1、第七章 不 等 式 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 2一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 3二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 4基本不等式：abab2(a0，b0)(1)了解基本不等式的证明过程
2、(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 71 不等关系与不等式 1两个实数大小的比较(1)abab_；(2)abab_；(3)abab_.2不等式的性质(1)对称性：ab_；(2)传递性：ab，bc_；(3)不等式加等量：abac_bc；(4)不等式乘正量：ab，c0_，不等式乘负量：ab，cb，cd_；(6)异向不等式相减：ab，cb0，cd0 _；(8)异向不等式相除：ab0，0cb，ab01a1b；(10)不 等 式 的 乘 方：ab0 _；(11)不 等 式 的 开 方：ab0 _ 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2(7)(8)说明，
3、都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除 自查自纠：10 0 0 2(1)bc(3)(4)acbc acbd(7)acbd(10)anbn(nN 且 n2)(11)n an b(nN 且 n2)(2014山东)已知实数 x，y 满足 axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x211y21 Bln(x21)ln(y21)Csinxsiny Dx3y3 解：根据指数函数的性质得 xy，此时 x2，y2的大小不确定，故选项 A，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项 C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项 D 中的不等式恒成立故选 D.(
4、2016贵州模拟)若 a，b 都是实数，则“a b0”是“a2b20”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：由 a b0 得 ab0，由 a2b20 得a2b2，即|a|b|，所以“a b0”是 “a2b20”的充分不必要条件故选 A.(2016全国卷)若 ab1，0c1，则()Aacbc Babcbac Calogbcblogac Dlogaclogbc 解：根据幂函数性质，选项 A 中的不等式不成立；选项 B 中的不等式可化为 bc1ac1，此时1c11，0logab1，故此不等式成立；选项 D 中的不等式可以化为lgclgalgclgb，进而
5、1lga1lgb，进而 lgalgb，即 ab，故在已知条件下选项 D 中的不等式不成立故选 C.已知 a2 7，b 62 2，则 a，b 的大小关系是 a_b.解：由于 a2 7，b 62 2，平方作差得 a2b228148 3148 3874 30，从而 ab.故填.(2016武汉模拟)已知 a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_ 解：a1b1a2b2(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，因为 a1a2，b1b2，所以 a1a20，b1b20，于是(a1a2)(b1b2)0，故 a1b1a2b2a1b2a2b1.故填 a1b1a2b2a1b2a2b1
6、.类型一 建立不等关系 (2015湖北)设 xR，表示不超过x 的最大整数若存在实数 t，使得1，2，n 同时成立，则正整数 n 的最大值是()A3 B4 C5 D6 解：因为表示不超过 x 的最大整数由1得 1t2，由2 得 2t23，由4 得 4t45，所 以 2t25，由 3 得 3t34，所 以6t54 5，由5 得 5t56，与 6t54 5矛盾，故正整数 n 的最大值是 4.故选 B.点拨：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型本例表示不超过 x 的最大整数，故由k，可得 kxad.以其中两个作为条件，余下
7、一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对变形cadbbcadab0，由 ab0，bcad 得成立，所以.(2)若 ab0，bcadab0，则 bcad，所以.(3)若 bcad，bcadab0，则 ab0，所以.综上所述可组成 3 个正确命题 点拨：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较 ac 与 bc 的大小关系应注意从 c0，c0，c0 三个方面讨论 (2014四川)若 ab0，cd0，则一定有()A.acbd B.acbd C.adbc D.adbc 解：由 cd01d1c0，又 ab0，故由不等式性质，得adbc0，所以adbc.故选 D.类型三 不等式
8、性质的应用 (1)若 13，42，则2 的取值范围是_ 解：由 13 得122 32，由42得24，所以2 的取值范围是32，112.故填32，112.点拨：需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由122 32和42 两式相减来得到2 的范围此类题目用线性规划也可解(2)已知1ab3 且 2ab4，则 2a3b 的取值范围是_ 解：设 2a3bx(ab)y(ab)，所以xy2，xy3，解得x52，y12.所以5252(ab)152，212(ab)1.所以9252(ab)12(ab)132，即922a3b132.故填92，132.点拨：由于 ab，ab 的范围已知，所以要求
9、 2a3b 的取值范围，只需将 2a3b 用已知量 ab，ab 表示出来，可设 2a3bx(ab)y(ab)，用待定系数法求出 x，y，再利用同向不等式的可加性求解 (1)若 角 ，满 足 22 时，比较 cn与anbn的大小，则 anbn_cn.解：因为 a，b，cR，所以 an，bn，cn0，而anbncnacnbcn.因为 a2b2c2，所以 ac2bc21，所以 0ac1，0bc2时，acnac2，bcnbc2，所以anbncnacnbcna2b2c21，所以 anbnb，则下列不等式一定成立的是()Aacbc B(ab)c20 Cacbc D.c2ab0 解：A 项：当 c0 时，不
