1、上海市虹口区复兴高级中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（共12小题）.1函数的最小正周期为 2若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c0的一个复数根，则c 3在复平面内，复数65i、2+3i对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 4砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分已知OA0.5m，AD0.9m，AOB100，则该扇环形砖雕的面积为 m25已知复数z满足，则z 6已知数列an的前n项和Sn，满足，则其通项公式为 7已知等差
2、数列a1、a2、a100的前10项之和为10，最后10项之和为100，则a1 8设z1、z2C，若|z1|z2|1，则的最大值为 9已知、为单位向量，则在方向上的投影为 10向量数列满足，且满足，若则当Sn取最大值时，n的值为 11设0，2），若关于x的方程cos（2x+）a在区间0，2上有5个解，且它们的和为，则 12若ABC的内角A、B、C，其中G为ABC的重心，且，则cosC的最小值为 二、选择题13在ABC中，若+0，则ABC的形状一定是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形14设n为正整数，则“数列an为等比数列”是“数列an满足anan+3an+1an+2”的（）
3、A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件15庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且若，则（）ABCD16记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6，O是该正六边形中心，设点集SA1，A2，A3，A4，A5，A6，O，向量集T|M，NS且M，N不重合则这个集合T中元素的个数为（）A18B24C36D42三、解答题17已知平面向量，（1）当k为何值时，与垂直；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围18已知复数
4、zn满足：（1+2i）4+3i，zn+1zn2+2i（nN*）（1）求复数z1，并指出z1的实部和虚部；（2）求满足|zn|13的最大正整数n的值19进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设（1）当时，求出矩形PGBF的面积（精确到1m2）；（2）用表示矩形PGBF的面积，并求出矩形PGBF的面积SPGBF的最大值（精确到1m2）20如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线M
5、N的中点，P为平面上任意给定的一点（1）求证：；（2）若，点E在直线AD上运动，当E在什么位置时，取到最小值？（3）在（2）的条件下，过G的直线分别交线段AB、CD于点H、K（不含端点），若，求的最小值21已知各项均为正数的等差数列an与等比数列bn满足a2b24，又a1、a3、a7+30成等比数列且b5b1b4（1）求数列an、bn的通项公式：（2）将数列an、bn的所有公共项从小到大排序构成数列Bn，试求数列Bn前2021项之和；（3）若cnanbnnankbn（kR），数列cn是严格递增数列，求k的取值范围参考答案一、填空题1函数的最小正周期为解：函数，2，T故答案为：2若1+i是关于x
6、的实系数方程x2+bx+c0的一个复数根，则c2解：1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c0的一个复数根，则1i也是关于x的实系数方程x2+bx+c0的一个复数根，可得b1+i+1i，b2，c（1+i）（1i）2故答案为：23在复平面内，复数65i、2+3i对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 2i解：复数65i、2+3i对应的点分别为A、B，A（6，5），B（2，3），C为线段AB的中点，C（2，1），点C对应的复数是2i故答案为：2i4砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇
7、形OAB所得部分已知OA0.5m，AD0.9m，AOB100，则该扇环形砖雕的面积为m2解：环形面积S扇形CODS扇形AOB，故答案为：5已知复数z满足，则z2i解：设za+bi，a，bR，a+bi+0，a+bi+0，化为：a+bi+0，a+（b）i0，a+0，b0，解得：a0，b2则z2i，故答案为：2i6已知数列an的前n项和Sn，满足，则其通项公式为 an2n1解：数列an的前n项和Sn，满足，S11，anSnSn12n12n1+12n1，（n2），又a11，所以数列的通项公式为：an2n1，故答案为：an2n17已知等差数列a1、a2、a100的前10项之和为10，最后10项之和为10
8、0，则a1解：设等差数列an的公差为d，由a91+a92+a100a1+90d+a2+90d+a10+90da1+a2+a10+900d，得10010+900d，解得d，又a1+a2+a1010a1+d10，得a1（10）故答案为：8设z1、z2C，若|z1|z2|1，则的最大值为 2解：|z1|z2|1，1+12故答案为：29已知、为单位向量，则在方向上的投影为 解：由题意可得2+224+2，所以，所以1+，设与的夹角为，则|cos，所以|，所以|cos所以在方向上的投影为故答案为：10向量数列满足，且满足，若则当Sn取最大值时，n的值为 6或7解：向量数列满足，所以，所有的式子相加得到，所
