1、第2讲全等三角形的性质与判定专题探究考点一全等三角形的性质及其应用【知识点睛】v 全等三角形的对应边相等，对应角相等v 推论：全等三角形等边边上的高线、中线、对应角的角平分线分别相等全等三角形的面积和周长也分别相等【类题训练】1（泗阳县期末）若ABCDEF，且A50，B60，则F的度数为（）A50B60C70D80【分析】根据全等三角形的性质得出DA50，EB60，再根据三角形内角和定理求出F即可【解答】解：ABCDEF，A50，B60，DA50，EB60，F180DE180506070，故选：C2（张店区一模）如图，ABCDEC，点E在AB边上，B70，则BCE的度数为（）A30B40C45
2、D50【分析】根据全等三角形的性质可得CECB，进一步可得CEBB70，再根据三角形内角和定理即可求出BCE的度数【解答】解：ABCDEC，CECB，B70，CEB70，BCE180707040，故选：B3（澄城县期末）如图点D、E在BC上，ABEACD，BC10，DE4，则BD的长是（）A6B5C4D3【分析】由全等三角形的性质可得BECD，然后求得CD的长，从而求得BD的长即可求解【解答】解：ABEACD，BECD，BE+CDBC+DE14，2CD14，CD7，BDBCDC1073，故选：D4（凉山州期末）如图，已知ABEACD，12，BC，不正确的等式是（）AABACBBAECADCBE
3、DCDADDE【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断【解答】解：ABEACD，12，BC，ABAC，BAECAD，BEDC，ADAE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误故选：D5（东台市期末）已知ABC的三边长分别为3，4，5，DEF的三边长分别为3，3x2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（）A2B2或C或D2或或【分析】首先根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】解：ABC与DEF全等，3+4+53+3x2+2x+1，解得：x2，故选：A6（信都区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则1与2的和为（）
4、A100B90C60D45【分析】根据全等三角形的性质可得1AEDF，再根据余角的定义可得EDF+290，再根据等量代换可得1与2的和为90【解答】解：在ABC和FDE中，ABCFDE（SAS），1EDF，EDF+290，1+290，故选：B7（鄂州期末）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则1+2+3的大小为135（度）【分析】首先利用SAS定理判定ABCDBE，根据全等三角形的性质可得3ACB，再由ACB+11+390，可得1+2+390【解答】解：在ABC和DBE中，ABCDBE（SAS），3ACB，ACB+190，1+390，1+2+390+45135，故答案为：1358（渠县校级开
5、学）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD0.5，BC1，则AF6【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有AF4AD+4BC40.5+416【解答】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF4AD+4BC40.5+416，故答案为：69（单县期末）如图，ABDEBC，则下列结论中：CDAE；ADCE；EADECD；正确的有（只填序号）【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题【解答】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，ABDEBC，ABDEBC，ABEB，BDBC
6、，DABCEB，ABD+EBC180，BAEBEA，BDCBCD，ABDEBC90，BAEBEA45，BDCBCD45，BAE+BCD90，AMC90，CDAE，故正确；CEB+ECB90，BADBEC，BAD+ECB90，ANC90，ADCE，故正确；ADBEAD+AEDEAD+45，ECBECD+BCDECD+45，ADBECB，EADECD，故正确；故答案为：10（绥棱县期末）如图，已知ABCEDF，点F，A，D在同一条直线上，AD是BAC的平分线，EDA20，F60，则DAC的度数是50【分析】根据全等三角形的性质得出BEDF，CF，根据三角形内角和定理求出BAC，再根据角平分线的定义
7、求出即可【解答】解：ABCEDF，BEDF，CF，EDA20，F60，B20，C60，BAC180BC100，AD是BAC的平分线，DACBAC50，故答案为：5011（沙坪坝区校级期末）如图，ABCADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，ACBAED105，CAD5，B50，则DEF的度数30【分析】由ACB的内角和定理求得CAB25；然后由全等三角形的对应角相等得到EADCAB25则结合已知条件易求EAB的度数；最后利用AEB的内角和是180度和图形来求DEF的度数【解答】解：ACB105，B50，CAB180BACB1805010525又ABCADE，EADCAB25又EAB