10、等式 acbab0，c20，故 (ab)c20；C 项：当 c0 时，acbc；D 项：当c0 时，c2ab0.故选 B.4(2014湖南)已知命题 p：若 xy，则 xy；命题 q：若 xy，则 x2y2.在命题pq；pq；p(綈 q)；(綈 p)q 中，真命题是()A B C D 解：当 xy 时，两边乘以1 可得xy，所以命题 p 为真命题；当 x1，y2 时，显然x2y2，所以命题 q 为假命题，所以为真命题故选 C.5(2014浙江)已知函数 f(x)x3ax2bxc，且 0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6 C6c9 Dc9 解：由 f(1)f(2)f(3)得，1
11、abc84a2bc279a3bc，消去 c 得3ab7，5ab19，解得a6，b11，于是 0 c63，即 6c9.故选 C.6有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为 a，b，c，且 abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()Aaxbycz Bazbycx Caybzcx Daybxcz 解：令 x1，y2，z3，a1，b2，c3，则 axbycz14，azbycx10，aybzcx11，aybxcz13.由此可判断最低总费用是 a
12、zbycx.故选 B.7(2015江西模拟)设 alge，b(lge)2，clg e，则 a，b，c 的大小关系为_ 解：因为 e 10，所以 lgelg 1012，所以(lge)212lgelg e，即 bc.又因为 ee，所以 lg elge，即 ca.故填 bca.8(2016合肥质检)已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，且满足 bc3a，则ca的取值范围为_ 解：由 已 知 及 三 角 形 三 边 关 系 得abc3a，abc，acb，所 以1baca3，1baca，1caba，所 以1baca3，1caba1，两式相加得，02cabc，求ca的取值范围 解：因为 abc0，所以
13、b(ac)又abc，所以 a(ac)c，且 3aabc03c，则 a0，caca ca，即 11caca，所以2ca 1，ca2，解得2ca12.故ca的取值范围是2，12.(2016武汉模拟)(1)设 x1，y1，证明：xy 1xy1x1yxy；(2)设 1b 的解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是 3一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为_不等式(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有 的 解 组 成 的 集 合 叫 做 一 元 二 次 不 等 式 的_(3)若一元二次不等式经过同解
14、变形后，化为一元二次不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)(其中 a0)的形式，其对应的方程 ax2bxc0 有两个不相等的实根 x1，x2，且 x1x2(此时b24ac0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集(4)一元二次不等式的解：函数、方程与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1x2)有两相等实根 x1x2 b2a 无实根 ax2bxc0(a0)的解集 R ax2bxc0(a0)的解集 x|x1xx2 4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型方法：移项，通分，右边化为 0，左边化
15、为f（x）g（x）的形式(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）0 f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0；f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0.自查自纠：1(1)同解不等式(2)同解变形 2.x|xba x|xba a0，b0 3(1)一元二次(2)解集(3)两边 中间(4)x|xx1或xx2 xx b2a (2016宜昌模拟)设集合Ax|x2x60，集合 B 为函数 y1x1的定义域，则 AB等于()A(1，2)B C 解：Ax|x2x60 x|3x2，由 x10 得 x1，即 Bx|
16、x1，所以 A Bx|1x2故选 D.(2016梧州模拟)不等式 2x11 的解集是()A(，1)(1，)B(1，)C(，1)D(1，1)解：因为 2x11，所以 2x110，即1xx10，所以 x1.故选 A.(2016青海模拟)不 等 式(a 2)x2 2(a2)x40，对一切 xR 恒成立，则实数 a的取值范围是()A(，2 B(2，2 C(2，2)D(，2)解：当 a2 时，有a20，0，所以2a2.当 a2 时，原式化为40，恒成立所以 2a2.故选 B.不 等 式2x2 x4的 解 集 为_ 解：由 2x2x4 得 x2x2，解得1x2，即不等式 2x2x4 的解集为x|1x2故填
17、x|1x2 (2016达州模拟)若关于 x 的不等式 12x2(2m)x0 的解集是x|0 x2，则实数 m_.解：由题知 x0 和 x2 是方程12x2(2m)x0 的根，代入可得 m3.故填 3.类型一 一元一次不等式的解法 已知关于 x 的不等式(ab)x2a3b0 的解集为，13，则关于 x 的不等式(a3b)xb2a0 的解集为_ 解：由(a b)x 3b 2a 的 解 集 为，13，得 ab0，且3b2aab 13，从而 a2b，则 ab3b0，即 b0，将 a2b 代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故填x|x3 点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为 axb(a0)的
18、形式挖掘隐含条件 ab0 且 3b2aab 13是解本题的关键 解关于 x 的不等式：(m24)xm2.解：(1)当 m240 即 m2 或 m2 时，当 m2 时，原不等式的解集为，当 m2 时，原不等式的解集为 R.(2)当m240，即m2或m2时，x 1m2.(3)当 m240，即2m2 时，x 1m2.类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式：(1)x27x120;(2)x22x30；(3)x22x10;(4)x22x20.解：(1)方程 x27x120 的解为 x13，x24.而 yx27x12 的图象开口向上，可得原不等式 x27x120 的解集是x|x3 或 x4(2)不等式两
