1、中成学校3月13日周练数学试题（理）命题人 田振峰 审题人 张振国一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知集合Axy，yN，xB，B2，3，4，5，6，7，8，9，则ABAl，2 B1，2，3 C3，5，9 D2，3，4，5，6，7，8，92如图复平面内的点A表示复数z，则复数表示的点所在的象限为 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限32014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人
2、。为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为 A92 B94 C116 D1184已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：（a0，b0）的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为A B C2 D25某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 A B C D6若sin（），则cos（2） A B C D7实数x、y满足条件，则的最小值为A B C1 D148如图所示，该程序框图的功能是计算数列前6项的和，则判断框内应填入的条件为A
3、i5 Bi5 Ci6 Di69记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 A1440种 B960种 C720种 D480种10在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC且PAAB4，BC2，则三棱锥PABC的外接球的体积为 A24 B36 C12 D11已知点A（1，2）在抛物线C：4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D、E， 直线AD、AE的斜率分别为k AD，k AE，若直线DE过点（1，2），则kADkAE A4 B3 C2 D112定义域为R的偶函数f（x）满足对R，有f（x2）f（x）f（1），且当x2，3时，f（x）21
4、2x18，若函数yf（x）在（0，）上至少有三个零点，则a的取值范围是A（0，） B（0，） C（0，） D（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13已知a b0，abta，若ab与ab的夹角为，则t的值为_14的展开式中的常数项为_15设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a2，B2A，则b的取值范围为_16已知函数f（x）及g（x）（xD），若对于任意的xD，存在x0，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0）恒成立且f（x0）g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”。已知函数f（x）pxq（p，qR），g（x）是定义在区间，2 上的“兄弟函
5、数”，那么函数f（x）在区间，2 上的最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分） 数列的前n项和为，a11，且对任意正整数n，点（，）在直线2xy20上（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列n为等差数列?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18（本小题满分12分） 甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级若海选合格记1分，海选不合格记0分假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的 （1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海
6、选合格的概率； （2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E（）19（本小题满分12分） 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点（1）证明：CMSN；（2）求SN与平面CMN所成角的大小20（本小题满分12分） 已知椭圆C：（ab0）经过点（,1）一个焦点是F（0，1） （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C与y轴的两个交点为A1，A2，点P在直线y上，直线PA1，PA2分别与椭圆C交于M，N两点试问：当点P在直线y上运动时，直线MN是否恒经过定点Q?证明你的结
7、论21（本小题满分12分） 已知函数f（x）axxlnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3（1）求实数a的值；（2）若kZ，且k对任意x1恒成立，求k的最大值 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点E （1）证明：A，E，F，M四点共圆； （2）若MF4BF4，求线段BC的长23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的
8、正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin（） （1）求圆C的直角坐标方程； （2）若P（x，y）是直线l与圆面4sin（）的公共点，求的取值范围24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数f（x）x1x2 （1）求不等式f（x）2的解集； （2）若不等式f（x）a2的解集为R，求实数a的取值范围2015年联考试题（理科数学）答案1、【答案】C【解析】根据题意可得，所以，故选C.2、【答案】D【解析】由图得A(3,1)，则，所以，其所在的象限为第四象限，故选D.3、【答案】B【解析】由题意可知抽样比为，所以在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为，故选B.4、【答案】A【