8、EAD+CAD+CAB，CAD5，EAB25+5+2555，AEB180EABB180555075，DEFAEDAEB1057530故答案为：3012如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置，AB10，DO4，平移距离为6，则阴影部分面积为48【分析】根据平移的性质得出BE6，DEAB10，则OE6，则阴影部分面积S四边形ODFCS梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解【解答】解：由平移的性质知，BE6，DEAB10，OEDEDO1046，S四边形ODFCS梯形ABEO（AB+OE）BE（10+6）648故答案为4813（珠海二模）如图，A
9、BEDCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，FA，求证：ADBF【分析】根据ABEDCE得到AADC，然后利用FA得到FEDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论【解答】证明：ABEDCE，AADC，FA，FEDC，ADBF14（宏伟区期中）BD90，ABCCDE，B、C、D三点共线试说明：ACE90【分析】根据RtABCRtCDE可得BCACED，再根据直角三角形两锐角互余可得CED+ECD90，进而得到BCA+ECD90，再根据角之间的关系可得ACE90【解答】证明：RtABCRtCDE，BCACED，DCE是直角三角形，CED+ECD90，BCA+ECD90，ACE18090901
10、5（西湖区校级月考）如图，ABCADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且DAC10，BD25，EAB120，求DFB和DGB的度数【分析】先根据全等三角形的性质得BACDAE，由于DAE+CAD+BAC120，则可计算出BAC55，所以BAFBAC+CAD65，根据三角形外角性质可得DFBBAF+B90，DGB65【解答】解：ABCADE，BACDAE，EAB120，DAE+CAD+BAC120，CAD10，BAC（12010）55，BAFBAC+CAD65，DFBBAF+B65+2590；DFBD+DGB，DGB902565考点二全等三角形的判定及选择【知识点睛】v 全等三角形的判
11、定的书写步骤：.推导条件；罗列条件；得到全等v 全等三角形的判定方法v 全等三角形判定方法的选择：简写选择证明条件判定方法已知两组对应边相等夹角相等SAS第三边相等SSS已知一角和相邻一边对应相等相等边的对角相等AAS相等边的邻角相等ASA已知两角对应相等夹边相等ASA其中一个等角的对边相等AASv 特别注意：1. 几何题目中，注意隐含条件的充分利用（如平角=180、对顶角相等、三角形内角和为180、公共边、公共角等）2. 全等三角形的判定问题中，牢记两句话：证边相等，就证它们所在的三角形全等；证角相等，就证它们所在的三角形全等【类题训练】1（湖州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中
12、蕴含着数学知识如图是油纸伞的张开示意图，AEAF，GEGF，则AEGAFG的依据是（）ASASBASACAASDSSS【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可【解答】解：在AEG和AFG中，AEGAFG（SSS），故选：D2（河源模拟）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，ACDF，ACDF，添加以下条件，仍不能使ABCDEF的是（）AADBABDECABDEDBFEC【分析】根据平行线的性质得出ACBDFE，BE，根据BFCE求出BCEF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可【解答】解：ACDF，ACBDFE，AAD，ACDF，ACBDFE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出ABCDE
13、F，故本选项不符合题意；BABDE，ACDF，ACBDFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出ABCDEF，故本选项符合题意；CABDE，BE，BE，ACBDFE，ACDF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意；DBFCE，BF+CFCE+CF，即BCEF，BCEF，ACBDFE，ACDF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意；故选：B3（武冈市期末）如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（）AASABAASCSASDSSS【分析】根据全等三角形的判定，
14、已知两角和夹边，就可以确定一个三角形【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的故选：A4（渭南模拟）如图，BDBC，BECA，DBEC62，BDE75，则AFE的度数等于（）A148B140C135D128【分析】证明ABCEDB（SAS），求出AE43，求出ADE，则答案可求出【解答】解：BDBC，BECA，DBEC，ABCEDB（SAS），AE，DBE62，BDE75，E180627543，A43，BDE+ADE180，ADE105，AFEADE+A105+43148故选：A5（
15、玉屏县期末）如图，ADMNBC，ADC90，ADBC，那么，图中的全等三角形共有（）A1对B2对C3对D4对【分析】根据平行线的性质得出ADC+BCD90，MNDBCD，MNCADC，求出BCDMNCMND90ADC，再根据全等三角形的判定定理SAS推出ADCBCD，根据全等三角形的性质定理得出ACBD，AB，根据全等三角形的判定定理AAS推出ADMBCM，根据全等三角形的性质得出DMCM，求出DNCN，再根据全等三角形的判定定理SSS得出MDNMCN即可【解答】解：ADMNBC，ADC+BCD90，MNDBCD，MNCADC，ADC90，BCDMNCMND90ADC，在ADC和BCD中，AD