19、边同乘以1，原不等式可化为x22x30.方程 x22x30 的解为 x13，x21.而 yx22x3 的图象开口向上，可得原不等式x22x30 的解集是x|3x1(3)方程 x22x10 有两个相同的解 x1x21.而 yx22x1 的图象开口向上，可得原不等式 x22x10 的解集为.(4)因为 0，所以方程 x22x20 无实数解，而 yx22x2 的图象开口向上，可得原不等式 x22x20 的解集为 R.点拨：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错误有：未将二次项
20、系数化正，对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合 (2015贵州模拟)关于 x 的不等式x2(a1)xa0 的解集中，恰有 3 个整数，则实数 a 的取值范围是_ 解：原不等式可化为(x1)(xa)1时，得 1xa，此时解集中的整数为 2，3，4，则4a5；当 a1 时，得 ax1，此时解集中的整数为2，1，0.则3a0 的解集为x|1x2，则不等式 2x2bxa0 的解集为()A.x|x12 B.x|1x12 Cx|2x1 Dx|x1 解：由题意知 x1，x2 是方程 ax2 bx20 的两根，且 a0.由韦达定理得12ba，（1）22aa1，b1.所以不等式 2x2bxa0，即
21、2x2x10；(2)若不等式 f(x)b 的解集为(1，3)，求实数 a，b 的值 解：(1)因为 f(x)3x2a(6a)x6，所以 f(1)3a(6a)6a26a3，所以原不等式可化为 a26a30，解得 323a323.所以原不等式的解集为 a|32 3ab 的解集为(1，3)等价于方程 3x2a(6a)x6b0 的两根为1，3，等价于13a（6a）3，136b3，解得a3 3，b3.类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于 x 的不等式：mx2(m 1)x10.解：(1)当 m0 时，不等式为(x1)0，得 x10，不等式的解集为x|x1；(2)当 m0 时，不等式为mx1m(x1)0
22、.当 m0，不等式为x1m(x1)0，因为1m1，所以不等式的解集为x|x1m或x1.当 m0，不等式为x1m(x1)0.(i)若1m1，即 m1 时，不等式的解集为x|1mx1；(ii)若1m1，即 0m1 时，不等式的解集为x|1x1m；(iii)若1m1，即 m1 时，不等式的解集为.点拨：当 x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对 m0 与 m0 进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对 m0 与 m0 进行讨论；第三层次：1m与 1 大小的不确定性，对 m1、m1 与 m1 进行讨论 解关于 x 的不等
23、式 ax222xax(aR)解：不等式整理为 ax2(a2)x20，当 a0 时，解集为(，1 当 a0 时，ax2(a2)x20 的两根为 1，2a，所以当 a0 时，解集为(，12a，；当2a0 时，解集为2a，1；当 a2 时，解集为x|x1；当 a2 时，解集为1，2a.类型五 分式不等式的解法 (1)不 等 式 x12x1 1 的 解 集 为_ 解：x12x11 x12x110 x22x1 0 x22x10.解法一：x22x10（x2）（2x1）0，2x10.得x|x12或 x2 解 法 二：x22x1 0 x20，2x10 或 x20，2x10.得x|x12或 x2 故填x|x12
24、或 x2 (2)(2016丽水模拟)已知两个集合 Ax|yln(x2x2)，Bx|2x1ex 0，则AB()A.12，2 B.1，12 C(1，e)D(2，e)解：由题意得 Ax|x2x20 x|1xe或x12，故 AB1，12.故选 B.点拨：首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为 0，左边化为f（x）g（x）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0.(1)若 集 合 A x|12x 13，Bx|x2x 0，则 AB()Ax|1x0 Bx|0 x1 Cx|0 x2 Dx|0 x1 解：易知 Ax|1x1，B 集合就是不等
25、 式 组x（x2）0，x0 的 解 集，求 出 B x|0 x2，所以 ABx|0 x1故选B.(2)不等式 x12x10 的解集为()A.12，1 B.12，1 C.，12，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是()Ax|1x3 Bx|x1 或 x3 Cx|1x2 Dx|x1 或 x2 解：记 g(a)(x2)ax24x4，a，依题意，只须g（1）0，g（1）0 x23x20，x25x60 x1 或 x3，故选 B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于 x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成 af(x)(a f(x)型 恒 成 立 问 题，再 利
26、 用 a f(x)max(af(x)min)，求出参数范围解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于 x 的二次不等式转换为关于 a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出 x 的取值范围 (1)(2016银川模拟)已 知 函 数 f(x)x22ax1a，aR.()若 a2，试求函数 yf（x）x(x0)的最小值；()对于任意的 x，不等式 f(x)a 恒成立，试求 a 的取值范围 解：()依题意得 yf（x）xx24x1x
27、 x1x4.因为 x0，所以 x1x2.当且仅当 x1x，即x1 时，等号成立 所以 y2.所以当 x1 时，yf（x）x的最小值为2.()因为 f(x)ax22ax1，所以要使得 x，不等式 f(x)a 恒成立，只要 x22ax10 在上恒成立即可不妨设 g(x)x22ax1，则g（0）0，g（2）0，即0010，44a10，解得 a34.则 a 的取值范围为34，.(2)对于满足|a|2 的所有实数 a，使不等式x2ax12xa 成立的 x 的取值范围为_ 解：原不等式转化为(x1)ax22x10，设 f(a)(x1)ax22x1，则 f(a)在上恒 大 于0，故 有：f（2）0，f（2）
