1、三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十四章 推理与证明 一、选择题1. 【2015高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ） A大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即或时命题成立，由此可排除、，故选【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确
2、答案，由于时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除、，又当时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除2. 【2014福建,理10】用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. B.C. D.【答案】A考点：1.新定义.2.二项式展开式.【名师点睛】解决本题的关
3、键是读懂题意，盯住关键字眼，就可以快速破解，如5个无区别的篮球都取出或都不取出，有种不同取法，看选项没有这一项的，直接排除，由此可排除B，C，D，故选A.3.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A. 方程没有实根 B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根【答案】【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.4.【2015高考浙江，理6】设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题：对任意有限集，“”是“ ”的充分必要条件；命
4、题：对任意有限集，（ ）A. 命题和命题都成立 B. 命题和命题都不成立 C. 命题成立，命题不成立 D. 命题不成立，命题成立 【答案】A.【解析】命题显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于的区域，故命题也正确，故选A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.5. 【2014年.浙江卷.理8】记，设为平面向量，则（ ） A. B. C. D.答案：考
5、点：向量运算的几何意义.【名师点睛】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将 放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有有效的方法.6. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学
6、生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A2人 B3人 C4人 D5人【答案】B【解析】试题分析：用、分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件、中都最多只有一个元素，所以只有，满足条件，故选B.考点：合情推理，中等题.【名师点睛】本题考查计数问题，本题属于基础题，但要求学生对题目中“学生甲比学生乙成绩好”这个定义要读懂，还考查学生的分析问题的能力.7. 【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A消耗1升汽油
7、，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下
8、，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力，本题属于中等题，有能力要求，贴近学生生活，要求按照“燃油效率”的定义，汽车每消耗1升汽油行驶的里程，可以断定“燃油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃油效率”高的汽车，每消耗1升汽油行驶的里程必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断.8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】若函数、满足，则称、在区间上的一组正交函数，给出三组函数：；.其中为区间的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.
9、3【答案】C考点：新定义题型，微积分基本定理的运用，容易题.【名师点睛】以高等数学中的正交函数为载体，重点考查微积分基本定理的应用，充分体现了数学基础知识的应用能力，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力、基础知识在实际问题中的运用能力以及较强的数学计算能力.9. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当
10、于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，所以，即的近似值为，故选B.考点：算数书中的近似计算，容易题.【名师点睛】以数学史为背景，重点考查圆锥的体积计算问题，其解题的关键是读懂文字材料，正确理解题意，建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力和简单近似计算能力.10. 【2015高考湖北，理9】已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ）A77 B49 C45 D30【答案】C【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念
11、，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.二、填空题1. 【2014课标，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为_【答案】A【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市【考点定位】推理【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推
12、理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题，解决问题的能力.2. 【2014山东.理15】已知函数，对函数,定义关于的对称函数为函数，满足：对于任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【名师点睛】本题考查阅读理解能力、学习能力、运算能力、直线与圆的位置关系.解答本题的关键，是理解新定义运算，将问题转化成恒成立，利用数形结合思想，再将问题转化成直线与圆的位置关系问题.本题属于新定义问题，是一道创新能力题，中等难度之上.在考查阅读理解能力、学习能力、运算能力、直线与圆的位置关系等的同时，考查转化与化归思想及数形结合思想.
13、3. 【2015高考山东，理11】观察下列各式： 照此规律，当nN时， .【答案】 【考点定位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.4. 【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上
14、的数字是 【答案】1和3【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.5. 【2014高考陕西版理第14题】观察分析下表中的数据： 多面体 面数（） 顶点数（) 棱数（) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_.【答案】考点：
15、归纳推理.【名师点晴】本题主要考查的是归纳推理，属于中档题，解题时注意观察，归纳三棱锥、五棱锥、立方体等几何体面数（）、顶点数（)、棱数（)之间的关系，归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式.当然，如果平时能够记忆这个关系，则可以得到事半功倍的效果6.【2014四川，理15】以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，.现有如下命题：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；函数的充要条件是有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则；若函数（，）有最大值，则.其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）【答
16、案】【考点定位】1、新定义；2、函数的定义域值域.【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.7. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点，的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.（1） 当时，为的几何平均数；（2） 当时，为
17、的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）；（2）.考点：两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等.新定义型试题是高考的热点试题，考生错误往往有二，其一为不能正确理解题意，将新问题转化为所熟悉的数学问题；其二，不具备归纳、猜想、推理、传化等数学能力.但纵观湖北近四年高考试题，新定义型试题是必考试题，在专题复习中应加强训练.【名师点睛】以新定义为背景，以函数为依托，重点考查两个数的几何平均数与调和平均数，涉及构造函数，充分体现了函数思想在高中数学中的重要地位，其易错点有二，其一为不能正确理解题意，将新问题转化为所熟悉的数学问题；其二，不具备归纳、猜想、推理、传化等数
18、学能力.8.【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中运算 定义为：现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 【答案】【解析】由题意得相同数字经过运算后为，不同数字运算后为由可判断后个数字出错；由可判断后个数字没错，即出错的是第个或第个；由可判断出错的是第个，综上，第位发生码元错误【考点定位】推理证明和新定义【名师点睛】本题以二元码为背景考查
19、新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的，三、解答题1. 【2014高考北京理第20题】（本小题满分13分）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数.（1）对于数对序列，求的值；（2）记为，四个数中最小的数，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和两种情况比较和的大小；（3）在由五个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.(只需写出结论).【答案】（1）7,8；（2）无论还是，都有成立；（3），.【解析】试题分析：根据条件中的定义，对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数，求解.试题
20、解析：依题意，.（3）数对序列：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小.，.考点：新定义题型.【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，题目给出新的定义：并对定义中maxTk1(P)，a1a2ak做出解释，第一步尝试对于数对序列P：(2,5)，(4,1)使用定义，求得T1(P)，T2(P)，初步使用定义，加深对定义的理解，第二步中的比较大小及第三步中的求最值就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，所以学生做起
21、来还是很费力的.2. 【2015高考北京，理20】已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8（）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，若中有3的倍数，由（2）知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，. ,或6，3，6，3.，或
22、0，0，0，. ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，. ,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多8项，则时，项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳
23、法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.3. 【2014上海,理22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合