9、解析】设、代入双曲线方程得=1，=1，两式相减得=,=,2=,.故双曲线是等轴双曲线，则离心率为.5、【答案】D【解析】由题知该几何体为底面半径为2，高为4的圆锥的部分，其体积是.故选D.6、【答案】A【解析】cos=sin（）=，即cos（）=，cos（）=2=2=，故选A.7、【答案】B【解析】画出可行域，如图所示，求的最小值等价于求的最小值，令，则，由图知当该直线过点（0,1）时，取得最小值，即为。8、【答案】 C【解析】计算数列前6项的和，程序框图需执行6次，此时i=7，应满足条件退出循环，故选C.9、【答案】B【解析】5名志愿者先排成一排，有A种方法，2位老人作为一组插入其中，且两位
10、老人有左右顺序，共有24A960种不同的排法10、【答案】B【解析】因为平面ABC，所以PABC，又，所以面，设O为PC的中点，在Rt中，OB=,在Rt中，OA=，所以OA=OB=OP=OC,所以O为在三棱锥的外接球球心，PC为外接球的直径，设球O的半径为R，所以2R=6，所以R=3，所以V=36.11、【答案】C【解析】设直线DE的方程为由得，则，=，则12、【答案】 B【解析】依题意，令，得，的周期为2，画出的大致图像如图所示。令，当时，其图像过定点（0,0），由题知，函数在（0，）上至少有三个零点，即与的图像至少有三个交点，由图像可知当时，不满足题意，所以。因为，2所以要使函数在（0，）
11、上至少有三个零点，则有，即，所以，即，所以，即的取值范围是（0，），选B.13、【答案】 2aabaaa+ba-bAabaaBAabaaCAabaaDAabaaOAabaa【解析】方法一：由ab = 0可得|a+b|与|a-b|，由|a+b|=t|a|可得b2=(t2-1)a2，因为a+b与a-b的夹角为，所以，把b2=(t2-1)a2代入整理可得，因为，所以.方法二：由ab = 0可得ab，作图如下：由图可知= ，所以，由几何关系可得.14、【答案】160【解析】，展开式的通项为，令可得，故展开式中的的常数项为.15、【答案】 （2，2）【解析】由，得，故，所以.16、【答案】2【解析】因为
12、，所以，可知在上单调递减，在上单调递增，故，由题中定义可知，若，为“兄弟函数”，则，均在x1处取得最小值，且最小值相同，故1，得1+p+q1，又当时，取得最小值，即，所以，则，所以当时，.17、解(1)由题意，可得2an1Sn20.当n2时，2anSn120. (1分)，得2an12anan0，所以(n2)因为a11,2a2a12，所以a2. (4分)所以an是首项为1，公比为的等比数列所以数列an的通项公式为ann1. (6分)(2)由(1)知，Sn2. (7分) 若为等差数列，则S1，S22，S33成等差数列，则2S1S3， (8分)即21，解得2. (10分)又2时，Sn2n2n2，显然
13、2n2成等差数列，故存在实数2，使得数列Snn成等差数列 (12分)18、解(1)记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E，则P(E)1P( )1. (4分)(2)的所有可能取值为0,1,2,3.P(0)P( )；P(1)P(A )P( B )P( C)；P(2)P(A C)P(A B )P(BC)；P(3)P(ABC). (8分)所以的分布列为0123P (10分)E()0123. (12分)19、(1)证明设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示则P(0,0,1)，
14、C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S， (2分)所以，.因为00，所以CMSN. (5分)(2)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量则即令x2，得a(2,1，2) (8分) 因为|cosa，|。 (10分)所以SN与平面CMN所成角为45. (12分) 20、解析：（1）由题意得c=1， （1分）可设椭圆方程为，因为在椭圆上，所以，解得 （4分）所以椭圆的方程为 （5分）（2）假设存在定点Q.当点P在y轴上时，M、N分别与重合，若直线MN经过定点Q，则Q必在y轴上，设Q(0，m).当点P不在y轴上时，设P(t，4)，M()，N（），令，则直线的方程为，直线的方程为，将代入，得
15、，解得。将代入，得（），解得， （8分） （10分）当点P在直线上运动时，直线MN恒过定点Q（0,1） （12分）21、解(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1. (1分)因为函数f(x)axxln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1. (4分)(2)由(1)知，f(x)xxln x，又k1恒成立， (5分)令g(x)，则g(x)，令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，所以函数h(x)在(1，)上单调递增因为h(3)1ln 30，所以方程h(x)0在(1，)上存在唯一实根x0，且满足x0(3,4) (8分)当1xx0时，h
16、(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， (10分)所以g(x)ming(x0)x0，所以kg(x)minx0(3,4)，故整数k的最大值是3. (12分)22.解：（1）如图，连接AM，由AB为直径可知。又所以MB=，因此A, E, F, M四点共圆。（4分）（2）连接AC，由A, E, F, M四点共圆，可知 (6分)在中， (8分)又由MF=4BF=4知BF=1，BM=5，所以. (10分)23、解：（1）因为圆C的极坐标方程为，所以又因为所以圆C的直角坐标方程为。 （5分）(2)设，由圆C的直角坐标方程为得，所以圆C的圆心是（，）,半径是2.将代入得z=，又直线过C（，），圆C的半径是2，所以，即的取值范围是 （10分）24、解：（1） （2分）当时，不成立.当时，由得，；当时，恒成立. 不等式的解集为. (5分)（2）， （8分）或a的取值范围是 （10分）版权所有：高考资源网()
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