28、0 即x24x30，x210 解得x3或x1，x1或x1.所以 x1 或 x3.故填(，1)(3，)类型七 二次方程根的讨论 若方程 2ax2x10 在(0，1)内有且仅有一解，则 a 的取值范围是()A(，1)B(1，)C(1，1)D(2)由题意得 20(10 x)(508x)10 260，化简得 8x230 x130.解得12x134.所以 x的取值范围是12，2.1一元二次不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)(a0)的解集的确定，受二次项系数 a的符号及判别式 b24ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数 yax2bxc(a0)的图象，数形
29、结合求得不等式的解集；二次函数 yax2bxc 的值恒大于 0 的条件是 a0 且 0；若恒大于或等于 0，则 a0 且 0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为 0 这一特殊情形 2解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于 0，转化为不等式组(注：形如f（x）g（x）0 或f（x）g（x）0 的不等式称为非严格分式不等式)3解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确 4解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程因此保持同解变形是解不等式应
30、遵循的基本原则 5各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想 6对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1不等式x2x10 的解集是()A(，1)(1，2 B C(，1)解：x2x10()x1()x2 0，且 x 1，即 x(1，2，故选 D.2(2015湖北模拟)不等式 f(x)ax2xc0 的解集为x|2x1，则函数 yf(x)的图象为()解：由 题 意 得211a，21ca，解 得a1，c2.则 f(x)x2x2，所以 f(x)x2x2.故选 C.3已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为xx12，则 f(10 x)0 的解集
31、为()Ax|xlg2 Bx|1xlg2 Dx|xlg2 解：可设 f(x)a(x1)x12(a0 可得(10 x1)10 x12 0，从而 10 x12，解得 x0对于一切xR 恒成立 当 a24a50 时，有 a5 或 a1.若 a5，不等式化为 24x30，不满足题意；若a1，不等式化为 30，满足题意 当 a24a50 时，应 有a24a50，16（a1）212（a24a5）0，解得 1a19.综上 1a0 在(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是()A(，12)B(4，)C(12，)D(，4)解：关于 x 的不等式 2x28x4a0 在(1，4)内有解，即 a2x28x4 在(1，
32、4)内有解，令 f(x)2x28x42(x2)212，当 x2 时，f(x)取最小值 f(2)12；当 x4 时，f(4)2(42)2124，所以在(1，4)上，12 f(x)4.要使 af(x)有解，则 a4.故选D.6若关于 x 的方程 3x25xa0 的一个根大于2 且小于 0，另一个根大于 1 且小于 3，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B(12，)C(22，0)D(12，0)解：设 f(x)3x25xa，则由题意有 f（2）0，f（0）0，f（1）0，f（3）0.即22a0，a0，2a0，12a0.解得12a0.故选 D.7(2015浙江模拟)不等式 log2x1x6 3的解集
33、为_ 解：log2x1x6 3log2x1x6 log280 x1x686x1x2.当 x0时，x1x2，此时 x1；当 x0 时，x1x 2，此时 x1x6，解得32 2x32 2.故填(32 2，32 2)1 8(2016辽宁模拟)若关于 x 的不等式 4x2x1a0 在上恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 解：因为不等式 4x2x1a0 在上恒成立，所以 4x2x1a 在上恒成立令 y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.因为 1x2，所以 22x4.由二次函数的性质可知：当 2x2，即 x1 时，y 取得最小值 0，所以实数 a 的取值范围为(，0故填(，0 9若关于 x 的不
34、等式 x2axa3 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 解法一：设 f(x)x2axa.则关于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集f(x)min3，即 fa2 4aa243，解得 a6 或a2.解法二：x2axa3 的解集不是空集 x2axa30 的判别式 0，解得 a6或 a2.10汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速为 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10
35、 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s 甲0.1x0.01x2，s 乙0.05x0.005x2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有 0.1x0.01x212，即 x210 x12000，解得 x30 或 x40(舍去)这表明甲车的车速超过 30 km/h，又由甲车刹车距离略超 12 m，可判断甲车车速不会超过限速 40 km/h.对于乙车有 0.05x0.005x210，即 x210 x20000，解得 x40 或 x50(舍去)这表明乙车超过 40 km/h，超过规定限速 解关于 x 的不等式：a（x1）x21(a1)解：(x
36、2)0，当 a1 时有(x2)xa2a1 0，若a2a12，即 0a1 时，解集为x|2xa2a1；若a2a12，即 a0 时，解集为；若a2a12，即 a0 时，解集为x|a2a1x2 1已知121x0 时，x12；当 x0 时，x2.所以 x 的取值范围是 x12，故选 D.2(2016南昌模拟)对于任意实数 x，不等式 mx2mx10 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，4)B(，4 C(4，0)D(4，0 解：当 m0 时，不等式显然成立；当 m0 时，由m0，m24m0 得4m0.综上所述，所求实数 m 的取值范围是(4，0故选 D.3(2016肇庆模拟)已知不等式 mx2nx