16、CBCD（SAS），ACBD，AB，在ADM和BCM中，ADMBCM（AAS），DMCM，MNDC，DNCN，在MDN和MCN中，MDNMCN（SSS），即全等三角形有3对，故选：C6（历下区期中）如图，小明想测量池塘两端A，B间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识，用了这样一个间接测量A，B间的距离方法：在地上取一点可以直接到达A点和B点的点C，测得AC长20m，BC长为20m，在AC的延长线上找一点D，使得CD长为20m，在BC的延长线上找一点E，使得CE长为20m，又测得此时D和E的距离为25m，根据小明的数据，可知A，B之间的距离为25m【分析】由题意知ACDC，BCEC，根
17、据ACBDCE即可证明ABCDEC，即可得ABDE，即可解题【解答】解：由题意知ACDC，BCEC，且ACBDCE，在ABC和DEC中，ABCDEC（SAS），DEAB，DE25m，AB25m故答案为：257（长安区二模）已知：如图，在ABC中，三角形的两条高AH，CG交于点F，且AGCG，求证：GFGB【分析】由“ASA”可证AGFCGB，可得GFGB【解答】证明：三角形的两条高AH，CG交于点F，AGCAHB90，B+BAH90B+BCG，BAHBCG，在AGF和CGB中，AGFCGB（ASA），FGBG8（雁塔区校级模拟）如图，D是ABC的边AB上一点，CFAB，DF交AC于E点，E为A
18、C中点求证：ADCF【分析】由CFAB得ADEF，AECF，再由E为AC中点，证得ADECFE（AAS），即可得出结论【解答】证明：CFAB，ADEF，AECF，E为AC中点AECE，在ADE和CFE中，ADECFE（AAS），ADCF9（郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，ABEC，ABDBCE，且ADBE（1）证明：ABDECB；ADBC；（2）若BC15，AD6，请求出DE的长度【分析】（1）由AAS证明ABD与ECB全等即可；根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据ABD与ECB全等的性质解答即可【解答】（1）证明：在ABD与ECB中，ABD
19、ECB（AAS）；由得，ABDECB，ADBEBC，ADBC；（2）解：ABDECB，BDBC15，BEAD6，DEBDBE156910（二七区校级期中）如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分DAB和CBA，点F在线段AB上运动，AD4cm，BC3cm，且ADBC（1）当点F运动到离点A多少厘米时，ADE和AFE全等？为什么？（2）在（1）的情况下，此时BFBC吗？为什么？求出AB的长【分析】（1）当点F运动到离点A为4cm（即AFAD4cm）时，即可证明ADEAFE；（2）证明ECBEFB，可得BFBC再由AFAD4cm，BFBC3cm，即可得AB的长【解答】解：（1）当点F运动到离点A
20、为4cm（即AFAD4cm）时，ADEAFE，理由如下：EA、EB分别平分DAB和CBA，DAEFAE，FBECBE，在AFE与ADE中，AFEADE（SAS）；（2）BFBC，理由如下：AFEADE，DAFE，ADBC，D+C180，AFE+BFE180，CBFE，在ECB与EFB中，ECBEFB（AAS），BFBC；AFAD4cm，BFBC3cm，ABAF+BF3+47（cm）11（前进区一模）已知：AD是ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BDDE，过点E作EFAB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图易证AF+EFAB；当点F在边AC上，如图；当点F在边AC的延长线上，
21、AD是ABC的外角平分线时，如图写出AF、EF与AB的数量关系，并对图进行证明【分析】（1）延长AD、EF交于点G，根据角平分线可得BADCAD，再由平行线性质可得GBAD，等量代换可得GCAD，利用等角对等边可得：FGAF，再证明ABDGED（AAS），即可证得结论；（2）如图2，延长AD、EF交于点G，运用角平分线和平行线证得FGAF，再证明ABDGED（AAS），即可证得结论；（3）如图3，延长AD交EF于点G，运用角平分线和平行线证得FGAF，再证明ABDGED（AAS），即可证得结论【解答】（1）证明：如图，延长AD、EF交于点G，AD平分BAC，BADCAD，EFAB，GBAD，G
22、CAD，FGAF，在ABD和GED中，ABDGED（AAS），ABGE，GEFG+EFAF+EF，AF+EFAB；（2）结论：AFEFAB证明：如图，延长AD、EF交于点G，AD平分BAC，BADCAD，EFAB，GBAD，GCAD，FGAF，在ABD和GED中，ABDGED（AAS），ABGE，GEFGEFAFEF，AFEFAB；（3）结论：EFAFAB证明：如图，延长AD交EF于点G，AD平分PAC，PADCAD，EFAB，AGFPAD，AGFCAD，ABDGED，FGAF，在ABD和GED中，ABDGED（ASA），ABGE，EFFGGE，EFAFAB；考点三全等三角形的性质与判定的综合
