADCD3（厘米），ADHEADCGDE90，HDEGDA90ADE，在RtDAG中，A90，DG厘米，AD3厘米，由勾股定理得：AG2厘米，在DAG和DHE中DAGDHE（AAS），HEAG2厘米，CDE的面积是CDEH323（平方厘米），故答案为：312如图，C90，AC10，BC5，AXAC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且ABPQ，当点P运动到AP，ABC与APQ全等【分析】分两种情况：当APB
11、C5时；当APCA10时；由HL证明RtABCRtPQA（HL）；即可得出结果【解答】解：AXAC，PAQ90，CPAQ90，分两种情况：当APBC5时，在RtABC和RtQPA中，RtABCRtQPA（HL）；当APCA10时，在ABC和PQA中，RtABCRtPQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP5或10时，ABC与APQ全等；故答案为：5或1013如图所示，CD90，可使用“HL”判定RtABC与RtABD全等，则应添加一个条件是【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BCBD【解答】解：条件是ACAD，CD90，在RtABC和RtABD中RtABCRtABD（HL），故
12、答案为：ACAD14如图，MNPQ，ABPQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC7，ADEB，DEEC，则AB【分析】可判定ADEBCE，从而得出AEBC，则ABAD+BC【解答】解：MNPQ，ABPQ，ABMN，DAEEBC90，在RtADE和RtBCE中，ADEBEC（HL），AEBC，AD+BC7，ABAE+BEAD+BC7故答案为715如图，ABC中，ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有 对【分析】ADOAEO，DOCEOB，COFBOF，ACFABF，ADBAEC，BCECBD，利用全等
13、三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证【解答】解：BDAC，CEAB，ADBAEC90，ACAB，CAEBAD，AECADB（AAS）；CEBD，ACAB，CBEBCD，BECCDB90，BCECBD（AAS）；BECD，ADAE，AOAO，RtAODRtAOE（HL）；DOCEOB，CODBOE（AAS）；OBOC，ABAC，CFBF，AFBC，ACFABF（SSS），COFBOF（SSS），综上所述，共有6对全等的直角三角形故答案是：616如图，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D
14、（1）求证：AECD；（2）若AC12cm，求BD的长【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答（2）由（1）得BDECBCAC，且AC12，即可求出BD的长【解答】（1）证明：DBBC，CFAE，DCB+DDCB+AEC90DAEC又DBCECA90，且BCCA，在DBC和ECA中，DBCECA（AAS）AECD（2）解：CDBAEC，BDCE，AE是BC边上的中线，BDECBCAC，且AC12cmBD6cm17如图，已知在ABC中，ABAC，BAC
15、90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F（1）如图过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EFBE+CF；（2）如图过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE10，CF3，求：FE长【分析】（1）此题根据已知条件容易证明BEAAFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道BEAAFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了【解答】（1）证明：BEEA，CFAF，BACBEACFE90，EAB+CAF90，EBA+EAB90，CAFEBA，在ABE和AFC中，BEAAFC90，EBACAF，ABAC，BEAAFC（AAS）EAFC，BEAFEFEB+CF（
16、2）解：BEEA，CFAF，BACBEACFE90，EAB+CAF90，ABE+EAB90，CAFABE，在ABE和AFC中，BEAAFC90，EBACAF，ABAC，BEAAFC（AAS）EAFC3，BEAF10EFAFCF103718在ABC中，OEAB，OFAC且OEOF（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明ABAC；（2）如图，当点O在ABC内部时，且OBOC，试说明AB与AC的关系；（3）当点O在ABC外部时，且OBOC，试判断AB与AC的关系（画出图形，写出结果即可，无需说明理由）【分析】（1）证BOECOF，可得BC，通过等角对等边，得出ABAC；（2）与（1）类似，在证得BO
17、ECOF后，得OBEOCF，OBOC；则OBCOCB，可证得ABCACB，根据等角对等边得出ABAC；（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与A的角平分线重合时，ABAC的结论才成立（等腰三角形三线合一）【解答】（1）证明：OEOF，OBOC，RtOBERtOCF（HL）；BC，ABAC（2）解：ABAC证明：同（1）可证得RtOBERtOCF；OBEOCF；OBOC，OBCOCB；ABCACB；ABAC（3）解：当BC的垂直平分线与A的平分线重合时，ABAC成立；当BC的垂直平分线与A的平分线不在一条直线上时，结论不成立（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）19如图，在等腰RtABC
18、中，ACB90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF（1）求证：CDBF；（2）求证：ADCF；（3）连接AF，试判断ACF的形状【分析】（1）由平行可求得CBF90，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BFBD，可得BFCD；（2）结合（1）的结论，可证明ACDCBF，可得DCGCAD，可证明CGD90，可得结论；（3）由（2）可得CFAD，又AB垂直平分DF，可得ADAF，可证明CFAF，可知ACF为等腰三角形【解答】（1）证明：ACBF，且ACB90，CBF90，又ACBC，DBA45，DEAB，DEBBEFDBF90，BDEBFE45，BDBF，又D为BC中点，CDBD，CDBF；（2）证明：由（1）可知CDBF，且CACB，ACBCBF90，在ACD和CBF中ACDCBF（SAS），CADBCF，ACB90，CAD+CDA90，BCF+CDA90，CGD90，ADCF；（3）解：连接AF由（2）可知ACDCBF，ADCF，由（1）可知AB垂直平分DF，ADAF，AFCF，ACF为等腰三角形
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