37、1m0 的解集为x|x12或x2，则 mn()A.12 B52 C.52 D12 解：由已知可得方程 mx2nx1m0 的两个根为12，2，且 m0.所以122nm，1221mm，解得m1，n32.所以 mn52.故选 B.4在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范围是()A B C D 解：设矩形的另一边为 y m，依题意得 x4040y40，即 y40 x，所以 x(40 x)300，解得10 x30.故选 C.5(2016云南模拟)若关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集是的子集，则 a 的取值范
38、围是()A B C D 解：原不等式等价于(xa)(x1)0，当a1 时，不等式的解集为，此时只要 a4 即可，即4a1 时，不等式的解集为，此时只要 a3 即可，即 10 的解集为(1，t)，记函数 f(x)ax2 (ab)xc.(1)求证：函数 yf(x)必有两个不同的零点；(2)若函数 yf(x)的两个零点分别为 m，n，求|mn|的取值范围 解：(1)证明：由题意知 a0，abc0，且 b2a1，所以 ca0，所以 ac0，所以对于函数 f(x)ax2(ab)xc 有(ab)24ac0，所以函数 yf(x)必有两个不同零点(2)|m n|2 (m n)2 4mn（ba）24aca2（2
39、ac）24aca2ca28ca4，由不等式 ax2bxc0 的解集为(1，t)可知，方程 ax2bxc0 的两个解分别为 1 和t(t1)，由根与系数的关系知cat，所以|mn|2t2 8t4，t(1，)所以|mn|13，所以|mn|的取值范围为(13，)(2016郑州模拟)设 二 次 函 数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n(m0 的解集；(2)若 a0，且 0 xmn0，即 a(x1)(x2)0.那么当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当 a0 的解集为x|1x0，且 0 xmn1a，所以 xm0.所以 f(x)m0，即 f(x)0，b0，当 a
40、b 为定值时，ab，a2b2有 ，即 ab ，a2b2 .简记为：积定和最小 6求最大值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或 a2b2为定值时，ab 有最大值(a0，b0)，即 .简记为：和定积最大 7拓展：若 a0，b0 时，21a1b ab2 ，当且仅当 ab 时等号成立 自查自纠：1.ab2 2.ab 3.2ab 4.ab2 ab 5最小值 2 ab 2ab 6abab22 ab14(ab)2 aba2b22 7.ab a2b22 已知 a，bR，且 ab1，则 ab 的最大值为()A1 B.14 C.12 D.22 解：因为 a，bR，所以 1ab2 ab
41、，所以 ab14，当且仅当 ab12时等号成立故选B.(2016湖南模拟)若函数 f(x)x1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A1 2 B1 3 C3 D4 解：因为 x2，所以 x20，则 f(x)x 1x2(x2)1x222（x2）1x224，当且仅当 x2 1x2，即 x3 时取等号即当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3.故选 C.设 f(x)lnx，0ab，若 pf(ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bqrp Cprq Dprq 解：pf(ab)lnab，qfab2lnab2，r12(f(a)f(b)12lnabln
42、 ab，函数 f(x)lnx 在(0，)上单调递增，因为ab2 ab，所以 fab2f(ab)所以 qpr.故选 C.(2014上海)若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2的最小值为_ 解：由 xy1 得 x22y2x22x22 2，当且仅当 x4 2时等号成立故填 2 2.(2016鄂州一模)已知 x0，则xx24的最大值为_ 解：因为xx24 1x4x，又 x0，所以 x4x2x4x4，当且仅当 x4x，即 x2 时取等号，所以 0 1x4x14，即xx24的最大值为14.故填14.类型一 利用基本不等式求最值 (1)函数 y（x5）（x2）x1(x1)的值域为_ 解：因为 x1，所
43、以 x10，令 m x1，则 m0，且 y（m4）（m1）mm4m52m4m59，当且仅当 m2 时取等号故填(2)y2 4005（60 x）240 x2 400 5，当且仅当 40 x 40040 x，即 x20(0，30时，y 取得最大值 2 000,所以当 DN20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2 000 m2.答略 点拨：建立关于 x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾
44、，有矛盾则应调整解法 (2016徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为200 m2的十字形区域现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛，造价为 4 200 元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为 80 元/m2.(1)设总造价为 S 元，AD 的长为 x m，试建立S 关于 x 的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？解：(1)设 DQ 的长为 y m，则 x24
45、xy200，所以 y200 x24x.S4 200 x22104xy80412y2 38 000 4 000 x2 400 000 x2(0 x 10 2)(2)S38 0004 000 x2400 000 x2 38 00024 000 x2400 000 x2 38 0002 16108118 000，当且仅当 4 000 x2400 000 x2，即 x 10时取“”，所以 Smin118 000(元)故计划至少要投入 11.8 万元才能建造这个休闲小区 1要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：a2b2（ab）22；aba2b22；ab
46、 14(ab)2；ab22a2b22；(ab)24ab；ab 21a1b；abc3 3 abc；abca3b3c33等 对于以上各式，要明了其成立的条件和取“”的条件 2在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值 3基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值 4求1a1b型最值问题，常