9、以，因为，所以9n+，其对称轴方程为n（n为整数），所以n6或7时，Sn取最大值故答案为：6或711设0，2），若关于x的方程cos（2x+）a在区间0，2上有5个解，且它们的和为，则 或 解：令 f（x）cos（2x+），则 ，因为关于 x 的方程 cos（2x+）a 在区间0，2上有 5 个解，则函数 f（x） 在0，2上有 5 个零点，记为 x1，x2，x3，x4，x5，不妨设 x1x2x3x4x5，因为 ，即0，2的区间长度等于 2 个周期，所以必有 x10，x3，x52，如下图所示，结合三角函数的图象可知 ，于是 ，又因为函数 ycosx 的对称轴为 xk（kZ），所以 ，即 （kZ
10、），又因为 0，2），所以 或 故答案为： 或 12若ABC的内角A、B、C，其中G为ABC的重心，且，则cosC的最小值为解：因为G为ABC的重心，所以；，因为，所以，即，整理得，所以，所以，故答案为二、选择题13在ABC中，若+0，则ABC的形状一定是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形解：在ABC中，+（+）0，A，则ABC为直角三角形，故选：B14设n为正整数，则“数列an为等比数列”是“数列an满足anan+3an+1an+2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件解：若数列an为等比数列，则q，anan+3an+1an+2，若an
11、0，满足anan+3an+1an+2，但数列an不为等比数列，故选：A15庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且若，则（）ABCD解：五角星中，则，则，故选：D16记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6，O是该正六边形中心，设点集SA1，A2，A3，A4，A5，A6，O，向量集T|M，NS且M，N不重合则这个集合T中元素的个数为（）A18B24C36D42解：如图，以A1为起点的向量共有（i2，3，4，5，6），等6个向量，故
12、以A1为终点的向量也有6个向量，以A2为起点的向量且与以上12个向量不相等的有，等2个向量，故以A2为终点的向量也有2个向量，以A3为起点的向量且与以上16个向量不相等的有1个向量，故以A3为终点的向量也有1个向量，以A4、A5、A6，O为起点或终点的向量与以上18个向量中的某一个向量相等，综上所述，这个集合T中元素的个数为18，故选：A三、解答题17已知平面向量，（1）当k为何值时，与垂直；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围解：（1），且与垂直，解得；（2），且与的夹角为锐角，且与不共线，解得且0，的取值范围为18已知复数zn满足：（1+2i）4+3i，zn+1zn2+2i（nN*）（
13、1）求复数z1，并指出z1的实部和虚部；（2）求满足|zn|13的最大正整数n的值解：（1）设z1a+bi（a，bR），则，由（1+2i）4+3i，得（1+2i）（abi）4+3i，即a+2b+（2ab）i4+3i，解得：，z12+i，z1的实部和虚部分别为2，1；（2）由zn+1zn2+2i（nN*）得：z2z12+2i，z3z22+2i，z4z32+2i，znzn12+2i（nz，n2）累加得znz12（n1）+（n1）i（nN*），zn2n+（2n1）i（nN*），则|zn|，令|zn|13，即8n24n+1169，2n2n420，n5n的最大整数取值是419进博会期间，有一个边长80m
14、的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设（1）当时，求出矩形PGBF的面积（精确到1m2）；（2）用表示矩形PGBF的面积，并求出矩形PGBF的面积SPGBF的最大值（精确到1m2）解：（1）作PMOA于点M，PNOC于点N，所以在RtPOM与RtPON中，PM60sin，PN60cos，所以PG8060cos，PF8060sin，当PGPF时，sincos（），所以当时，矩形PGBF的面积SPGPFPG21412m
15、2；（2）矩形PGBF的面积SPGPF（8060sin）（8060cos）4009sincos12（sin+cos）+16，令tsin+cos，因为，所以，故，即，令u9sincos12（sin+cos）+16，对称轴为，因为u（），u（）12.47u（），所以当或时，矩形PGBF的面积SPGBF的最大值为400（max+16）1421m220如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线MN的中点，P为平面上任意给定的一点（1）求证：；（2）若，点E在直线AD上运动，当E在什么位置时，取到最小值？（3）在（2）的条件下，过G的直线分别交线段AB、CD于点H、K（不含端点），若，求的最
16、小值【解答】（1）证明：因为G为MN的中点，则，又M为BD的中点，N为AC的中点，所以，故，则；（2）解：以点B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，2），M（，1），N（），G（），故直线AD的方程为，即yx+1，设E（x，x+1），则，所以当x，y时，取得最小值为，即时，；（3）解：设过G的直线为，令x0，则y，故H（0，），令x1，则y，故K（1，），因为，则有，所以m+2n，则，当且仅当时取等号，故的最小值为21已知各项均为正数的等差数列an与等比数列bn满足a2b24，又a1、a3、a7+30成等比数列且b5b1b4（1）求数列an、bn的通项公式：（2）将数列an、bn的所有公共项从小到大排序构成数列Bn，试求数列Bn前2021项之和；（3）若cnanbnnankbn（kR），数列cn是严格递增数列，求k的取值范围解：（1）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则由条件有，又q0，d0，解得a11，d3，b12，q2，所以；（2）B14，B216，B332，B464，所以数列Bn为以4为首项，4为公比的等比数列所以前2021项和为；（3），因为cn单调递增，所以cn+1cn0恒成立，即恒成立，设，则0对nN*成立，所以f（n）在nN*上单调递增，所以k的取值范围为