23、【知识点睛】全等三角形的性质与判定常常一起考察，通常问题中判定出两三角形全等之后，紧跟着就要用到全等三角形的性质【类题训练】1（江州区期末）在ABC中，AC5，中线AD4，那么边AB的取值范围为（）A1AB9B3AB13C5AB13D9AB13【分析】作辅助线（延长AD至E，使DEAD4，连接BE）构建全等三角形BDEADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BEAC5；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围【解答】解：延长AD至E，使DEAD4，连接BE则AE8，AD是边BC上的中线，D是中点，BDCD；又DEAD，BDEADC，BDEADC，BE
24、AC5；由三角形三边关系，得AEBEABAE+BE，即85AB8+5，3AB13；故选：B2（虎林市期末）如图，AD是ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DEDF，连接BF，CE、下列说法：CEBF；ABD和ACD面积相等；BFCE；BDFCDE其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案【解答】解：AD是ABC的中线，BDCD，又CDEBDF，DEDF，BDFCDE，故正确；由BDFCDE，可知CEBF，故正确；AD是ABC的中线，ABD和ACD等底等高，ABD和ACD面积相等，故正确；由BDFCD
25、E，可知FBDECDBFCE，故正确故选：D3（铁岭期中）如图，已知等边ABC中，BDCE，AD与BE相交于点P，则BPD的度数为（）A45B55C60D75【分析】根据等边三角形性质得出ABDC60，ABBC，证出ABDBCE，根据全等三角形的性质得出BADCBE，根据三角形外角性质得出BPDABE+BADABE+CBEABC，即可得出答案【解答】解：ABC是等边三角形，ABDC60，ABBC，在ABD和BCE中，ABDBCE（SAS），BADCBE，BPDABE+BADABE+CBEABC60故选：C4（南平期末）已知：如图，在ABC，ADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE，点C，
26、D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE以下四个结论：BDCE；ACE+DBC45；BDCE；BAE+DAC180其中结论正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】由ABAC，ADAE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BDCE，本选项正确；由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到ABD+DBC45，等量代换得到ACE+DBC45，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案【解答】解：BACDAE90，BAC+CADDAE+CA
27、D，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE，本选项正确；ABC为等腰直角三角形，ABCACB45，ABD+DBC45，BADCAE，ABDACE，ACE+DBC45，本选项正确；ABD+DBC45，ACE+DBC45，DBC+DCBDBC+ACE+ACB90，则BDCE，本选项正确；BACDAE90，BAE+DAC3609090180，故此选项正确，故选：D5（宁波期末）如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（）A长方形AEFDB长方形BEGHC正方形CFGHD长方形BCFE【分析】根据矩形的性质得到S
28、GDFSBGE，所以S阴影S矩形BCFE【解答】解：如图所示：在GDF与BGE中，GDFBGE（SAS）SGDFSBEG，则S阴影SEFBS矩形BCFE所以只要知道长方形BCFE的面积即可求得答案故选：D6（沙坪坝区校级月考）如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，SAEH6，则CH的长是（）AB1CD2【分析】先根据AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CEHE即可求出CH的长度【解答】解：CEAB，AEC90，AE4，ADBC，ADC90，又AHECHD，EAHECB，在BEC和HEA中，BECHEA（AAS
29、），AECE4，CHCEEH431，故选：B7（勃利县期末）如图所示，ABAC，ADAE，BACDAE，125，230，则355【分析】求出BADEAC，证BADCAE，推出2ABD30，根据三角形的外角性质求出即可【解答】解：BACDAE，BACDACDAEDAC，1EAC，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），2ABD30，125，31+ABD25+3055，故答案为：558（高州市期末）如图，CB为ACE的平分线，F是线段CB上一点，CACF，BE，延长EF与线段AC相交于点D（1）求证：ABFE；（2）若EDAC，ABCE，求A的度数【分析】（1）先根据角平分线的定义得出ACBFCE，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；（2）根据平行线的性质得出BFCE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答即可【解答】证明：（1）CB为ACE的角平分线，ACBFCE，在ABC与FEC中，ABCFEC（AAS），ABFE；（2）ABCE，BFCE，EBFCEACB，EDAC，即CDE90，E+FCE+ACB90，即3ACB90，ACB30，B30，A180BACB1803030120
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