47、通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决 5基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点 1若 a1，则 a 1a1的最小值是()A2 Ba C3 D.2 aa1 解：因为 a1，所以 a 1a1a1 1a112（a1）1a11213，当且仅当 a2 时等号成立故选 C.2(2
48、015昆明模拟)若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是()A.43 B.53 C2 D.54 解：因为 x0，y0，所以 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，所以 12xy3xy30，所以 xy2，所以 xy 的最大值为 2.故选 C.3(2016甘肃模拟)下列函数中，最小值为4 的是()Ayx4x Bysinx 4sinx(0 x)Cyex4ex Dy x212x21 解：因为 yx4x中 x 可取负值，所以其最小值不可能为 4，故 A 选项错；由于 0 x，所以 00，所以 yex4ex2 ex4ex4，当且仅当 ex2
49、 时取等号，所以其最小值为4，故C选项正确；因为 x211，所以 y x212x212 2，当且仅当 x1 时取等号，所以其最小值为 2 2，故 D 选项错故选 C.4小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则()Aav ab Bv ab C.abvab2 Dvab2 解：设甲、乙两地之间的距离为 s.因为 ab，所以 v 2ssasb 2abab 2ab2 ab ab.又 va 2ababaaba2ab a2a2ab 0，所以 va.故选 A.5(2016重庆模拟)若正数 a，b 满足 a b2，则 1a1 4b1的最小值是()A1 B.94 C9 D16
50、 解：1a14b11a1 4b1 （a1）（b1）4 1414b1a14（a1）b114(54)94，当且仅当b1a14（a1）b1且 ab2，即 a13，b53时取等号故选 B.6(2014重庆)若 log4(3a4b)log2 ab，则 ab 的最小值是()A62 3 B72 3 C64 3 D74 3 解：因为 log4(3a4b)log2ab，所以log4(3a4b)log4(ab)，即 3a4bab，且3a4b0，ab0，即 a0，b0，所以4a3b1(a0，b0)，ab(ab)4a3b 74ba 3ab 724ba 3ab 74 3，当且仅当4ba 3ab 时取等号故选 D.7(2
51、015青海模拟)点(m，n)在直线 x y1 位于第一象限内的图象上运动，则 log2mlog2n 的最大值是_ 解：由条件知，m0，n0，mn1，所以mnmn2214，当且仅当 mn12时取等号，所以 log2mlog2nlog2mnlog2142.故填2.8(2014四川)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_ 解：易知定点 A(0，0)，B(1，3)且无论 m 取何值，两直线垂直 所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P 在以 AB 为直径的圆上)所以|PA|
52、PB|12(|PA|2|PB|2)5.当且仅当|PA|PB|5时，等号成立故填 5.9已知 0 x43，求 x(43x)的最大值 解：已知 0 x43，所以 03x4.所 以x(4 3x)13(3x)(4 3x)133x43x2243，当且仅当 3x43x，即 x23时“”成立 所以当 x23时，x(43x)取最大值为43.10已知 a0，b0，且 2ab1，求 S2 ab4a2b2的最大值 解：因为 a0，b0，2ab1，所以 4a2 b2(2a b)2 4ab1 4ab.且 1 2a b2 2ab，即 ab 24，ab18，所以 S2 ab4a2 b2 2ab (1 4ab)2ab 4ab
53、 1 212.当且仅当 a14，b12时，等号成立 如图所示，已知树顶 A 离地面212 米，树上另一点 B 离地面112 米，某人在离地面32米的 C处看此树，则该人离此树_米时，看 A，B的视角最大 解：问题转化为求ABC 中BCA 的取值范围过点 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D.设该人距离此树的距离 CDx 米，看 A，B 的视角最大，即BCA 最大不妨设BCD，ACD，则BCA，且 tan4x，tan9x，所以 tan()9x4x19x4x5xx2365x36x52x36x 512，当且仅当 x36x，即 x6 时取等号，此时BCA 最大故填 6.1(2016肇庆模拟)如
54、果 log3mlog3n4，那么 mn 的最小值是()A4 B4 3 C9 D18 解：log3mlog3nlog3mn4，所以 mn34，而 mn2 mn18，当且仅当 mn9 时等号成立故选 D.2(2016西安模拟)若 a，b 均为大于 1 的正数，且 ab100，则 lgalgb 的最大值是()A0 B1 C2 D.52 解：因为 a1，b1，所以 lga0，lgb0.lgalgb（lgalgb）24（lgab）241.当且仅当 ab10 时取等号故选 B.3(2016安康模拟)若 x1，则函数 yx1x 16xx21的最小值为()A16 B8 C4 D2 解：yx1x 16xx21x
55、21x 16xx21 2x21x 16xx218，当且仅当x21x 16xx21时等号成立故选 B.4(2016湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件 B80 件 C100 件 D120 件 解：由题意知平均每件产品的生产准备费用是800 x 元，则800 x x82 800 x x820，当且仅当800 x x8，即 x80 时“”成立，所以每批应生产产品 80 件故选 B.5 (2016郑州模拟)已 知 不
56、等 式(x y)1xay 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为()A2 B4 C6 D8 解：因为(xy)1xay 1axy yxaa12 a，当且仅当axy yx时等号成立 要使原不等式恒成立，则只需 a12 a9 恒成立，所以(a2)(a4)0，解得 a4，所以正实数 a 的最小值是 4.故选 B.6(2016重庆模拟)若不等式tt29at2t2 在 t(0，2上恒成立，则 a 的取值范围是()A.16，1 B.16，2 2 C.16，413 D.213，1 解：tt29 1t9t，而 yt9t在(0，2上单调递减，故 t9t292132，tt29 1t9t 213(
57、当且仅当 t2 时等号成立)因为1t12，所以t2t2 1t2t221t142181(当且仅当 t2 时等号成立)，故 a 的取值范围为213，1.故选 D.7(2016兰州模拟)已知实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值为_ 解：因为 x2y2xy1，所以 x2y21xy.所以(xy)213xy13xy22，即(xy)24，解得2xy2.当且仅当xy1 时 xy 取得最大值 2.故填 2.8(2016湖南模拟)若直线 axby10(a0，b0)过曲线 y1sinx(0 x2)的对称中心，则1a2b的最小值为_ 解：因为曲线 y1sinx(0 x2)的对称中心为(1，1)，所以
58、ab1，1a2b(ab)1a2b3ba2ab 32ba2ab 32 2，当且仅当ba2ab，且 ab1，即 a 21，b2 2时等号成立故填 32 2.9点(x，y)在直线 x2y3 上移动，求 2x4y的最小值 解：已知点(x，y)在直线 x2y3 上移动，所以 x2y3.所以 2x4y22x4y22x2y2234 2.当且仅当2x4y，x2y3，即x32，y34时“”成立 所以当x32，y34时，2x4y取最小值为 4 2.10如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面
59、积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件，知 4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼的面积为 S，则 Sxy.解法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，所以 2 6xy18，得 xy272，即 S272.当且仅当 2x3y 时等号成立 由2x3y，2x3y18，解得x4.5，y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 解法二：由 2x3y18，得 x932y.因为 x0，所以 0y6.Sxy932y y32(6y)y.因为 0y
60、6，所以 6y0.所以 S32（6y）y22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使每间虎笼面积最大(2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.解法一：因为 2x3y2 2x3y2 6xy24，所以 l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y 时，等号成立 由2x3y，xy24，解得x6，y4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长度最小 解法二：由 xy24，得 x24y.所以 l4x6y96y 6y616y y 6216y y48，当且仅当16y y，即 y4 时，等号成立，此时
61、x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长度最小 (2016襄樊月考)已知 a，b 为正实数(1)求证：a2bb2aab；(2)利用(1)的结论求函数 y（1x）2xx21x(0 x0，所以(ab)a2bb2a a2b2a3b b3a a2b22ab(ab)2.所以a2bb2aab，当且仅当 ab 时等号成立(2)因为 0 x0，由(1)的结论，函数 y（1x）2x x21x(1x)x1.当且仅当 1xx，即 x12时等号成立 所以函数 y（1x）2x x21x(0 x1)的最小值为 1.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有
62、一项是符合题目要求的 1(2015湖北模拟)已知集合 Ax|yx22x3，Bx|x2x20，则 AB()A B 解：依题意，集合 Ax|x1 或 x3，Bx|2x2，ABx|2x1故选 D.2(2016武汉模拟)若 alog0.22，blog0.23，c20.2，则()Aabc Bbac Cbca Dacb 解：ylog0.2x 是减函数，所以 ba0，所以 ba0 的解集是(1，3)，则不等式 f(x)0 的解集是()A(，1)(3，)B(3，1)C(，3)(1，)D(1，3)解：由题意得 f(x)0 的解集为(，1)(3，)，所以 f(x)0 满足x3，所以 x1 或 x0，y0，xy x
63、y2，则 xy 的最小值是()A.23 B1 C.43 D.32 解：由 xyxy2 xy xy2 得 xy43，当且仅当 xy23时等号成立故选 C.5(2016四川模拟)下列命题中正确的是()A函数 yx1x的最小值为 2 B函数 y x23x22的最小值为 2 C函数 y23x4x(x0)的最小值为 24 3 D函数 y23x4x(x0)的最大值为 24 3 解：yx1x的定义域为x|x0，当 x0时，有最小值 2，当 x0 时，有最大值2，故 A选项不正确；y x23x22 x221x222，因为 x22 2，所以取不到“”，故 B 选项不正确；因为当 x0 时，3x4x23x4x4
64、3，当且仅当 3x4x，即 x23 3时取“”，所以 y23x4x 有最大值 24 3，故 C 选项不正确，D 选项正确故选 D.6(2016衡阳模拟)若不等式4x1x2 0 和不等式 ax2bx20 的解集相同，则 a，b 的值为()Aa8，b10 Ba4，b9 Ca1，b9 Da1，b2 解：不等式4x1x2 0 的解集为2，14，所以不等式 ax2bx20 的解集为2，14，二次方程 ax2bx20 的两个根为2，14，所以214 ba，214 2a，所以 a4，b9.故选 B.7(2016贵阳模拟)若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，则m的取值范围是()A(1，9)B(，1(
65、9，)C B C D 解：作出可行域如图所示 目标函数 yxz 过点 A(1，0)时，目标函数在 y 轴上的截距最小，此时 zmax1；过点B 22，22 时，目标函数在 y 轴上的截距最大，此时 zmin 2.所以 z故选 A.9(2016临汾模拟)若 ab1，P lgalgb，Q12(lgalgb)，Rlgab2，则下列不等式成立的是()ARPQ BPQR CQPR DPRb1，故 lga0，lgb0，所以 ab2 ablgab212(lgalgb)lgalgb，即RQP.故选 B.10 (2014全国卷)设 函 数 f(x)3sinxm，若存在 f(x)的极值点 x0满足 x20 2m2
66、，则 m 的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解：函数 f(x)的极值点满足xm 2 k，即 xmk12，kZ，且极值为 3，问题等价于存在 k0使之满足不等式 m2k012234，解得 m2 或 m0，即 a0 时，yaxz 与直线 yx2 平行，此时a1，解得 a1，满足条件当a0，y0，所 以 log2x log2y log2(xy)log2xy22log21424.故选 B.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13(2016青海模拟)不等式 xx10 的解集是_ 解：可转化为整式不等式，得 x(x1)0，解得
67、 0 x0，y0，即xyxy 1，即1x1y1，则1x11y，1y11x，则 4xx1 9yy1 411x 911y41y91x9x4y，因为 9x4y()9x4y1x1y 9 4 4yx 9xy 13 24yx 9xy 25，当且仅当4yx 9xy，且1x1y1，即 x53，y52时取等号，所以 4xx1 9yy1的最小值是 25.故填 25.15(2015河南模拟)x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为_ 解：作出可行域如图中阴影部分，因为 zyax 取得最大值的最优解不唯一，所以直线 yaxz 应与直线 xy20
68、或直线 2xy20的斜率相同，所以 a1 或 2.故填1 或 2.16(2016河北模拟)设 x，y 满足约束条件3xy60，xy20，x0，y0，若目标函数 zaxby(a0，b 0)的 最 大 值 为 12，则 3a 2b 的 最 小 值 为_ 解：作出可行域如图所示由 zaxby 得yabxzb，当直线经过点 A(4，6)时，在 y 轴上的截距最大，从而 z 也最大，所以 4a6b12，即 2a3b6，所以3a2b2a3b63a2b 16(664ab 9ba)161224ab 9ba 4，当且仅当 a32，b1 时等号成立故填 4.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17
69、(10 分)(2016济南模拟)设 f(x)ax2(a1)x1.(1)解关于 x 的不等式 f(x)0；(2)若对任意的 a，不等式 f(x)0 恒成立，求 x 的取值范围 解：(1)由题意得 f(x)(x1)(ax1)0.当 a0 时，不等式 f(x)0 的解集为x|x1；当 a0 时，不等式 f(x)0 的解集为x|1ax1；当0a1a或 x1 时，不等式 f(x)0 的解集为x|x1或 xq0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为 a，则提价后的价格为 方案甲：(1p%)(1q%)a，方案乙：1pq2%2a，因为 1p%1q%1p%21q%21pq2%(当且仅当 pq 时取等号)，因为
70、pq0，所以 1p%1q%1pq2%，即(1p%)(1q%)a1pq2%2a，所以提价多的方案是方案乙 答：提价多的方案是方案乙 19(12 分)(2016贵阳模拟)已知正实数 x，y 满足等式1x3y2.(1)求 xy 的最小值；(2)若 3xym2m 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)21x3y23xy，即 xy3，当且仅当 x1，y3 时等号成立，所以 xy 的最小值为 3.(2)3xy12(3xy)1x3y 1269xy yx12629xy yx 6，当且仅当 x1，y3时等号成立，即(3xy)min6，所以 m2m6，所以2m3.20(12 分)(2016南京模拟)已知 x，
71、y 满足约束条件x1，x3y4，3x5y30.(1)求目标函数 z2xy 的最大值和最小值；(2)若目标函数 zaxy 取得最大值的最优解有无穷多个，求 a 的值；(3)求 zx2y2的取值范围 解：(1)作出可行域如图所示，当直线 z2xy 过点 B(5，3)时，z 有最大值；过点 C1，275 时，z 有最小值，所以 zmax2537，zmin21275 175.(2)当直线 zaxy 平行于直线 3x5y30时，线段 BC 上的任意一点均使 z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个 又 kBC35，所以a35，所以 a35.(3)zx2y2，则 z为(x，y)与原点(0，0)的
72、距离，结合可行域，易知点 A1，53 到原点距离最小值为343，最大值为|OB|，|OC|，原点 O到直线 3x5y30 的距离三者之一，计算得，最大值为|OB|34.故 zx2y2 的取值范围是349，34.21(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种矿石 10 t，B 种矿石 5 t，煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石4 t，B 种矿石 4 t，煤 9 t每 1 t 甲种产品的利润是 600 元，每 1 t 乙种产品的利润是 1 000元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A种矿石不超过 300 t，B 种矿石不超过 200 t，煤不超过
73、 360 t甲、乙两种产品应各生产多少(精确到 0.1 t)，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为 x t，y t，利润总额为 z 元，那么10 x4y300，5x4y200，4x9y360，x0，y0；z600 x1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域 作直线 l：600 x1 000y0，即直线 l：3x5y0，把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大此时 z600 x1 000y 取最大值 解方程组5x4y200，4x9y360，得 M 的坐标为 x36029 12.4，y1 00029 34.4.故应生产甲产品约 12.4 t，乙产品 34.4 t，能使利润总额达到最大 22(12 分)已知函数 f(x)x32bx2cx1 的两个极值点为 x1和 x2，x1，x2，求 f(1)的取值范围 解：f(x)3x24bxc，由题可得 f（2）128bc0，f（1）34bc0，f（1）34bc0，f（2）128bc0.在平面直角坐标系 bOc 中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知 f(1)2bc 在点(0，3)取得最小值 3，在点(0，12)取得最大值 12.所以 3f(1)12.故 f(1)的取值范围为